表1Satty 比例九標度體系標度a ij比較的含義1第i 個因素與第j 個因素一樣重要3第i 個因素比第j 個因素稍微重要5第i 個因素比第j 個因素明顯重要7第i 個因素比第j 個因素強烈重要9第i 個因素比第j 個因素極端重要2,4,6,8i 與j 的比較介于上述各等級程度之間上述各數的倒數i 與j 比較的判斷標度為a ij ,則j 與i 比較的判斷為a ji =1/a ij一、問題的提出常見身邊的朋友和同事因選房而搞得筋疲力盡,看了很多房源還是難以下單。究其原因,主要是購房時要考慮的因素很多,各房源之間很難進行比較。基于此,筆者以問卷的形式,就購房考慮的因素及各因素在購房者心目中的地位做了一次隨機調查。根據隨機調查的分析得出,市民在購房決策中考慮的因素主要包括房價、面積、地段、內部結構、小區環境、配套設施、樓層、建筑年代等。在各因素的重要性方面,除普遍認為房價是首要因素外,不同年齡、收入的人對各因素的重視程度有所不同。如中老年人對樓層和周邊配套設施比較重視,而年輕人則認為地段和小區環境較為重要。此外,被調查者的收入不同,對房源所在地段的關注程度也不同。但是在購房決策中,有一點是相同的,那就是所有被調查者都認為購房決策的目標應是“物美價廉”,即在備選房源中,會選擇性價比最高的房子。而在影響性價比的眾多因素中,只有房價是客觀的、量化的,其余都帶有一定的主觀性和模糊性,加上備選房源在各影響因素上往往各有優缺點,因而購房者不易對其性價比的高低做出準確的判斷。為此,本文提出利用層次分析法將市民購房的經驗判斷予以量化,從而客觀、科學地解決這一決策問題。二、層次分析法基本原理層次分析法(Analytic Hierarchy Process ,簡稱AHP 法是美國著名運籌學家、匹茲堡大學教授薩蒂(T.L.Saaty 于20世紀70年代提出的一種實用的定性和定量相結合的多準則決策方法。它是把復雜的決策問題按總目標、子目標、評價標準直到具體方案的順序表示為一個有序的遞階層次結構,通過人們的比較判斷,計算各種決策方案在不同準則及總目標之下的相對重要性權重,從而把難以量化的各種方案定量化,以得到各種方案的相對優劣的排序值,并據此做出最后的決策。層次分析法的核心問題是計算出最低層( 方案層對最高層(目標層的相對權重問題,按此相對權重可以對最低層的各種方案進行排序,從而在不同的方案中做出選擇。層次分析的基本步驟,第一步,根據問題的性質和要求,提出一個總目標。將目標逐層分解為幾個等級層次,建立系統的遞階層次結構。第二步,對同一層次的各元素關于上一層次中某一準則的重要性進行兩兩比較并賦予一定的分值,構造兩兩比較判斷矩陣。第三步,針對某一準則,計算各被支配元素的相對權重,即層次單排序,并進行一致性檢層次分析法在市民購房決策中的應用文/莫生紅呂宏芬李明偉M ARKET 市場經緯200719經濟論壇49表8平均隨機一致性指標RI 的數值矩陣階數RI 0.000.000.580.901.121.241.321.411.45表2A-B 判斷矩陣(對于效用總目標,各準則間相對重要性比較A B 1B 2B 3B 4B 5B 111/441/51/2B 24161/32B 31/41/611/71/3B B 521/231/51表3B1-C 判斷矩陣(對于內部結構準則,各方案間重要性比較B 1C 1C 2C 3C 1125C 21/212C 31/51/21表4B2-C 判斷矩陣(對于小區環境準則,各方案間重要性比較B 2C 1C 2C 3C 111/31/5C 2311/2C 3521表5B3-C 判斷矩陣(對于樓層準則,各方案間重要性比較B 3C 1C 2C 3C 1124C 21/212C 31/41/21表6B4-C 判斷矩陣(對于地段準則,各方案間重要性比較B 4C 1C 2C 3C 111/31/2C 2311C 3211表7B5-C 判斷矩陣(對于面積準則,各方案間重要性比較B 5C 1C 2C 3C 111/21C 2212C 311/21驗。第四步,計算各層元素對系統目標的合成權重,即層次總排序。三、實證分析在這里我們以某一購房者的情況為例展開決策分析。案例:某人在中介提供的眾多房源中,已初步看中3套房源, 每平方米單價分別為5000元、6000元、7000元,各房源除建筑年代和周邊配套設施基本相同或相似之外,其余因素各不相同,現利用層次分析法做出評價。(一遞階層次結構模型的構建依據“性價比最優”的決策目標,首先將影響因素劃分為兩類,一是效用類,即由內部結構、小區環境、樓層、地段、面積五個因素構成。二是成本類,即價格因素。根據層次分析法原理確定出每套房源在總房源中的效用權重及成本權重,然后計算其比值,即為“性價比”。由于成本類只考慮價格一個因素,且其是量化的,因此各房源成本的權重可以直接以其單價在總房源單價中的比重表示,在此只需構建三個購房方案的效用層次結構模型,見圖。(二兩兩比較判斷矩陣的構造(記為M 建立上述購房效用層次結構后,就需要確定一個上層元素所支配的下一層若干元素以該上層元素為準則的比較判斷矩陣。根據T.L.Saaty 教授提出的比例九標度法(見表1,及該購房者對以上五個效用準則的重要性判斷,分別構造出效用層次結構中準則層對目標層、方案層對準則層的比較判斷矩陣。見表2表7(注:各表中的符號與效用層次結構模型中的符號對應。(三單一準則下元素相對排序權重的計算及其一致性檢驗1.層次單排序。求解各元素排序權重的方法有行和法、方根法、和積法,本文采用方根法計算。其計算步驟如下。市場經緯M ARKET 50經濟論壇200719逐行計算矩陣(M 的幾何平均值G i ,G i =nnj =1!a ij (i 為行號,i=1,2,.,n對G i 進行歸一化,即為所計算的權重W i 。W i =G i /ni =1#G i (i=1,2,.,n則W=(W 1W 2.W n T 即為所計算的權重向量。計算判斷矩陣的最大特征根m ax (為后面的一致性檢驗服務。m ax =1nni =1#(M Wi W i (i=1,2,.n式中,M W 表示判斷矩M 與權重向量W 相乘后得到的新向量,M W i 為M W 的第個元素。2.一致性檢驗。在構造判斷矩陣時,由于客觀事物的復雜性和人的判斷能力的局限性,人們在對各元素重要性的判斷過程中難免會出現矛盾。如在判斷元素x/y=1:4、y/z=1:2的同時,可能會出現判斷x/z=1:3的矛盾情況。為此,需要對判斷矩陣進行一致性檢驗,以檢查所構判斷矩陣及由之導出的權重向量的合理性。一般是利用一致性比率指標CR 進行檢驗。公式為CR=CI/RI式中,CI=(m ax -n/(n-1為一致性指標,RI 為平均隨機一致性指標,是通過大量試驗確定的。部分隨機一致性指標RI 的數值見表8。當CR0.1時,認為矩陣的不一致程度是可以接受的,否則,認為不一致性太嚴重,需重新構造判斷矩陣或做必要的調整。經計算,上述構建的六個判斷矩陣的權重向量及一致性檢驗結果如下(W B 表示準則層對目標層的權重向量,W C j 表示方案層對第j 項準則的權重向量。(1各準則間比較。W B =(0.08930.24650.04080.49550.1279T,m ax =5.2360,CI=0.059,CR=0.05270.1。可以看出,效用的五個影響因素中,地段最重要,其次為小區環境及面積等。(2各方案間比較。內部結構:W C 1=(0.58160.30900.1094T ,m ax =3.0036,CI=0.0018,CR=0.00310.1小區環境:W C2=(0.10950.30900.5815T,m ax =3.0037,CI=0.0019,CR=0.00330.1樓層:W C 3=(0.57140.28570.1429T ,m ax =3.00,CI=0.00,CR=0.000.1地段:W C 4=(0.16920.44340.3874T ,m ax =3.0183,CI=0.0092,CR=0.01580.1面積:W C 5=(0.250.500.25T ,m ax =3.00,CI =0.00,CR=0.000.1由CR 的計算結果看,六個矩陣的一致性都很好,都通過了一致性檢驗,即可以認為前面所構的六個判斷矩陣及由之導出的權重向量均合理。(四各方案效用權重及成本權重的計算方案層各方案對效用目標層的合成權重是由以上計算的兩個層次(方案層對準則層及準則層對目標層的權重通過加權的方法得到的,每個方案的效用權重公式X i =5j =1#W C ji W Bj (i 為方案序號,i=1,2,3式中,X i 表示第i 個方案的效用權重;W Cji 表示第i 個方案對第j 項準則的權重;W Bj 表示第j.項準則對效用目標的權重。用矩陣計算如下。X=0.58160.10950.57140.16920.250.30900.30900.28570.44340.500.10940.58150.14290.38740.2$%&(50.08930.24650.04080.49550.127$%&(9=0.21810.39910.382$%&(9由此可見,效用最高的是房源2。各方案成本權重的計算公式Y i =P i /3i =1#Pi(P i 表示第i 個方案的單價根據已知的單價資料,計算得到成本權重向量Y=(0.27780.33330.3889T 。(五綜合評價確定了效用權重及成本權重后,就可以計算各待選方案“性價比”的權重Z=X/Y ,計算得到Z=(0.78511.19740.9846T可以看出,房源2的性價比最高,優于房源3和房源1,所以,房源2是