2.3變量之間的相關關系,學習目標1.會根據兩個變量的數據作出散點圖，并根據散點圖直觀認識變量間的相關關系；2.經歷用不同估算方法描述兩個變量線性相關的過程；3.知道最小二乘法的思想，能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程,1,新課引入,1.函數是研究兩個變量之間的依存關系的一種數量形式.對于兩個變量，如果當一個變量的取值一定時，另一個變量的取值被唯一確定，則這兩個變量之間的關系就是一個函數關系.,2.在中學校園里，有這樣一種說法：“如果你的數學成績好，那么你的物理學習就不會有什么大問題.”按照這種說法，似乎學生的物理成績與數學成績之間存在著某種關系，我們把數學成績和物理成績看成是兩個變量，那么這兩個變量之間的關系是函數關系嗎？,2,數學成績,物理成績,學習興趣,學習時間,其他因素,我們不能通過一個人的數學成績是多少就準確地斷定其物理成績能達到多少，學習興趣、學習時間、教學水平等，也是影響物理成績的一些因素，但這兩個變量是有一定關系的，它們之間是一種不確定性的關系.類似于這樣的兩個變量之間的關系，有必要從理論上作些探討，如果能通過數學成績對物理成績進行合理估計，將有著非常重要的現實意義.,3,課程講授變量間的相關關系,思考1：考察下列問題中兩個變量之間的關系：（1）商品銷售收入與廣告支出經費；（2）糧食產量與施肥量；（3）人體內的脂肪含量與年齡.這些問題中兩個變量之間的關系是函數關系嗎？,思考2：“名師出高徒”可以解釋為教師的水平越高，學生的水平就越高，那么學生的學業成績與教師的教學水平之間的關系是函數關系嗎？,上述兩個變量之間的關系是一種非確定性關系，稱之為相關關系.,4,兩個變量的相關關系：,（1）定義：當自變量取值一定，因變量的取值帶有一定的隨機性時，兩個變量之間的關系稱為相關關系。相關關系是一種非確定性關系。,（2）相關關系與函數關系的異同點：,不同點：函數關系是一種確定性關系；相關關系是一種非確定性關系。函數關系是一種因果關系，而相關關系不一定是因果關系，也可能是伴隨關系。如：在校兒童腳的大小與閱讀能力有很強的相關關系，但不是因果關系。,聯系：兩者均是指兩個變量的關系；在一定條件下可以相互轉化。,5,練一練,A人的年齡與他擁有的財富之間的關系B曲線上的點與該點的坐標之間的關系C蘋果的產量與氣候之間的關系D森林中的同一種樹木，其斷面直徑與高度之間的關系E學生與其學號之間的關系,溫馨提示,由于相關關系的不確定性，在尋找變量間的相關關系的過程中，統計發揮著重要作用。,6,【問題】在一次對人體脂肪含量和年齡關系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數據：,其中各年齡對應的脂肪數據是這個年齡人群脂肪含量的樣本平均數.,課程講授散點圖,7,思考1：對某一個人來說，他的體內脂肪含量不一定隨年齡增長而增加或減少，但是如果把很多個體放在一起，就可能表現出一定的規律性.觀察上表中的數據，大體上看，隨著年齡的增加，人體脂肪含量怎樣變化？,思考2：為了確定年齡和人體脂肪含量之間的更明確的關系，我們需要對數據進行分析，通過作圖可以對兩個變量之間的關系有一個直觀的印象.以x軸表示年齡，y軸表示脂肪含量，你能在直角坐標系中描出樣本數據對應的圖形嗎？,8,思考：上圖叫做散點圖，你能描述一下散點圖的含義嗎？,在平面直角坐標系中，表示具有相關關系的兩個變量的一組數據圖形，稱為散點圖.,9,思考：觀察散點圖，兩個變量的相關關系有正相關和負相關，它們在散點圖上各有什么特點？,在上面的散點圖中，右圖中點散布在從左下角到右上角的區域，對于兩個變量的這種相關關系，我們將它稱為正相關.一般地，如果兩個變量成正相關，那么這兩個變量的變化趨勢如何？,左圖中兩個變量成負相關，從整體上看這兩個變量的變化趨勢如何？其散點圖有什么特點？,10,注意！,(1)若所有樣本點都落在某函數曲線上，則兩變量之間是一種確定性關系，用函數關系表示。,（2）若所有樣本點都落在某一函數曲線附近，則變量之間具有相關關系。,（3）若所有樣本點都落在某一直線附近，變量之間就具有線性相關關系。該直線稱為回歸直線。,11,課程講授回歸直線,思考1：一組樣本數據的平均數是樣本數據的中心，那么散點圖中樣本點的中心如何確定？它一定是散點圖中的點嗎？,12,思考2：在各種各樣的散點圖中，有些散點圖中的點是雜亂分布的，有些散點圖中的點的分布有一定的規律性，年齡和人體脂肪含量的樣本數據的散點圖中的點的分布有什么特點？,這些點大致分布在一條直線附近.,13,思考3：如果散點圖中的點的分布，從整體上看大致在一條直線附近，則稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線.對具有線性相關關系的兩個變量，其回歸直線一定通過樣本點的中心嗎？,回歸直線一定過樣本點的中心：,14,課程講授回歸方程,在直角坐標系中，任何一條直線都有相應的方程，回歸直線的方程稱為回歸方程.對一組具有線性相關關系的樣本數據，如果能夠求出它的回歸方程，那么我們就可以比較具體、清楚地了解兩個相關變量的內在聯系，并根據回歸方程對總體進行估計.,思考1：回歸直線與散點圖中各點的位置應具有怎樣的關系？,整體上最接近,思考2：對于求回歸直線方程，你有哪些想法？,15,設已經得到具有線性相關關系的變量的一組數據：,設所求回歸方程是：,由探究可知，求回歸方程的關鍵是如何用數學的方法刻畫“從整體上看，各點與此直線的距離最小”？,16,它與實際收集到的之間的偏差是：,這樣，用這n個偏差的和來刻畫“各點與此直線的整體偏差”是比較合適的。,接下來的步驟為：,17,利用二次函數求最值的方法可得：,最小二乘法,其中，b是回歸方程的斜率，表示x每增加一個單位,增加b個單位;a是截距,表示方程中不受x影響的部分。,18,例某公司的廣告費支出x(單位：萬元)與銷售額y(單位：萬元)之間有下列對應數據：,課程講授數學運用,（1）畫出散點圖；（2）從散點圖中發現廣告支出與銷售額之間關系的一般規律；（3）求回歸方程；（4）如果銷售額為115萬元時，約需多少廣告費？,19,課堂練習,20,21,下表提供了某廠節能降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量x(噸)與相應的生產能耗y(噸標準煤)的幾組對照數據,題型三求回歸直線方程并對總體進行估計,【例3】,22,規范解答(1)散點圖如圖所示：,23,24,(3)現在生產100噸甲產品用煤y0.71000.3570.35(噸)，9070.3519.65，降低19.65噸標準煤(12分),25,26,假設關于某設備的使用年限x(年)和所支出的維修費用y(萬元)，有如下的統計資料：,【變式3】,27,解(1)先把數據列成表,28,29,30,31,課堂小結,1對于兩個變量之間的關