.,第2章點、直線、平面的投影,2.1投影法及其分類,2.2點的投影,2.3直線的投影,2.4平面的投影,2.5直線與平面及兩平面的相對位置,本章小結,結束放映,.,平行投影法,中心投影法,2.1投影法及其分類,投影法,投射線,物體,投影面,投影,投射線通過物體，向選定的平面進行投射，并在該面上得到圖形的方法投影法。,投射中心,斜投影法,正投影法,.,中心投影法,投射中心、物體、投影面三者之間的相對距離對投影的大小有影響。度量性較差。,投影特性,物體位置改變，投影大小也改變。,.,平行投影法,投影特性,投影大小與物體和投影面之間的距離無關。度量性較好。,工程圖樣多數采用正投影法繪制。,.,投影法,中心投影法,平行投影法,正投影法,斜投影法,畫透視圖,畫斜軸測圖,畫工程圖樣及正軸測圖,.,結束？,繼續？,.,采用多面投影。,過空間點A的投射線與投影面P的交點即為點A在P面上的投影。,點在一個投影面上的投影不能確定點的空間位置。,一、點在一個投影面上的投影,a,2.2點的投影,.,二、點的三面投影,投影面,正面投影面（簡稱正面或V面）,水平投影面（簡稱水平面或H面）,側面投影面（簡稱側面或W面）,投影軸,OX軸V面與H面的交線,OZ軸V面與W面的交線,OY軸H面與W面的交線,三個投影面互相垂直,.,空間點A在三個投影面上的投影,注意：空間點用大寫字母表示，點的投影用小寫字母表示。,.,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,向右翻,向下翻,不動,投影面展開,.,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,點的投影規律:,aaOX軸,aax=,aax=,aay=,a,y,Y,Z,az,a,X,Y,ay,O,a,ax,ay,a,aaOZ軸,=y,=Aa（A到V面的距離）,aaz,=x,=Aa（A到W面的距離）,aay,=z,=Aa（A到H面的距離）,aaz,.,例：已知點的兩個投影，求第三投影。,a,a,ax,az,az,解法一:,通過作45線使aaz=aax,解法二:,用圓規直接量取aaz=aax,.,三、兩點的相對位置,兩點的相對位置指兩點在空間的上下、前后、左右位置關系。,判斷方法：,x坐標大的在左,y坐標大的在前,z坐標大的在上,B點在A點之前、之右、之下。,b,a,a,a,b,b,X,Y,Y,Z,o,.,(),ac,c,重影點：,空間兩點在某一投影面上的投影重合為一點時，則稱此兩點為該投影面的重影點。,a,a,c,被擋住的投影加(),A、C為H面的重影點,.,結束？,繼續？,.,2.3直線的投影,兩點確定一條直線，將兩點的同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影。,直線對一個投影面的投影特性,一、直線的投影特性,直線垂直于投影面投影重合為一點積聚性,直線平行于投影面投影反映線段實長ab=AB,直線傾斜于投影面投影比空間線段短ab=AB.cos,.,直線在三個投影面中的投影特性,投影面平行線,投影面垂直線,正平線（平行于面）,側平線（平行于面）,水平線（平行于面）,正垂線（垂直于面）,側垂線（垂直于面）,鉛垂線（垂直于面）,一般位置直線,統稱特殊位置直線,其投影特性取決于直線與三個投影面間的相對位置,.,投影面平行線,X,Z,水平線,實長,在其平行的那個投影面上的投影反映實長，并反映直線與另兩投影面傾角的實大。,另兩個投影面上的投影平行于相應的投影軸，其到相應投影軸距離反映直線與它所平行的投影面之間的距離。,投影特性：,.,判斷下列直線是什么位置的直線？,側平線,正平線,與H面的夾角:與V面的角:與W面的夾角:,實長,實長,直線與投影面夾角的表示法：,.,反映線段實長，且垂直于相應的投影軸。,投影面垂直線,鉛垂線,正垂線,側垂線,另外兩個投影，,在其垂直的投影面上，,投影有積聚性。,投影特性:,.,一般位置直線,三個投影都傾斜于投影軸，其與投影軸的夾角并不反映空間線段與三個投影面夾角的大小。三個投影的長度均比空間線段短，即都不反映空間線段的實長。,投影特性,.,二、直線與點的相對位置,若點在直線上,則點的投影必在直線的同名投影上。,點的投影將線段的同名投影分割成與空間線段相同的比例。即：,AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cb,定比定理,.,例1：判斷點C是否在線段AB上。,在,不在,a,b,不在,應用定比定理,.,例2：已知點K在線段AB上，求點K正面投影。,解法一：（應用第三投影）,解法二：（應用定比定理）,a,b,.,三、兩直線的相對位置,空間兩直線的相對位置分為：平行、相交、交叉（異面）。,兩直線平行,空間兩直線平行，則其各同名投影必相互平行，反之亦然。,.,例：判斷圖中兩條直線是否平行。,對于一般位置直線，只要有兩組同名投影互相平行，空間兩直線就平行。,AB與CD平行。,AB與CD不平行。,對于特殊位置直線，只有兩組同名投影互相平行，空間直線不一定平行。,.,兩直線相交,若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影特性。,交點是兩直線的共有點,a,c,V,X,b,H,D,a,c,d,k,C,A,k,K,d,b,O,B,.,c,d,k,k,d,例1：過C點作水平線CD與AB相交。,先作正面投影,.,例2：判斷直線AB、CD的相對位置。,c,d,a,b,c,d,相交嗎？,不相交！,為什么？,交點不符合空間一個點的投影特性。,判斷方法？,應用定比定理,利用側面投影,.,兩直線交叉,為什么？,兩直線相交嗎？,不相交！,交點不符合一個點的投影規律！,.,1(2),投影特性：,同名投影可能相交，但“交點”不符合空間一個點的投影規律。,“交點”是兩直線上的一對重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。,.,結束？,繼續？,.,2.4平面的投影,一、平面的表示法,不在同一直線上的三個點,直線及線外一點,兩平行直線,兩相交直線,平面圖形,.,二、平面的投影特性,實形性,類似性,積聚性,平面對一個投影面的投影特性,.,平面在三投影面體系中的投影特性,平面對于三投影面的位置可分為三類：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面,平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面,與三個投影面都傾斜,.,c,c,投影面垂直面,為什么？,a,b,c,a,b,b,a,類似性,類似性,積聚性,鉛垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。,另外兩個投影面上的投影為類似形。,.,投影面平行面,積聚性,積聚性,實形性,水平面,投影特性：,在它所平行的投影面上的投影反映實形。,另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應的投影軸平行的直線。,.,一般位置平面,三個投影都類似。,投影特性：,.,a,c,b,c,a,a,b,c,b,例：正垂面ABC與H面的夾角為45，已知其水平投影及頂點B的正面投影，求ABC的正面投影及側面投影。,思考：此題有幾個解？,.,三、平面上的直線和點,位于平面上的直線應滿足的條件：,平面上取任意直線,若一直線過平面上的兩點，則此直線必在該平面內。,若一直線過平面上的一點且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內。,.,d,例1：已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內任作一條直線。,解法一:,解法二:,有無數解！,.,例2：在平面ABC內作一條水平線，使其到H面的距離為10mm。,n,m,n,m,c,a,b,c,a,b,唯一解！,.,平面上取點,先找出過此點而又在平面內的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點的位置。,例1：已知K點在平面ABC上，求K點的水平投影。,面上取點的方法：,利用平面的積聚性求解,通過在面內作輔助線求解,首先面上取線,d,d,.,b,c,k,a,d,a,d,b,c,k,b,例2：已知AC為正平線，補全平行四邊形ABCD的水平投影。,解法一:,解法二:,.,d,e,例3：在ABC內取一點M，并使其到H面V面的距離均為10mm。,.,結束？,繼續？,.,2.5直線與平面及兩平面的相對位置,相對位置包括平行、相交和垂直。,一、平行問題,直線與平面平行,平面與平面平行,直線與平面平行,.,a,c,b,m,a,b,c,m,n,例1：過M點作直線MN平行于平面ABC。,有無數解,d,d,.,正平線,例2：過M點作直線MN平行于V面和平面ABC。,唯一解,c,b,a,m,a,b,c,m,n,d,d,.,兩平面平行,若一平面上的兩相交直線分別平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。,若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。,.,a,c,e,b,b,a,d,d,f,c,f,e,k,h,k,h,O,X,m,m,由于ek不平行于ac,故兩平面不平行。,例：判斷平面ABDC與平面EFHM是否平行,已知ABCDEFMH,.,直線與平面相交，其交點是直線與平面的共有點。,二、相交問題,直線與平面相交,要討論的問題：,求直線與平面的交點。,判別兩者之間的相互遮擋關系，即判別可見性。,我們只討論直線與平面中至少有一個處于特殊位置的情況。,.,例：求直線MN與平面ABC的交點K并判別可見性。,空間及投影分析,平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點即為K點的水平投影。,求交點,判別可見性,由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn為可見。,還可通過重影點判別可見性。,作圖,用線上取點法,1(2),.,1(2),k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c,直線為特殊位置,空間及投影分析,直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個點，故交點K的水平投影也積聚在該點上。,求交點,判別可見性,點位于平面上，在前；點位于MN上，在后。故k2為不可見。,作圖,用面上取點法,.,兩平面相交,兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時交線上的點都是兩平面的共有點。,要討論的問題：,求兩平面的交線,方法：,確定兩平面的兩個共有點。,確定一個共有點及交線的方向。,只討論兩平面中至少有一個處于特殊位置的情況。,判別兩平面之間的相互遮擋關系，即：判別可見性。,.,可通過正面投影直觀地進行判別。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),空間及投影分析,平面ABC與DEF都為正垂面，它們的交線為一條正垂線，兩平面正面投影的交點即為交線的正面投影，交線的水平投影垂直于OX軸。,求交線,判別可見性,作圖,從正面投影上可看出，在交線左側，平面ABC在上，其水平投影可見。,能!,如何判別？,例：求兩平面的交線MN并判別可見性。,O,X,.,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),例：求兩平面的交線MN并判別可見性。,求交線,判別可見性,作圖,從正面投影上可看出，在交線左側，平面ABC在上，其水平投影可見。,空間及投影分析,平面ABC與DEF都為正垂面，它們的交線為一條正垂線，兩平面正面投影的交點即為交線的正面投影，交線的水平投影垂直于OX軸。,O,X,.,空間及投影分析,平面DEFH是一鉛垂面，它的水平投影有積聚性，其與ac、bc的交點m、n即為兩個共有點的水平投影，故mn即為交線MN的水平投影。,求交線,判別可見性,點在MC上，點在FH上，點在前，點在后，故mc可見。,作圖,.,a,b,d(e),e,b,d,h(f),c,f,c,h,空間及投影分析,平面DEFH是一鉛垂面，它的水平投影有積聚性，其與ac、bc的交點m、n即為兩個共有點的水平投影，故mn即為交線MN的水平投影。,求交線,判別可見性,點在MC上,點在FH上，點在前，點在后，故mc可見。,作圖,.,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N點的水平投影n位于def的外面，說明點N位于DEF所確定的平面內，但不位于DEF這個圖形內。所以ABC和DEF的交線應為MK。,互交,.,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,互交,投影分析,N點的水平投影n位于def的外面，說明點N位于DEF所確定的平面內，但不位于DEF這個圖形內。所以ABC和DEF的交線應為MK。,.,結束？,繼續？,.,小結,點、直線、平面的投影特性，尤其是特殊位置直線與平面的投影特性。,重點掌握：,點、直線、平面的相對位置的判斷方法及投影特性。,一、直線上的點,點的投影在直線的同名投影上。,點的投影必分線段的投影成定比定比定理。,判斷方法,.,二、兩直線的相對位置,平行,同名投影互相平行。,對于一般位置直線，只要有兩個同名投影互相平行，空間兩直線就平行。,對于特殊位置直線，只有兩個同名投影互相平行，空間直線不一定平行。,.,相交,交叉（異面）,同名投影相交，交點是兩直線的共有點，且符合空間一個點的投影規律。,同名投影可能相交，但“交點”不符合空間一個點的投影規律。“交點”是兩直線上一對重影點的投影。,.,三、點與平面的相對位置,面上取點的方法,利用平面的積聚性求解,通過在面內作輔助線求解,.,四、直線與平面的相對位置,直線與平面平行直線平行于平面內的一條直線。,直線與平面相交,投影面垂直線與一般位置平面求