第三章導數及其應用,高中數學選修1-1,1,.,3.1變化率與導數,2,.,同學們，我們人個體學習知識的過程是重復人類歷史上人類如何學習認識知識的過程。比如我們學習數學遇到的問題就是人類歷史上數學家認識研究數學所遇到的問題。歷史上數學家如何學習認識研究導數，為什么要發明導數，我們從兩個數學家說起。,3,.,牛頓：影響人類歷史的100位偉人，牛頓排名第二。艾薩克牛頓爵士是人類歷史上出現過的最偉大、最有影響的科學家，同時也是物理學家、數學家和哲學家，晚年醉心于煉金術和神學。他在1687年7月5日發表的不朽著作自然哲學的數學原理里用數學方法闡明了宇宙中最基本的法則萬有引力定律和三大運動定律。這四條定律構成了一個統一的體系，被認為是“人類智慧史上最偉大的一個成就”，由此奠定了之后三個世紀中物理界的科學觀點，并成為現代工程學的基礎。牛頓為人類建立起“理性主義”的旗幟，開啟工業革命的大門。牛頓逝世后被安葬于威斯敏斯特大教堂，成為在此長眠的第一個科學家。,4,.,萊布尼茲：影響人類的100位偉人中，無萊布尼茲排名，但是：戈特弗里德威廉萊布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz，1646年1716年），德國哲學家、數學家。涉及的領域及法學、力學、光學、語言學等40多個范疇，被譽為十七世紀的亞里士多德。和牛頓先后獨立發明了微積分。,歷史上牛頓與萊布尼茲爭論誰是微積分的發明人，牛頓贏，但歷史上是兩人同時發明。這次爭論讓英國的數學倒退一個世紀。,牛頓、愛因斯坦有自閉癥即阿斯伯格癥。,5,.,在發明微積分前已經有笛卡爾的解析幾何。但在生活生產實踐中遇到一些問題，以往的數學知識無法解決，必須要有新方法來解決。比如：1、已知物體運動的位移是關于時間的函數,求物體在任意時刻的速度與加速度等;2、求曲線的切線;3、求已知函數的最大值與最小值;4、求長度、面積、體積和重心等。以上有物理問題和幾何問題，牛頓從物理角度發明微積分，萊布尼茲從幾何角度發明微積分。,學習微積分先從哪里開始？先學習導數，要學習導數先學習什么？那就是平均變化率。從平均變化率我們知道導數是個什么東西。,對于四個問題通過具體例子來說明如果函數是二次那可以求最大值、最小值、切線、面積（舊方法只可以求直線圍成的面積，二次曲線圍成的面積原來方法就不行），如果大于二次那原來方法就力不從心要發明新方法，于是牛頓、萊布尼茲發明了微積分。,6,.,一創設情景現實世界是運動的，為描述各種變化著的現象，在數學中引入了函數。隨著對函數的研究，產生了微積分（牛、萊），這一具有劃時代意義的創造的創立，與自然科學中四類問題的處理直接相關：1、已知物體運動的位移是關于時間的函數,求物體在任意時刻的速度與加速度等;2、求曲線的切線;3、求已知函數的最大值與最小值;4、求長度、面積、體積和重心等。導數是微積分的核心概念之一它是研究函數增減、變化快慢、最大（?。┲档葐栴}最一般、最有效的工具。導數研究的問題即變化率問題：研究某個變量相對于另一個變量變化的快慢程度,7,.,8,.,9,.,10,.,問題2高臺跳水,在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時間t（單位：秒）存在函數關系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用運動員在某些時間段內的平均速度粗略地描述其運動狀態?,11,.,請計算,h(t)=-4.9t2+6.5t+10,12,.,計算運動員在這段時間里的平均速度,并思考下面的問題:,探究:,(1)運動員在這段時間里是靜止的嗎?(2)你認為用平均速度描述運動員的運動狀態有什么問題嗎?,在高臺跳水運動中,平均速度不能準確反映他在這段時間里運動狀態.,13,.,平均變化率定義:,若設x=x2-x1,f=f(x2)-f(x1)則平均變化率為,這里x看作是對于x1的一個“增量”可用x1+x代替x2同樣f=y=f(x2)-f(x1),上述問題中的變化率可用式子表示,稱為函數f(x)從x1到x2的平均變化率,14,.,理解：1，式子中x、f的值可正、可負，但x值不能為0，f的值可以為02，若函數f(x)為常函數時，f=03,變式,15,.,思考?,觀察函數f(x)的圖象平均變化率表示什么?,O,A,B,x,y,Y=f(x),x1,x2,f(x1),f(x2),x2-x1=x,f(x2)-f(x1)=y,直線AB的斜率,16,.,有的同學學到這里可能會疑問，覺得學習平均變化率好像什么也沒學就是以前的直線的斜率且仿佛回到了以前且覺得還把簡單問題復雜化。,其實如果再學下去，就會峰回路轉，煥然一新，出現新東西就是導數。,17,.,例題分析,18,.,例題分析,注：最好不畫圖求出割線斜率，培養抽象思維能力，如果考試能爭取時間。,19,.,20,.,小結：,1.函數的平均變化率,2.求函數的平均變化率的步驟:(1)求函數的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)計算平均變化率,3.平均變化率是曲線陡峭程度的“數量化”，是一種粗略的刻畫,-導數,21,.,1.1.2導數的概念,22,.,計算運動員在這段時間里的平均速度,并思考下面的問題:,探究:,(1)運動員在這段時間里是靜止的嗎?(2)你認為用平均速度描述運動員的運動狀態有什么問題嗎?,在高臺跳水運動中,平均速度不能準確反映他在這段時間里運動狀態.,23,.,在高臺跳水運動中,如何反映某一時刻的運動狀態？,又如何求瞬時速度呢?,24,.,問題一：如何求出運動員從2s到(2+t)s這段時間內的平均速度？,25,.,t=0.01時,t=0.001時,t=0.0001時,t=0.00001,問題二：可否利用平均速度求瞬時速度？,t=0.01時,t=0.001時,t=0.0001時,t=0.00001,2s到(2+t)s的平均速度,t無限逼近0時,2s到(2+t)s的平均速度便無限逼近2s時的瞬時速度！,極限逼近思想！,26,.,從2s到(2+t)s這段時間內平均速度,t無限逼近0時,2s到(2+t)s的平均速度便無限逼近2s時的瞬時速度！,平均速度的極限=瞬時速度,27,.,問題三：運動員在某一時刻t0的瞬時速度怎樣表示?,28,.,問題四：氣球在體積,時的瞬時膨脹率如何表示呢？,平均膨脹率的極限=瞬時膨脹率,29,.,問題五：如果將這兩個變化率問題中的函數用來表示，那么函數在處的瞬時變化率如何呢？,平均變化率的極限=瞬時變化率,30,.,導數的定義:,函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是,稱為函數y=f(x)在x=x0處的導數,記作,或,即,31,.,由導數的定義可知,求函數y=f(x)的導數的一般方法:,求函數的改變量2.求平均變化率3.求極限值,一差、二化、三極限,導數的具體模型就是已知位移與時間的函數關系求瞬時速度。,32,.,例1將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品,需要對原油進行冷卻和加熱.如果第xh時,原油的溫度(單位:)為f(x)=x27x+15(0x8).計算第2h和第6h,原油溫度的瞬時變化率,并說明它們的意義.,解:在第2h和第6h時,原油溫度的瞬時變化率就是,和,根據導數的定義,所以,同理可得,在第2h和第6h時,原油溫度的瞬時變化率分別為3和5.它說明在第2h附近,原油溫度大約以3/h的速率下降;在第6h附近,原油溫度大約以5/h的速率上升.,33,.,變式練習：已知一個物體運動的位移（m）與時間t（s）滿足關系S（t）-2t2+5t（