計量經濟學,許林博士經濟與貿易學院,主要內容,回歸本質基本假定OLS方法統計性質t檢驗F檢驗，擬合優度預測,第一篇單一方程回歸模型,復習：,計量經濟學“四大過程”,模型設計：理論假說理論模型計量模型,模型估計：數據估計方法,模型檢驗：經濟統計計量,模型應用：預測制定政策,第一章回歸分析的性質,1.1回歸,1.1.1“回歸”的概念,是計量經濟學的主要概念歷史淵源：F.加密爾頓引入，父母身高與子女身高的關系回歸：是研究被解釋變量對一個或者多個解釋變量的依賴關系，通過后者的已知值或者給定值，去估計或預測前者的期望值（均值）。,“回歸”的概念,(李子奈老師)回歸的主要目的是要通過樣本回歸函數（模型）SRF盡可能準確地估計總體回歸函數（模型）PRF。,考慮加密爾頓問題，我們關心的是：給定父（母）身高，預測子輩身高；給定年齡(20)，預測兒童/青少年身高。在經濟學中研究個人消費支出對個人可支配收入的依賴關系；壟斷廠商研究產品需求對價格的彈性，從而實現利潤最大化；政府考慮貨幣工資變化率與失業率的關系（PHILIPS曲線）。,回歸分析的意圖,從邏輯上說，回歸分析不意味著任何的因果關系(解釋變量與被解釋變量之間)；要談因果關系，必須要借助先驗的或理論的思考。,1.1.2統計關系與確定性關系,經典物理學中考察的是確定性變量間的函數或者確定性依賴關系。計量經濟學中考察的是隨機變量之間的統計性關系，由于對變量的測量會有誤差，而且在模型中還可能漏掉了一些影響因素，因此不可避免地會有誤差存在。例如：農業生產中的影響因素，要考察化肥，技術，農藥，人力，氣溫，降水，陽光，土地等等，但在模型中一般不會放那么多因素。,1.1.3回歸與相關,相關分析：測量兩個變量之間的線性關聯程度（相關系數）例如求吸煙與肺癌的關系。回歸分析：試圖根據解釋變量的給定值去預測被解釋變量的均值。回歸分析中，解釋變量與被解釋變量不具備對稱性，而相關分析中則是對稱的。回歸分析中，解釋變量是隨機的，被解釋變量是隨解釋變量變化的。相關分析中，互為解釋變量與被解釋變量，可互換。,1.1.4術語與符號,DependentVariable,ExplainedVariable,Predictand,Response,Endogenous,Outcome,ControlledVariable:如房價,GDP增長率,收入等-YExplanatoryVariable,IndependentVariable,Predictor,Regressor,Stimulus,Exogenous,Covariate,ControlVariable:如房屋面積,稅率,教育水平等-X1,X2,X3,Xk,1.2數據,時間序列數據經濟變量在連續或不連續的不同時間內的統計數據。截面數據同一時點上一個或多個變量收集的數據混合數據混合數據中兼有時間序列與截面數據Paneldata:在不同時點上對相同的橫截面單元進行跟蹤調查的數據。,1.2.1數據類型,數據來源政府機構（統計年鑒等）國際機構（世界銀行等）私有組織（標準普爾公司）私人數據庫（學校購買的各種數據庫）一個重要來源:Internet如:,1.2.2數據來源,數據的誤差：觀測誤差，計算誤差，樣本選擇性偏差，樣本來源不同，加總數據與微觀個體數據的矛盾，保密數據導致的問題假定研究者的數據是正確的，但不能盲目迷信數據。,1.2.3數據誤差等,第二章雙變量回歸分析：一些基本概念,即:一元線性回歸模型OLSOrdinaryLeastSquare，普通最小二乘法,一元線性回歸模型,Y=1+2X+u,3、方程式,4、隨機擾動項,例子：假定國家由60戶家庭組成研究每周家庭消費支出Y與可支配家庭收入X之間的關系。幾個概念:條件分布條件概率條件期望總體回歸曲線,2.1一個例子,幾個概念：條件分布,條件分布：以X取定值為條件的Y的條件分布注：給定收入X，支出Y并不確定，而是取不同的值。問：給定收入X，支出Y取什么值？例：給定X=80，Y取5個不同的值：55、60、65、70、75,幾個概念：條件概率,條件概率：給定X的Y的概率，記為P(Y|X)。已知給定X=80，Y取5個不同的值：55、60、65、70、75。問：Y取每個值的概率有多大？古典概率模型：取每個值的概率相等。因此有：P(Y=55|X=80)=1/5；P(Y=60|X=80)=1/5；P(Y=65|X=80)=1/5；P(Y=70|X=80)=1/5；P(Y=75|X=80)=1/5；,幾個概念：條件期望,問：給定X，Y可以取不同的值，那么，這些值平均起來是多少？條件期望（conditionalExpectation）：給定X的Y的期望值，記為E(Y|Xi)。例如，E(Y|X=80)=551/5601/5651/5701/5751/565注：條件均值條件期望，稱條件期望是為了表示它是總體的平均值。習慣上，看到“期望”一般指的是總體的平均值；看到“均值”一般指的是樣本的平均值。應該注意區分兩者的含義。,幾個概念：總體回歸曲線,思考：給定一個X，就對應一個（唯一的）E(Y|X)。因此，（X，E(Y|X)）可表示成平面上的一個點。總體回歸曲線（PopularRegressionCurve）：Y的條件均值的軌跡。即Y對X的回歸。總體回歸曲線的幾何意義：當解釋變量給定值時因變量的條件期望值的軌跡。,總體回歸曲線,條件均值,條件均值,80140220X,E(Y|Xi),Y,14910165,2.2總體回歸函數（PRF）,因為每個Xi對應唯一的一個E(Y|Xi)，所以E(Y|Xi)是Xi的函數。將此函數稱為：總體回歸函數（PRF:PopulationRegressionFunction）E(Y|Xi)=f(Xi)(1)問：PRF的函數形式是什么？當PRF的函數形式為線性函數，則有，E(Y|Xi)=1+2Xi(2)其中1和2為未知而固定的參數，稱為回歸系數。1和2也分別稱為截距和斜率系數。上述方程也稱為線性總體回歸函數。,2.3“線性”的含義,“線性”可作為兩種解釋：對變量的線性和對參數的線性。本課“線性”回歸一詞總是指對參數為線性的一種回歸（即參數只以它的1次方出現）。,Y=1+2X+u是線性的！lnY=1+2lnX+u也是線性的！Y=1ln(2X+u）不是線性的！,2.4PRF的隨機設定,隨著家庭收入的增加，家庭消費支出平均地說也增加。但是，對某一個別的家庭來說，消費支出卻不一定隨著收入水平的增加而增加。例如，一個收入100美元的家庭，支出為65美元，而一個收入只有80美元的家庭，支出卻為75美元。問：個別家庭的消費支出與給定收入水平之間能有什么關系呢？,事實：給定收入Xi，個別家庭的支出Yi圍繞在條件均值E(Y|Xi)附近。將個別的Yi圍繞其期望值的離差(Deviation)表述如下：ui=Yi-E(Y|Xi)或Yi=E(Y|Xi)+uiE(Y|Xi)是系統性成分或確定性成分；ui隨機或非確定性成分；隨機擾動項：離差ui是一個不可觀測的可正可負的隨機變量。,Yi=E(Y|Xi)+ui當E(Y|Xi)是Xi的線性函數時：Yi=1+2Xi+ui=E(Y|Xi)+ui問：在給定Xi下，上述等式中什么是變量，什么是常量？,例子,一個家庭的消費支出，線性地依賴于家庭的收入另加干擾項Y1=55=1+2(80)+u1Y2=60=1+2(80)+u2Y3=65=1+2(80)+u3Y4=70=1+2(80)+u4Y5=75=1+2(80)+u5,2.5隨機干擾項的意義,隨機擾動項是從模型中省略下來的而又集體地影響著Y的全部變量的替代物。顯然的問題是：為什么不把這些變量明顯地引進到模型中來？換句話說，為什么不構造一個含有盡可能多個變量的復回歸模型呢？理由是多方面的：理論的含糊性（未知因素的影響）數據的欠缺（財富與收入）核心變量與周邊變量內在隨機性替代變量（永久消費與當前消費）省略原則錯誤的函數形式,總體與樣本,總體是我們研究的目的，但是不能知道總體的全部數據用總體中的一部分（樣本）來推斷總體的性質。,總體,2.6樣本回歸函數（SRF）,兩個隨機樣本，對應給定的每個Xi只有一個Y值，問：能從樣本數據中估計出PRF嗎？樣本數據一樣本數據二,樣本回歸線與總體回歸線,比較兩條樣本回歸線SRF1和SRF2（假定PRF是直線），問哪條樣本線代表“真實”的總體回歸線？,SRF1PRFSRF2,Y,X,（1）樣本回歸函數,估計量（Estimator）：一個估計量又稱統計量，是指一個規則、公式或方法，是用已知的樣本所提供的信息去估計總體參數。在應用中，由估計量算出的數值稱為估計值。,比較PRF和SRF,（2）樣本回歸線的幾何意義,樣本回歸線的幾何意義,第三章雙變量回歸分析：估計問題、檢測與應用,3.1古典假定,經典線性回歸模型（CLRM）的基本假定：Yi=1+2Xi+ui(i=1,2,3,n)假定1：干擾項的均值為零。即，E(ui|Xi)=0假定2：同方差性或ui的方差相等。即，Var(ui|Xi)=2假定3：各個干擾項無自相關。即，Cov(ui,uj|Xi,Xj)=0假定4：ui和Xi的協方差為零。即，Cov(ui,Xi)=E(uiXi)=0假定5：在重復抽樣中X的值是固定的（非隨機）假定6：隨機干擾項服從0均值、同方差的正態分布。即：uiN（0，2）注：在實際建模時，除了假定6以外，對模型是否滿足假定都要進行檢驗。對于假定6，由中心極限定理，當樣本趨于無窮大時，對于任何實際模型都是滿足的。,3.2參數的OLS估計（和2）,雙變量線性回歸模型的一般形式是滿足：E(ui|Xi)=0Var(ui|Xi)=2Cov(ui,uj|Xi,Xj)=0Cov(ui,Xi)=0如果X是確定的，則上述條件自然成立。其中i,j=1,2,3,n;ij,普通最小二乘法（OLS）,樣本點的圖示,正規方程（Normalequation）,3.2的估計,其中，小寫字母表示對均值的離差。或者，也可用字母上加一點來表示離差。,OLS估計量可以由觀測值計算OLS估計量是點估計量一旦從樣本數據取得OLS估計值，就可以畫出樣本回歸線,OLS估計量的說明,注意“帽子”的含義,通過Y和X的樣本均值Y的估計值的均值等于實測值的均值殘差的均值為0殘差與Y的估計值不相關殘差與Xi不相關,樣本回歸線的性質,樣本回歸線的性質1,樣本回歸線的性質2,樣本回歸線的性質3,樣本回歸線的性質4,樣本回歸線的性質5,3.3參數OLS估計量的統計性質,當模型參數估計出后，需考慮參數估計值的精度，即是否能代表總體參數的真值，或者說需考察參數估計量的統計性質。,一個用于考察總體的估計量，可從如下幾個方面考察其優劣性：（1）線性性，即它是否是另一隨機變量的線性函數；（2）無偏性，即它的均值或期望值是否等于總體的真實值；（3）有效性，即它是否在所有線性無偏估計量中具有最小方差。這三個準則也稱作估計量的小樣本性質。擁有這類性質的估計量稱為最佳線性無偏估計量（bestlinerunbiasedestimator,BLUE）。,（4）漸近無偏性，即樣本容量趨于無窮大時，是否它的均值序列趨于總體真值；（5）一致性，即樣本容量趨于無窮大時，它是否依概率收斂于總體的真值；（6）漸近有效性，即樣本容量趨于無窮大時，是否它在所有的一致估計量中具有最小的漸近方差。注：在OLS估計量中我們無須考慮大樣本性質。,當不滿足小樣本性質時，需進一步考察估計量的大樣本或漸近性質：,線性性：參數估計值是Yi的線性函數，即是因變量Yi的線性函數。無偏性：參數估計值的期望值等于真值即最小方差性：滿足古典線性回歸模型的5個假定時，OLS估計量的方差最小。BLUE：最優線性無偏估計量。,OLS估計量的統計性質,高斯馬爾可夫定理(Gauss-Markovtheorem)在給定經典線性回歸的假定下，最小二乘估計量是具有最小方差的線性無偏估計量（BLUE）。,一、線性性（續）,二、無偏性,三、最小方差性,即在所有的線性無偏估計量中,OLS估計量具有最小方差性。首先要求出OLS估計量的方差,最小方差性（續）,最小方差性（續）,最小二乘估計量的方差（續）,最小二乘估計量的標準差,3.4隨機擾動項的方差2的估計,問題：與的方差表達式中，包括了隨機擾動項的方差（又稱總體方差）。若2未知，則兩個參數的方差實際上無法計算。解決思路：隨機擾動項ui無法觀測，故采用其估計值殘差對2進行估計。命題：2的無偏估計量為。證明略,問題,OLS估計量的方差總結,誤差項方差s2越大，斜率估計量的方差也越大xi的變異性越大，斜率估計量的方差就越小因此，大樣本可以降低斜率估計量的方差誤差項方差未知的問題,3.1-3.4節回顧-OLS及其相關概念,直觀上講，OLS是用一條線擬合樣本點，使得殘差項的平方和最小這就是“最小二乘”的含義。殘差項是誤差項u的估計，是擬合線（樣本回歸方程）和樣本點之間的差。,三種距離(哪種?),樣本回歸線、樣本點和相應的誤差項,其他的推導方法,在擬合一條線的直觀思想的基礎上，我們可以建立一個規范的最小化問題也就是說，我們要選擇參數使得下面的式子達到最小：,其他的推導方法,如果用微積分學的辦法來解這個最小化問題，我們可以得到下面的一階條件，而這個條件兩邊同乘以n就和前面用距方法得到的條件一模一樣：,OLS的代數性質,OLS殘差之和為0因此，OLS殘差的樣本均值也為0回歸量和OLS殘差的樣本斜方差為0OLS回歸線總是通過樣本的均值點,3.5擬合優度檢驗（統計檢驗之一）,問題：樣本回歸線對數據的擬合程度有多好？如何才算“完美”或者“滿意”。一般情形：總有一些正的殘差與負的殘差。希望：圍繞回歸線的殘差盡可能小。引入概念：判定參數R2（雙變量情形）。擬合優度檢驗。,問題,平方和公式,平方和公式中各項的解釋,總平方和（TSS）是實測的Y值圍繞其均值的總變異。解釋平方和（ESS）是估計的Y值圍繞其均值的變異。殘差平方和（RSS）是未被解釋的圍繞回歸線的Y的變異。,平方和公式的幾何表示,平方和公式：TSS=ESS+RSS即:總方差=被解釋方差+未被解釋方差即:,平方和公式,擬合優度R2(被解釋部分在總平方和(SST)中所占的比例)：,R2公式,性質：0R21思考：R2=0意味著什么？R2=1呢？,R2=1,R2=0,R2公式,R2=1當且僅當成立,即所有點位于一直線上.R2=0當且僅當對所有i,有即:成立.若非所有Xi都相等,則的估計值為0.這表明X對Y沒有任何解釋意義.,R2=0.86,R2=0.86表示約有86的因變量Y的變異能由解釋變量X來說明。或者說，解釋變量解釋了因變量Y變異中的86。注意：不表示有86的樣本觀測點落在了樣本回歸線上！（此處容易不錯。）,樣本相關系數r：,R2與相關系數r不同,3.6置信區間,前言,為什么要做區間估計？OLS估計只是通過樣本得到的點估計，不一定等于真實參數，還需要找到真實參數的可能范圍，并說明其可靠性。為什么要做假設檢驗？OLS估計只是利用樣本估計的結果，是否可靠？是否抽樣的偶然結果？還有待統計檢驗。而這兩者都需要用到置信區間的內容。,問題,知識鋪墊,在討論這個問題之前，先簡單地看看兩個OLS估計量以及2的概率分布。,置信區間的圖形表示,基本概念,置信區間(Confidenceinterval):這樣的一個區間如果存在的話，就稱為置信區間。置信系數(Confidencecoefficient):1-稱為置信系數。顯著性水平(Levelofsignificance):(05.86的概率0.012；即，t取此值的概率為1.2%；此概率如此小，因而拒絕原假設。,對2顯著性的2檢驗,2顯著性的2檢驗：圖示,1-,/2,/2,在接受域嗎？Yes，接受H0；no，則拒絕H0。,3.檢驗（總體顯著水平）,F檢驗是以方差分析為基礎，對回歸總體線性關系是否顯著的一種假設檢驗：平方和公式：TSSESSRSS。其中回歸平方和ESS代表了解釋變量對被解釋變量Y的線性作用的結果。所以ESS/RSS大，則X對Y的解釋程度就越高。從而構造F（ESS/1）/（RSS（-），F變量服從F（，-）的F分布。,思路,F公式,方差分析（ANOVA）,方差分析ANOVA：AnalysisofVariance,例子,F=8552.7/42.2=202.87PF202.87=0.000,在SPSS17.0軟件以及其他統計軟件中均有ANOVA分析(方差分析)。雙變量回歸中,確實只用t檢驗就已足夠,但多元回歸分析時,F是必不可少的。,3.9預測,樣本回歸的例子：E(Yi)=24.4545+0.5091Xi，其中E(Yi)是對應于給定Xi后的真實Yi值的估計量？這一描述“歷史”的回歸有何用處？“預測”的方式無條件預測：自變量已知，預測因變量。有條件預測：自變量未知，用其他方法得到預測期的自變量的估計值，然后再預測因變量。,問題,預測給定收入水平X的未來消費支出Y。有兩種含義的預測：對應給定的，預測的條件均值(meanprediction)。預測對應于的的一個個別值(individualprediction)。,無條件預測,均值預測：點估計：是BLUE。區間估計：個值預測：點估計：也是Y0的BLUE。區間估計：,比較：總體均值的預測區間寬度比個別值的預測區間的寬度要窄。n越大，殘差的方差越小，預測精度就越高。如果n一定，當預測點X0等于X均值時，殘差的方差最小，預測區間最窄。X0離X均值越遠，殘差的方差就越大，預測區間變寬，預測可信程度下降。,3.10模型的求解與解讀：實例分析,對前文的回顧涉及三個方面：模型中參數的估計、檢驗等模型的解釋模型的評價,凱恩斯消費函數，邊際消費傾向MPC大于0而小于1，每周家庭消費支出Y和每周家庭收入X的假想數據：,例子（兩種假設檢驗）,返回,區間估計若取=5%，即95%的置信系數。自由度為df=n-k=10-2=8查表t/2(n-k)=t0.025(8)=2.306,假設檢驗:概述如果我們假設：H0：10.3H1：10.3而觀察到的1的估計值為0.5091問：所觀測的估計值是否與相符？或者說，我們是否接受H0？兩種檢驗方法：置信區間，顯著性檢驗（t檢驗）。假設檢驗:置信區間的方法構造一個1的100(1-)%置信區間,若1在假設H0下落入此區間,則不拒絕H0.反之拒絕.,在本例中,95%的置信區間為(0.4268,0.5914),而虛擬假設中的MPC=0.3在該區間之外.所以,我們能以95%的置信度拒絕MPC=0.3的假設.至于單尾檢驗,一般建議采用t檢驗.4.假設檢驗:顯著性檢驗顯著性檢驗：Fisher以及Neyman和Pearson等提出.構造一個服從自由度為n-2的t分布的T檢驗值.,顯著性檢驗中,對提出的維持假設與備擇假設,究竟哪個成立,可看T值大小決定.對給頂的顯著水平,查自由度為n-2的t分布表,得臨界值t/2(n-2),若T大于該臨界值則拒絕維持假設H0,否則就接受H0.一般研究中,通常是看參數是否顯著不為0(即H0:i=0),應用Eviews軟件進行OLS回歸,在前面，我們推導出了計算OLS估計參數的表達式，如果現在告訴你，你不需要用手計算，那一定是好消息。在Eviews軟件中回歸非常簡單，要進行y對x的回歸，只需輸入命令：lsyx如果是在多元線性回歸模型中引入某個變量的滯后項，如建立y對x和q的一階滯后項q(-1)的回歸方程，在輸入命令時直接輸lsyxq(1)c就可以。,模型結果,看前面例子。,根據該SRF得到樣本回歸曲線。樣本回歸曲線上的每個點都代表了與選定的X值相對應的Y的期望值或者均值。,解讀該模型,樣本回歸曲線的斜率為0.5091，代表每增加1美元的X（收入），將會導致每周平均消費支出增加0.51美元。樣本回歸曲線的截距為24.4545，代表即使X（收入）為0，對應的Y（消費支出）也不會是0，而是24.4545。這說明，沒有任何收入的家庭，也要通過借債或者反儲蓄來維持最低消費水平。注：實際上，模型中的截距代表的是模型中所省略的其他所有變量共同作用的結果。,R2等于0.9621說明每周消費支出中96%的變異都可以用收入的變異來說明。R2越接近于1，就代表擬合優度越高，即方程擬合得越好（因為擬合優度代表的是解釋變量對被解釋變量的解釋程度）。利用r=(R2)1/2可以得到：r=0.9809。這表明消費支出和收入兩個變量是高度相關的。,看參數下面的兩行數字。第一行是各個回歸系數的標準誤。第二行則是各個回歸系數的真實總體值，都是零虛擬假設下計算得到的。若Tta/2，則接受H0，即認為對應的回歸系數為零；反之，則拒絕H0，即認為對應的回歸系數顯著，不為零。,經濟理論或事前預期統計顯著性擬和優度,評價模型的幾個步驟,模型是否符合經濟理論或者實際。MPC應該是在0到1之間。理論上該關系式成立后，要看是否能通過統計的顯著性檢驗。各個參數的T檢驗值要足夠大。回歸模型在多大程度上解釋了被解釋變量的變異？看擬合優度。模型一定要符合5個基本假設（一元線性回歸模型）。,對模型的評價,3.11一元線性回歸模型的延伸,如果截距為0，則模型形式為：,過原點回歸的模型,例如現代組合證券理論中的資本性資產定價模型（CAPM）。,弗里德曼的永久收入假說:永久消費正比于永久收入。成本分析理論:生產的可變成本正比于產出。,考察下面兩種測量單位下回歸模型的異同：,尺度與測量單位,根據最小二乘原理,有:,當W1=W2時,斜率和斜率的標準誤都沒有改變,但截距和截距的標準誤卻變化成W1倍。這種變換不影響OLS估計量的性質。利用r=(R2)1/2可以得到：r=0.9809。這表明消費支出和收入兩個變量是高度相關的。,考察如下回歸模型(可以稱為對數-對數模型,雙對數模型,或者對數線性模型)：,對數線性模型:測量彈性,Y對X的彈性定義為:Y的變化的百分比除以X的變化的百分比.不難證明,雙對數模型中的2代表了Y對X的彈性.,考察如