三圓的切線的性質及判定定理A組1.已知圓的半徑為6.5 cm,圓心到直線l的距離為4.5 cm,則這條直線和這個圓的公共點的個數是()A.2B.1C.0D.不能確定解析圓心到l的距離是4.5cm,小于圓的半徑6.5cm,故圓與l相交,有兩個公共點.答案A2.如圖所示,AB與O切于點B,AO=6 cm,AB=4 cm,則O的半徑r等于()A.45 cmB.25 cmC.213 cmD.13 cm解析如圖,連接OB,則OB=r且OBAB,故OB=r=OA2-AB2=36-16=25(cm).答案B3.(2016山西太原高二檢測)如圖所示,O是正三角形ABC的內切圓,切點分別為E,F,G,P是劣弧EG上任意一點,則EPF的度數等于()A.120B.90C.60D.30解析連接OE,OF,則OEAB,OFBC,于是EOF=180-B=120,從而EPF=12EOF=60.答案C4.如圖所示,CB為O的直徑,P是CB的延長線上的一點,且OB=BP,AOC=120,則PA與O的位置關系是()A.相離B.相切C.相交D.不確定解析如圖所示,連接AB.AOC=120,AOB=60.又OA=OB,AOB是等邊三角形,OB=AB.又OB=BP,AB=12OP,OAP=90.即OAAP,則PA與O相切.答案B5.(2016安徽蚌埠高二檢測)如圖所示,已知O的直徑AB與弦AC的夾角為30,過C點的切線PC與AB的延長線交于P,PC=3,則O的半徑為()A.32B.3C.12D.1解析連接OC,則COP=60,OCPC,可求得OC=333=1.答案D6.如圖所示,AB是O的直徑,點C在AB的延長線上,CD切O于點D,連接AD,若A=25,則C=.解析如圖所示,連接OD.CD與O相切,ODDC.OA=OD,A=ODA=25.COD為AOD的外角,COD=50,C=40.答案407.(2016天津武清高二檢測)如圖所示,已知EB是半圓O的直徑,A是BE延長線上一點,AC是半圓O的切線,切點為D,BCAC于C,若BC=6,AC=8,則AE=.解析連接OD,則ODAC.又BCAC,可得AODABC,而AB=AC2+BC2=10,于是OD6=10-OD10,解得OD=154,故AE=AB-2OD=10-2154=52.答案528.如圖所示,正方形ABCD內接于O,O的半徑為4 cm,則過AB,BC中點的弦EF的長是 cm.解析如圖,連接OB交EF于H,連接OE,則OH=2cm,HE=42-22=23(cm),故EF=43cm.答案439.如圖所示,在ABC中,AB=AC,以AB為直徑的O交BC于點D,過點D作O的切線交AC于點E.求證:DEAC.證明連接OD,AD,如圖所示.AB為O直徑,ADBC.AB=AC,即ABC為等腰三角形,AD為BC邊上的中線,即BD=DC.又OA=OB,OD為ABC的中位線.ODAC.DE切O于點D,ODDE.DEAC.10.(2016甘肅蘭州高二檢測)如圖,ABC內接于O,點D在OC的延長線上,sin B=12,D=30.(1)求證:AD是O的切線;(2)若AC=6,求AD的長.(1)證明如圖,連接OA,sinB=12,B=30.AOC=2B,AOC=60.又D=30,OAD=180-D-AOD=90,即OAAD,故AD是O的切線.(2)解OA=OC,AOC=60,AOC是等邊三角形,OA=AC=6.OAD=90,D=30,AD=3AO=63.B組1.導學號19110034如圖所示,AC與O相切于點D,AO的延長線交O于B,且BC與O相切于B,AD=DC,則AOOB等于()A.2B.1C.12D.43解析如圖所示,連接OD,OC.AC,BC是切線,ODAC,OBBC.又AD=DC,OAC是等腰三角形.OA=OC.A=OCD.又OC=OC,OD=OB,OBCODC.OCD=OCB.BCA=2A.A+BCA=3A=90.A=30.AOOB=AOOD=1sin30=2.答案A2.(2016廣東佛山高二檢測)如圖所示,在RtABC中,C=90,AC=4,BC=3,以BC上一點O為圓心作O與AB相切于E,與AC相切于C,又O與BC的另一個交點為D,則線段BD的長為()A.1B.12C.13D.14解析由O與AC相切于C,則ACB=90.AC=4,BC=3,AB=5.連接OE,且設O的半徑為R,則OEBACB,得OB=OEABAC=54R,BC=OC+OB=R+54R=94R=3,解得R=43,故BD=BC-2R=3-83=13.答案C3.(2016河北石家莊高二檢測)如圖所示,圓O的半徑為1,A,B,C是圓周上的三點,滿足ABC=30,過點A作圓O的切線與OC的延長線交于點P,則PA=.解析如圖,連接OA,AP為O的切線,OAAP.又ABC=30,AOC=60.在RtAOP中,OA=1,PA=OAtan60=3.答案34.如圖所示,O的直徑AB=8,C為圓周上一點,BC=4,過點C作O的切線l,過點A作直線l的垂線AD,D為垂足,AD與O交于點E,則線段AE的長為.解析如圖所示,連接OC,連接BE交OC于點F,則OCl,BEAD.又ADl,所以ADOC,OCBE.因為直徑AB=8,所以OB=OC=4.又因為BC=4,所以OBC是等邊三角形.所以F是OC的中點.所以AE=2OF=OC=4.答案45.如圖所示,D是ABC的邊AC上的一點,ADDC=21,BCD=45,ADB=60,求證:AB是BCD的外接圓的切線.證明如圖所示,連接OB,OC,OD,OD交BC于點E.DCB是BD所對的圓周角,BOD是BD所對的圓心角,BCD=45,BOD=90.ADB是BCD的一個外角,DBC=ADB-ACB=60-45=15.DOC=2DBC=30.BOC=BOD+DOC=120.OB=OC,OBC=OCB=30.在OEC中,EOC=ECO=30,OE=EC.在BOE中,BOE=90,EBO=30,BE=2OE=2EC.CEBE=CDDA=12.ABOD.ABO=90.故AB是BCD的外接圓的切線.6.導學號19110035如圖所示,AB是O的直徑,F,C是O上兩點,且AF=FC=CB,連接AC,AF,過點C作CDAF交AF延長線于點D,垂足為D.(1)求證:CD是O的切線;(2)若CD=23,求O的半徑.(1)證明如圖所示,連接OC.FC=BC,FAC=BAC.OA=OC,OAC=OCA.FAC=OCA.OCAF.CD