第4章系統狀態反饋和狀態觀測器,目錄4.1狀態反饋與輸出反饋4.2單輸入單輸出狀態反饋系統的極點配置法4.3狀態重構問題4.4觀測器的極點配置,4.1狀態反饋與輸出反饋,1.狀態反饋設原系統：,1/s,u,y,-,+,+,+,+,其中：系統輸入-狀態反饋陣狀態反饋系統(閉環系統）：若=0，特征方程,狀態反饋控制律：,2.輸出反饋a.輸出反饋至參考微分處(),1/S,H,u,-,+,+,y,其中-輸出反饋陣,b.輸出反饋至參考輸入：,1/S,u,-,+,+,比較：輸出反饋輸出反饋H，F選擇的自由度比狀態反饋K小，輸出反饋部分狀態反饋。C=I，FC=K時，才能等同狀態反饋。因此，輸出反饋的效果不如狀態反饋，但輸出反饋實現較方便，而狀態反饋中不能測量的狀態變量需用狀態觀測器重構狀態。引入各種反饋構成閉環系統后，系統的能控性和能觀測性如何呢？,4.2閉環系統的能控性與能觀測性,定理1：狀態反饋不改變原系統的能控性，但卻不一定能保證系統的能觀測性證明：設原系統的狀態空間表達式為：引入u=v-kx的狀態反饋后系統動態方程為：,先證能控的充要條件是能控：的能控性陣：的能控性陣：,另一方面：的狀態反饋系統或：是由經初等變換得到，而初等變換,例：解：判斷原系統的能控性，能觀性,能控,能觀測,引入狀態反饋：,則：,令：,能控,不能觀測,原系統：,狀態反饋閉環系統：,引入狀態反饋后出現零極點對消,定理2：輸出至參考輸入的反饋不改變原系統的能觀測性與能控性,證明：輸出反饋中的FC等效于狀態反饋中的K，所以輸出反饋也保持了系統的能控性不變。由能觀測性判據陣，同樣可把SOH看成是SCO經初等變換的結果，因此能觀測性保持不變。,定理3：輸出至狀態微分的反饋不改變原系統的能觀測性，但可能改變原系統的能控性證明：1）用對偶原理證明能觀測性不變,設原系統，輸出反饋的系統若原系統能觀測對偶系統能控。由定理1可知，系統引入狀態反饋后的系統能控性不變對偶系統能觀測性不變。即,關于能控性：設原系統能控對偶系統能觀測,而系統的能觀測性陣：,4.3單輸入/單輸出系統的極點配置,控制系統的性能主要取決系統的極點在根平面上的分布。極點配置就是通過狀態反饋矩陣K，將閉環系統的極點恰好配置在根平面上所期望的位置，以獲得所希望的動態特性。,設原系統：,1/S,u,-,+,+,y,x,v,引入狀態反饋：,-閉環系統的系統陣,閉環系統的特征多項式,定理：用狀態反饋任意配置閉環極點的充分必要條件是：原系統狀態完全能控證明：充分性設原系統能控任意配置極點原系統能控，一定存在非奇異線性變換陣將(A，b)能控標準型,引入狀態反饋，其中其中：,是能控標準型（規范型）,特征多項式：,比較與,根據給定的n個希望閉環極點，其期望的閉環特征方程,可任意配置極點,能控標準型,必要性：任意配置極點原系統狀態能控反證法：即假設原系統可任意配置極點，但原系統不完全能控。,設,系統不完全能控，采用非奇異變換，將系統分解成能控和不能控兩部分，即,的特征值(的極點)不能任意配置與已知矛盾，所以反設不成立。,當系統狀態不完全能控時，狀態反饋只能配置系統能控部分的極點，而不能影響系統不能控部分的極點。,幾點說明：（1）在原系統狀態完全能控的情況下，可通過狀態反饋任意配置系統的極點；（2）當系統不完全能控時，狀態反饋只能任意配置系統能控部分的極點，而不能改變系統不能控部分的極點；（3）對單輸入/單輸出系統極點配置定理對多輸入/多輸出系統也成立，僅僅是狀態反饋矩陣K是不惟一的，對單變量系統K是唯一的。,求解狀態反饋陣的步驟：驗證原系統的能控性閉環系統特征方程：希望的閉環系統的特征方程：計算,直接求出,a)原系統是能控標準型：b)原系統不是能控型，比較與C）或按能控標準型求P變換陣（）d)寫出閉環系統狀態方程：,標準型法求出,例1：要求通過狀態反饋將閉環極點配置在解：能控標準型能控設,1/s,1/s,1/s,4,1,2,3,4,U,例2:要求通過狀態反饋將閉環極點設置在解：（1）,原系統能控,(2),狀態完全能控K陣存在，設,(3),(4)令,(5),1/s,1/s,1/s,2,3,3,-,-,-,+,+,y,v,3,閉環系統的傳遞函數：,系統有一個極點和零點對消，系統不完全能觀測,4.4狀態反饋對系統零極點的影響,設單輸入出系統：已知(A,b,c,d)能控，則經過將(A,b,c,d)化為能控標準型,引入狀態反饋：,設：,狀態反饋后系統的零點不變，極點可變，可能導致系統零極點對消,具有輸入變換器和串聯補償器的狀態反饋極點配置,對于完全能控的系統，通過狀態反饋可以實現系統的極點任意配置，但不能改變極點的個數，不能改變閉環系統的零點，并且一旦閉環系統極點確定，還不能改變閉環傳遞系數。系統設計時，穩態和動態性能所決定的期望的傳遞函數與原被控系統的傳遞函數均不相一致時，單狀態反饋達不到要求。,具有輸入變換器和串聯補償器的狀態反饋,Gc(s)是串聯補償器，F是輸入變換器。,設計的基本原理：（1）根據期望的閉環傳遞函數設計串聯補償其Gc(s)-實現要求的極點個數和要求的閉環零點；（2）通過狀態反饋實現要求的閉環極點；（3）根據要求的閉環傳遞系數，確定輸入變換器F。,例：系統結構如圖所示。期望的閉環傳遞函數為,設計串聯補償器Gc(s)，狀態反饋陣K和輸入變換器F。,（1）設計串聯補償器Gc(s)原系統的狀態空間表達式和傳遞函數為,需要增加一個閉環極點，由于閉環極點的位置可由狀態反饋自由移動，從實現方便，可選擇串聯補償器的傳遞函數為,（2）設計狀態反饋陣K,（3）確定輸入變換器F,狀態反饋閉環系統的結構圖,其它一些情況：（1）增加零點。,串聯補償器需準確提供該零點，同時還需提供一個極點。,（2）移動零點。,串聯補償器必須把零點從-0.5移動到-3.5。采用極點抵消零點，再增加零點，同時還需提供一個極點。,（3）消除零點。,串聯補償器采用極點抵消零點，同時還需提供一個極點。,4.5輸出反饋實現極點配置,輸出反饋狀態微分設多輸入單輸出系統：,B,A,1/s,C,h,u,y,-,+,定理：由輸出至的反饋任意配置極點的充要條件是原系統狀態完全能觀測的證明：運用對偶原理：若(A,B,C)能觀，則能控，可由狀態反饋實現極點配置：可求出h,輸出反饋至參考輸入的極點配置：,B,A,1/s,C,f,u,-,+,引入輸出反饋：對于完全能控的系統，采用輸出線性反饋不一定能任意配置極點。,y,v,例：系統的狀態空間表達式為：,若采用輸出反饋，是否可使閉環系統穩定；若采用狀態反饋，是否可使閉環系統穩定。分析系統的能控和能觀測性，,采用輸出到輸入的反饋，則閉環系統的系統矩陣,不論f取任何值都不能使系統穩定。,4.6全維狀態觀測器及其設計,狀態觀測器狀態估計器狀態重構原系統狀態估計狀態全維狀態觀測器,b,I/S,C,A,觀測器,k,-,要求：,狀態觀測器的構成：實現狀態重構，即設計一個觀測器系統，該系統的輸入是原系統的輸入和輸出，它的輸出就是原系統的一個狀態漸近估計。,原系統：構造系統：,盡管兩個系統的參數，輸入信號都一樣，但系統的初始狀態不可能完全一樣，,但是可加入輸出量比較的反饋來進行修正，這就可得到所求的觀測狀態。,全維觀測器的設計：,-觀測器的系統陣,-觀測器的輸出反饋陣,(2),觀測器存在的條件：,偏差狀態方程,令,狀態與估計狀態的偏差,為使觀測器的響應速度大于狀態反饋系統的響應速度而希望的特征多項式,當輸出反饋起作用，可選擇，使,的選擇：,當輸出反饋不起作用,1/S,u,-,+,+,1/S,+,H,K,v,-,狀態反饋部分,觀測器部分,-,定理：若系統(A,B,C)完全能觀測，則可構造能任意配置極點的全維觀測器對原系統狀態來進行估計：,適當選取,關于觀測器的極點：（1）為了保證估計狀態逐漸逼近實際狀態，觀測器的極點均具有負實部；（2）觀測器的極點決定了估計狀態逼近實際狀態的速度，實部越負，逼近速度越快；（3）觀測器的極點還決定了觀測器的抗干擾能力，響應速度越快，觀測器的頻帶越寬，抗干擾能力越差。通常將觀測器的極點配置得使觀測器的響應速度比系統稍快些。,定理：若系統(A,B,C)不完全能觀測，則觀測器存在的充分必要條件是其不能觀測部分是漸近穩定的。,對于不完全能觀測的系統按能觀測性分解為能觀測和不能觀測兩部分。能觀測部分極點可以任意配置；不能觀測部分本身極點為負實部。,例：設計觀測器，使觀測器的極點為：解：,原系統能觀測觀測器的極點可任意配置。,令,又,設,觀測器的狀態方程,原系統,觀測器系統,4.7降維狀態觀測器全維狀態觀測器其維數和控制系統狀態個數一樣。實際上，系統的輸出y是能夠嚴格測量的，因此，利用系統的輸出量直接產生部分狀態變量，從而降低觀測器的維數，構成降維狀態觀測器?？勺C明，若系統是能觀測的，且輸出為q維，系統的狀態為n維，則需要觀測器的狀態可減為n-q維。,定理：對于完全能觀測系統,假設狀態x是n維，y是q維的。，則存在n-q維降維觀測器為,證明：,設非奇異變換陣,線性變換得,將和q個輸出量相當的狀態變量分離出來.,狀態能直接由輸出y獲得，只要將n-q個狀態變量由觀測器來重構，構造子系統的全維觀測器。,為了消去等式右邊y的導數項，做變換得,設計q維的全維狀態觀測器,經變換后系統狀態變量的估計值可表示為而原系統的狀態變量估計值為,狀態觀測器解決了系統狀態變量重構問題，為實現狀態反饋創造了條件。依靠狀態觀測器所構成的狀態反饋系統如圖所示。整個系統由三部分組成，原系統，觀測器和狀態反饋。,4.8帶狀態觀測器的狀態反饋系統,1/S,u,-,+,+,1/S,+,H,K,v,-,狀態反饋部分,觀測器部分,-,帶狀態觀測器的狀態反饋系統結構圖,原系統引入狀態反饋：全維觀測器：,由上得整個閉環系統的狀態空間表達式（組合系統，2n個狀態變量）,或狀態和狀態估計差,上述兩系統滿足如下的線性變換,閉環系統的基本特征1）分離定理：組合系統的特征多項式為,由觀測器構成狀態反饋的閉環系統，其特征多項式等于狀態反饋部分的特征多項適合觀測器部分的特征多項式的乘積，而且兩者相互獨立。系統（A，B，C)能控且能觀測，則系統的狀態反饋陣K和觀測器反饋陣H可按各自的要求，獨力進行設計，成為分離特性。,2.傳遞函數陣的不變性,帶觀測器狀態反饋閉環系統的傳遞函數陣等于直接狀態反饋系統的傳遞函數陣。,3.觀測器反饋和直接反饋的等效性系統能觀測時，選擇H陣可使A-HC的特征值均具有負實部，所以必有，因此，當時，必有,這表明，帶觀測器的狀態反饋系統，只有當，才會與直