第九章 滯后變量回歸模型回歸分析經常遇到時間序列資料，如果在回歸模型中不僅含有解釋變量X的當前值而且含有X的滯后值，它就稱為分布滯后模型(Distributed-Lag Model)，如（9.0.1）就是一個分布滯后模型。如果模型中包含一個或若干個因變量的滯后值，它就稱為自回歸模型(Autoregressive Model)，如（9.0.2）就是一個自回歸模型。分布滯后模型與自回歸模型都屬于滯后變量回歸模型，它在經濟領域有廣泛的應用。一個當前的經濟指針，經常受到過去某些經濟指針(包括自身的)影響，這是件很常見很容易理解的事情。我們在處理這一類問題時要考慮下列問題：1經濟分析中滯后起什么作用?2滯后的原因是什么?3在實證分析中對滯后有沒有什么理論判別方法?4自回歸與分布滯后有什么關系?能否從一個導出另一個?5滯后變量模型中有哪一些統計問題?6變量之間的滯后是否意味著災難?如果是，如何度量它?這些問題有些是不能給出精確定義或精確解答的，只可體會其意思。我們以下主要是從經濟模型的數學形式來展開討論。第一節 模型概念：消費滯后、通脹滯后與存款創生實際經濟活動中，因變量Y經常是與經濟自變量的過去值有關，而與當前值有關反而少一些。為了具體說明這種滯后關系，我們看一些實例。1消費滯后假如一個消費者從今年起每年工資增加2000元，并將持續一段時間。他的消費行為將受到怎樣的影響呢?一般來說，他不會把當年增加的收入全部花光。很可能是，他把每增加的2000元當年花掉800元，第二年花掉600元，第三年花掉400元，余下的永久儲蓄起來。這樣到第三年，他的消費增加額將是1800元。這樣的消費函數寫下就是（9.1.1）這里Y是消費開支，C是常數，X是收入。一般地，有限分布滯后模型可以寫作（9.1.2）這里分布滯后k個時段。系數0稱作短期系數，因為它給出X對Y同期線性作用大小。如果X的改變維持不變，那么(0+1)給出Y在下一周期的改變，(0+1+2)給出再下一周期的改變，等等。這些部分和稱作中期乘子。最后，經過k個周期，我們得到（9.1.3）稱為長期分布滯后乘子。類似地，無限分布滯后模型可以寫作（9.1.4）它不需要確定分布滯后長度，反而數學處理方便一些。如果定義（9.1.5）則表示一種標準化系數，。于是可以將分布滯后模型改寫為（9.1.6）2通脹滯后經濟理論認為通貨膨脹是一種基本的金融現象，因為在持續的經濟增長中貨幣供給量總會超過實際需求。當然，通貨膨脹與貨幣供應量的改變之間的聯系不是實時的，總會滯后一個時期。研究顯示二者之間大致滯后3-20個季度。下表摘自Keith M.Carlson(1980)的研究報告：“貨幣供應對價格的滯后關系”。樣本周期自1955年第一季度至1969年第四季度，共60個季度。滯后周期取作20(季度)。滯后方程是表9.1.1系數值t值系數值t值m00.0411.276m110.0654.673m10.0341.538m120.0694.795m20.0301.903m130.0724.694m30.0292.171m140.0734.468m40.0302.235m150.0724.202m50.0332.294m160.0693.943m60.0372.475m170.0623.712m70.0422.798m180.0533.511m80.0483.249m190.0393.388m90.0543.783m200.0223.191m100.0594.3051.0317.870方程中M是貨幣M1B供應量(現金+可開支票的儲蓄)改變的百分數。P是物價上漲的百分數。從長期來看，=1.0311，它是統計顯著的(t=7.870t0.01(20)=2.528)，意味著貨幣供應量每增加1%，價格也相應上漲了1%。從短期看，m0=0.041意味著貨幣供應量每增加1%，當年物價上漲0.041%。表1是美國五、六十年代的資料，對我們只有參考價值。不過懂得通脹滯后對宏觀調控的掌握是很重要的。3存款創生假如央行給銀行系統注入1000億元，那么銀行的儲蓄總額最終可達多少呢?假如法律要求銀行必須留下20%作保證金，那么銀行第一次可以貸出800億元。這800億元在銀行外流通一段時間后，必須又會被存回銀行。銀行對這800億元新到的存款除留下20%作保證金外，可將其余的640億元再貸出去，這貸出去的存款又會被別人存回銀行，如此等等，最終，根據著名的乘數法則，銀行儲蓄總額會達到：（億元）用滯后模型描述就是： 這里Xt=1000(億元)，=0.8。當然這個5000億不是一夜之間變出來的，它要經過一段時間。這幾個例子只是經濟指針之間關系滯后的很少一部分代表。為什么會發生滯后呢?當然主要是技術上的原因。生產過程是一環套一環的，只有等上一工序完成，才能進行下一工序。資本、技術、新產品的擴散，都需要時間。除此之外，人們的心理因素與社會習慣勢力也起著滯后作用，新事物、新方法、新產品都需要示范使人信服才能普遍被接受。經濟制度包括財政稅收制度也使滯后現象成為必然。第二節 有限分布滯后模型一、滯后長度已知時模型的估計若要估計分布滯后模型這里N已知，稱作滯后長度，可以使用標準記法這里注意矩陣X里包含前定樣本值，假定這N個觀察也是可供利用的。如果也滿足標準假設，即，Xt被看作固定的，非隨機的，那么基于樣本信息Y與X，的最小二乘估計為，它是的無偏估計。這樣估計在分布滯后模型里存在一些問題。首先，在實際問題中滯后長度N很少已知。如果將某個上界M代替N(MN)，則M的LSE將不是有效估計，因為它忽略了限制。這個問題我們放到下段解決。第二個問題是X的某些列向量可能線性相關。這是一個典型的復共線問題。如果分布滯后長度N較短，比如是3或4，那么復共線問題可能不嚴重。然而實際問題N=10并不少見， 如果Xt改變量不大，或者移動有規則，就會產生嚴重的復共線。復共線下的LSE預測精度很差，如何處理這一問題我們也放到以后解決。二、分布滯后長度的確定如果真實滯后長度N未知，但它有上界M，那么如何選擇N是一個基本的問題。我們先談一個簡易法則，它稱為分布滯后模型的特定估計(Ad Hoc Estimation)。因為假定Xt是非隨機的，至少是與不相關的，等等也是如此，所以可以應用普通最小二乘(OLS)。我們可以作一個回歸序列：（1）Yt對Xt回歸；（2）Yt對Xt，Xt-1回歸；（3）Yt對Xt，Xt-1，Xt-2回歸；這個過程一直進行到下列情況發生就停止：最后的滯后變量統計不顯著；或者最后的滯后變量符號與上一個回歸方程相比發生改變。Alt和Tinbergen將美國1930-1939年石油消費量Y對新訂貨量X作回歸，以季度為滯后單位，采用Ad Hoc方法：=8.37+0.171Xt=8.27+0.111Xt+0.064Xt-1=8.27+0.109Xt+0.071Xt-1-0.055Xt-2=8.32+0.108Xt+0.063Xt-1+0.022Xt-2-0.020Xt-3結果他們認為第二個回歸方程是最好的。因為第三、第四個方程里Xt-2的系數是不穩定的，此外系數為負對經濟現象不好作出解釋。于是滯后長度就取1為合適。這就是Ad Hoc估計與Ad Hoc方法。下面的統計檢驗方法思想與上面的差不多，不過順序正好相反。因為分布滯后回歸變量Xt，Xt-1有自然順序，我們就順其自然建立一系列假設檢驗：這里每一個零假設檢驗都是在上一個零假設被接受的條件下進行的。當某一零假設被拒絕，檢驗過程就停止。假設，則可以用F檢驗或t檢驗。下面我們構造統計量。記（9.2.4）（9.2.5）（9.2.6）則檢驗第i個零假設的似然比統計量可寫作（9.2.7）如果假設為真，則這個統計量服從自由度為的F分布。注意正是滯后長度為的模型的參數個數。除了F檢驗以外，對模型（9.2.8）中的最后系數的顯著性也可以用t檢驗。如果使用上述假設檢驗過程，則滯后長度N依賴于檢驗水平，更準確地說是依賴于控制犯第一類錯誤的概率。所謂第一類錯誤是指零假設正確而被拒絕的錯誤。然而，在一系列檢驗中，全部拒絕的概率并不是恰在第i次檢驗中單個的顯著性水平。例如，當為真時拒絕它的概率應該是拒絕或的概率。如果，為真，那么統計量將有相應的F分布，而可以被證明與都獨立。應用基本的概率多除少補公式可算得第i次檢驗時犯第一類錯誤的概率為這里是第i次個別檢驗的顯著性水平，p0=0。全部概率是在，為真的條件下計算的，如果我們對每一個別檢驗使用同樣的顯著性水平，那么犯第一類錯誤的概率將會迅速增加。例如，如果對所有k取則，等等。實際上，如果最大的滯后長度M很大，那么合適的檢驗策略應該是在開始檢驗時取很小的顯著性水平。也就是說，犯第一類錯誤的概率應該被控制在一個合理的水平，即使滯后長度相當大的話。算例9.2.2有限分布滯后模型原始數據共100個觀察，自變數為1元，如下表。表9.2.2序號YX序號YX序號YX1-.0985.0739351.3980.2019692.7891.569622.5138.8967364.2310.9423704.8810.87353-.8275.0203373.8855.8388713.0440.756241.1821.0684384.4633.9368722.0428.56365.9262.3585391.9477.321373.7279.153362.4641.5556402.2425.6748741.7162.763972.2399.7245411.6532.1058752.8040.788983.6225.4150423.0682.6750762.7111.499191.3987.0888431.8767.6057771.3276.1758102.6762.9597441.1603.4230781.2481.4498112.4671.326845.2905.0128792.2675.5261121.4037.071346.8379.7789802.4530.0359132.2836.850647.9048.2617813.0846.7595143.0689.9018481.9855.9705822.5924.5914151.2260.7672494.3127.8766832.6237.9440161.4753.8805501.6077.5075843.2225.9434171.8868.6952512.3510.300285-.1255.3479182.7819.764452.7831.6348863.5974.8374192.3368.4866534.0621.4658871.9880.1989202.3845.783954.9515.4570881.2730.5806212.5771.3054553.9985.7689893.6314.9075222.5453.476856.6632.2040903.3495.6540231.8029.338357.3977.0567912.0034.743424-.1072.6053582.9906.8021922.5205.6939253.5259.9940591.5791.2238931.0241.3734262.5074.3538601.3804.6952942.4878.952427.8473.4566613.1039.7836953.8875.380828-.2218.0036623.4001.9079962.1767.4961293.4271.8622632.8314.8137972.5551.9264301.5897.392464-.8988.3535983.8721.8940311.0131.4099651.4643.0211991.7053.4167323.3436.7080663.8145.93521002.1483.0838333.5517.5868672.7535.8799342.7500.959068.7671.3099-有限分布滯后回歸模型計算程序, 例 9.2.2 依據書中第 9 章, 第 2 節, 用Ad Hoc方法, 確定分布滯后長度, 同時計算回歸模型。數據文件準備, 第一列是因變量 Y, 第二列是自變量 X, 滯后過程由程序自動完成。例922.D 數據文件中, n=100, M=1要顯示原始資料嗎? 0=不顯示, 1=顯示現在進行第 1 次回歸, Y 對 X(t), 樣本數 N=n 現在作線性回歸顯著性檢驗, 計算t,F,R 統計量請輸入顯著性水平a, 通常取a=0.01, 0.05, 0.10, a=? (0.05)-線 性 回 歸 分 析 計 算 結 果 樣本總數 100 自變量個數 1- 回歸方程 Y = b0+b1*X1+.+b1*X1 Y = .7366 + 2.5605 X1 回歸系數 b0, b1, b2, ., b1 .7366 2.5605- 殘差平方和: 86.50 回歸平方和: 55.87 誤差方差的估計 : .8650 標準差 = .9301-線 性 回 歸 顯 著 性 檢 驗 顯著性水平 : .050- 回歸方程整體顯著性F檢驗, H0:b0=b1=.=b1=0 F統計量: 63.2940 F臨界值F(1, 98) 3.938 全相關系數 R : .6264- 回歸系數逐一顯著性t檢驗, H0:bi=0, i=1,.,1 t 臨界值 t( 98) 1.6606 回歸系數b1-b 1的t值: 9.8995-要作回歸預測嗎? 鍵入 0=不預測, 1=要預測 (0)要打印擬合數據嗎? 0=不打印, 1=打印 (0)現在進行第 2 次回歸, Y 對 X(t), X(t-1),.X(t- 1), 樣本數 N=n- 1要作滯后回歸, 需要決定自變量是往前移動還是往后移動第 1 列是 X(1) 到 X(N), 第 2 列是 X(2) 到 X(N+1), 第 3 列是X(3) 到 X(N+2), 等等, 稱往前移動。第 1 列是 X(1) 到 X(N), 第 2 列是 X(0) 到 X(N-1), 第 3 列是X(-1) 到 X(N-2), 等等, 稱往后移動。請鍵入: 1=往前移動, -1=往后移動 現在作線性回歸顯著性檢驗, 計算t,F,R 統計量請輸入顯著性水平a, 通常取a=0.01, 0.05, 0.10, a=? （0.05）-線 性 回 歸 分 析 計 算 結 果 樣本總數 99 自變量個數 2- 回歸方程 Y = b0+b1*X1+.+b2*X2 Y = .7094 + 2.6262 X1 + -.0389 X2 回歸系數 b0, b1, b2, ., b2 .7094 2.6262 -.0389- 殘差平方和: 85.00 回歸平方和: 57.37 誤差方差的估計 : .8586 標準差 = .9266-線 性 回 歸 顯 著 性 檢 驗 顯著性水平 : .050- 回歸方程整體顯著性F檢驗, H0:b0=b1=.=b2=0 F統計量: 32.3949 F臨界值F(2, 96) 3.091 全相關系數 R : .6348- 回歸系數逐一顯著性t檢驗, H0:bi=0, i=1,.,2 t 臨界值 t( 96) 1.6609 回歸系數b1-b 2的t值: 9.7473 .1444-要作回歸預測嗎? 鍵入 0=不預測, 1=要預測 (0)要打印擬合數據嗎? 0=不打印, 1=打印 (0)對回歸結果滿意嗎? 還要繼續作滯后回歸嗎? (0) 1=繼續滯后回歸, 0=停止 (最多滯后回歸14次)滯后回歸結束現在有效原始資料與擬合數據個數都是 N= 99計算結束。 -下面是第1次回歸的擬合效果圖，其全相關系數是0.6264。第2次滯后回歸的全相關系數是0.6348，擬合效果應該還有所改進。三、有限多項式滯后為了消除復共線的影響，Almon(1965)提出利用多項式來減少參數空間。對于有限個點，比如說n+1個，可以用一個不超過n的多項式來通過這些點。如果降低多項式的階數，保持曲線平滑，那么這個低階多項式可以近似通過這些點。為了說明Almon的多項式滯后方法，我們假定有4個滯后權系數0，1，2，3。有一個多項式（9.2.9）使得如果用矩陣形式記法就是（9.2.10）或（9.2.11）這里、W、定義已很明顯。此時多項式系數的數目等于滯后權系數的數目，沒有什么約束關系強加于i。對于任何向量，存在向量，使成立。因為W非奇異，故。要使多項式的階數減1，可使，即（9.2.12）類似地，要使多項式階數再減1，可取（9.2.13）一般地，如果滯后權系數0，1，2，N下降到Q階多項式，即（9.2.14）則方程組可寫為（9.2.15）或寫成（9.2.16）因為僅含Q+1個系數，我們已將參數空間從N+1維減至Q+1維。換句話說，我們已經對參數作了個約束。將上式代進滯后模型（9.2.17）中，得（9.2.18）這里Z=XHQ。使用這個模型，的最小二乘估計是（9.2.19）而的限制最小二乘(Restricted Least Squares,RLS)估計是（9.2.20）因此，如果我們假定模型被正確的指定，則（9.2.21）因為。進一步有 （9.2.22）因此（9.2.23）如果我們知道了實際多項式階數Q或者實際滯后長度N，那么多項式估計是直觀的。比較困難的是當Q未知時如何估計它。下面我們來討論多項式階數的估計。要確定多項式階數Q，就要選擇向量的維數。對于固定的已知的滯后長度N，我們也來構造一個序列檢驗過程來確定Q。開始時可令Q=N，然后將多項式階數逐步減少，并對參數約束作似然比檢驗或t檢驗。待檢驗的零假設是，在被接受的條件下，在，被接受的條件下，在，被接受的條件下而合適的檢驗統計量是（9.2.24）這里（9.2.25）是誤差平方和，而殘差估計為（9.2.26）如果統計量,，為真，則統計量服從自由度為的F分布。應該說，關于多項式滯后模型的目的、方法、檢驗等基本上是清楚了。實際應用可能還會產生一些新的問題，比如自相關、異方差、犯第一類錯誤概率控制等。這些需要結合以前的知識處理。算例9.2.3 有限多項式滯后回歸原始數據表如下：表9.3.2YXYXYXYX1-.0985.073962.4641.5556112.4671.3268161.4753.880522.5138.896772.2399.7245121.4037.0713171.8868.69523-.8275.020383.6225.4150132.2836.8506182.7819.764441.1821.068491.3987.0888143.0689.9018192.3368.48665.9262.3585102.6762.9597151.2260.7672202.3845.7839-有限多項式滯后回歸模型計算程序, 例 9.2.3 本項程序依據書中第 9 章, 第 2 節, 第 3 段, 用降低多項式次數的方法, 降低參數空間維數, 減少復共線的可能性, 確定分布滯后長度, 同時計算好回歸模型。本項計算最好與例9.2.2配合進行。本項計算先要指定滯后長度 k(書中記為 N), 然后要指定多項式階數 Q, Qk, 從而既能保證滯后長度, 又能降低參數個數。數據文件準備是一元的, 第一列是因變量 Y, 第二列是自變量 X, 滯后過程由程序自動完成。請鍵入要讀入的數據文件名代號: 1=C21.D, 2=C22.D, 3=C23.D, 4=C24.D, 5=C25.D 6=C11.D, 7=C12.D, 8=C13.D, 9=C14.D, 10=C15.D, 0=例932.D例923.D 數據文件中, n=20, M=1要顯示原始資料嗎? 0=不顯示, 1=顯示請指定滯后回歸次數 k(書中為 N), 即Y對X(t), X(t-1),.,X(t-k) 回歸。(K10) (4)再指定多項式滯后回歸的多項式階數 Q (Qk): (3)要作滯后回歸, 需要決定自變量是往前移動還是往后移動: (1)請鍵入: 1=往前移動, -1=往后移動第 1 列是 X(1) 到 X(N), 第 2 列是 X(2) 到 X(N+1), 第 3 列是X(3) 到 X(N+2), 等等, 稱往前移動；第 1 列是 X(1) 到 X(N), 第 2 列是 X(0) 到 X(N-1), 第 3 列是X(-1) 到 X(N-2), 等等, 稱往后移動。先作一般滯后回歸:現在作線性回歸顯著性檢驗, 計算t,F,R 統計量請輸入顯著性水平a, 通常取a=0.01, 0.05, 0.10, a=? (0.05)-線 性 回 歸 分 析 計 算 結 果 樣本總數 18 自變量個數 3- 回歸方程 Y = b0+b1*X1+.+b3*X3Y= .8270 + 1.7466 X1 + -.3590 X2 + .2810 X3 回歸系數 b0, b1, b2, ., b3 .8270 1.7466 -.3590 .2810- 殘差平方和: 13.42 回歸平方和: 7.47 誤差方差的估計 : .7458 標準差 = .8636-線 性 回 歸 顯 著 性 檢 驗 顯著性水平 : .050- 回歸方程整體顯著性F檢驗, H0:b0=b1=.=b3=0 F統計量: 2.5975 F臨界值F(3, 14) 3.344 全相關系數 R : .5980- 回歸系數逐一顯著性t檢驗, H0:bi=0, i=1,.,3 t 臨界值 t( 14) 1.7613 回歸系數b1-b 3的t值: 3.6014 .5042 .4556-要作回歸預測嗎? 鍵入 0=不預測, 1=要預測 (0)要打印擬合數據嗎? 0=不打印, 1=打印 (0)再作多項式滯后回歸:打印多項式回歸系數變換矩陣 HQ: 1.0 .0 .0 1.0 1.0 1.0 1.0 2.0 4.0 1.0 3.0 9.0現在作線性回歸顯著性檢驗, 計算t,F,R 統計量請輸入顯著性水平a, 通常取a=0.01, 0.05, 0.10, a=? (0.05)-線 性 回 歸 分 析 計 算 結 果 樣本總數 18 自變量個數 2- 回歸方程 Y = b0+b1*X1+.+b2*X2 Y = 1.2110 + .1214 X1 + .0396 X2 回歸系數 b0, b1, b2, ., b2 1.2110 .1214 .0396- 殘差平方和: 18.38 回歸平方和: 2.52 誤差方差的估計 : 1.0209 標準差 = 1.0104-線 性 回 歸 顯 著 性 檢 驗 顯著性水平 : .050- 回歸方程整體顯著性F檢驗, H0:b0=b1=.=b2=0 F統計量: 1.0281 F臨界值F(2, 15) 3.682全相關系數 R : .3472 - 回歸系數逐一顯著性t檢驗, H0:bi=0, i=1,.,2 t 臨界值 t( 15) 1.7531回歸系數b1-b 2的t值: 3.7314 1.1865-要作回歸預測嗎? 鍵入 0=不預測, 1=要預測 (0)要打印擬合數據嗎? 0=不打印, 1=打印 (0)滯后回歸結束。現在有效原始資料與擬合數據個數都是 N= 18計算結束。 -下圖顯示的是多項式滯后回歸擬合圖象，可見有限多項式滯后不一定擬合效果好。第三節 無限分布滯后模型無限分布滯后模型的一般形式為經過有限項滯后以后將無限分布滯后關系截斷是合理的，但是這需要確定截斷點。滯后權參數化問題，無限長度滯后問題，都需要從理論上加以考慮。這一節我們先討論兩個具體的動態經濟模型，將它們化成無限滯后的幾何滯后模型，再使用Koyck變換化成有限的一階自回歸模型，最后討論它們的估計問題。一、自適應期望模型與部分調整模型我們先看自適應期望模型(Adaptive Expectations Model)。假定商品供應量Y與市場期望價格X*有關，關系模型如下（9.3.1）這里、是常數，是隨機分量。進一步假定期望價格是與前一時段期望價格與實際價格之差有關系，準確表示是（9.3.2）這里是第t-1時段的實際價格。這個情況在商品生產時間較長時是會發生的，尤其是農業產品往往如此。為了將本段原始模型(9.3.1)中不可觀測的X*替換成可觀測的變量，我們從上式中解出Xt-1：（9.3.3）引進滯后操作數L，定義作（9.3.4）則（9.3.5）由于操作數的逆操作數為（9.3.6）所以（9.3.7）這樣自適應期望模型就成了無限分布滯后模型（9.3.8）這樣的模型也稱作幾何滯后模型。自適應期望模型也可以轉化為一階自回歸模型，我們放到下一段談。我們再看部分調整模型(Partial Adjustment Model)。部分調整假設也導致無限分布滯后模型。模型的基本思想是，獨立變量X的當前價值決定獨立變量Y的期望價值。（9.3.9）而價值的期望值與實際值之差將對價值的增減進行部分調整：（9.3.10）這里，稱作調整系數。例如，一個公司期望的投資可能取決于對它產品的需求。因為客觀條件限制和主觀考慮，最好逐步進行調整。將上面兩個式子結合起來就得到一階自回歸模型：（9.3.11）引進滯后操作數與逆操作數，就是（9.3.12）我們再一次得到幾何滯后模型，不過構造復雜。我們再對部分調整關系式作一些解釋。將Y理解為股本，YtYt-1反映股本的變化，它來自于投資。投資多少呢?不要指望一口吃個胖子，辦事留有余地，這些名訓很好地體現在部分調整關系式中：（9.3.13）我們在時刻t期望有那么多，可實際只有Yt-1那么多，差距是。但我們并不一下子投資(It)整個差距，而在t時刻只補足差距的一部分。其余的到下一時段再看，那時也許會變，Yt-1當然已經變了。就這樣走一步，看一步，調一步，慢慢向好的目標調整。最后我們看這兩個模型的結合。我們考慮下面的模型（9.3.14）這個是期望的股本，是期望的產出水平。困難在于模型中因變量與自變量都是不可觀測的期望值，我們要設法將它們都轉化為可觀測的變量。我們可以使用自適應期望模型中的關系（9.3.15）和部分調整模型中的關系（9.3.16）都代入到(9.3.14)中得（9.3.17）這樣模型中已沒有不可觀察的變量。但是這個模型形式未必令人滿意。我們可以把它化為都僅僅對X滯后的無限滯后模型，或者把它化為都對Y作一階自回歸的模型。這一點我們在下段繼續討論。二、幾何滯后模型的Koyck變換及估計無限分布滯后的回歸模型直接計算存在困難，解決辦法要么適當截斷變為有限分布滯后回歸，要么使用Koyck變換將它化為一階自回歸。這樣還有統計上的優點，參數減少，復共線的可能性減少。考慮一般的幾何滯后回歸模型（9.3.18）Koyck的想法是先將它滯后一個時段：（9.3.19）將后一式兩邊同乘以，再與前一式相減得（9.3.20）令，將上式重排得（9.3.21）這就成了一階自回歸模型，它不大可能產生自變量的復共線問題，但會產生Y的自相關問題，需要應用第三章講過的辦法處理。下面我們將上段自適應期望模型作Koyck變換。對自適應的基本關系式（9.3.2）解得（9.3.22）代入原模型得（9.3.23）將原模型滯后一個時段得（9.3.24）解出（9.3.25）代入（9.3.23）得： （9.3.26）這里。這就是自適應期望模型的一階自回歸形式。我們再將自適應期望與部分調整的結合模型(9.3.14)化成一階自回歸模型。將（9.3.16）與（9.3.25）的提前一個時段形式都代入(9.3.14)得：（9.3.27）整理成： （9.3.28）雖然這種形式對Y是線性的，但對原始參數就不是線性的。下面我們對幾何滯后模型的一階自回歸形式（9.3.29）作出參數估計。如果誤差滿足標準條件即，則可以對參數作出最小二乘估計。然而，由于Xt是隨機的，Yt-1又與Yt相關，因此LSE將不是最佳線性無偏估計。形式上：（9.3.30）這里（9.3.31）不過，這個LSE 是相合估計。這可以證明如下。因為，所以，于是（9.3.32）假定非奇異。下面分析第二因子：（9.3.33）分別考慮這三個分量的極限。第一個，由于，故（9.3.34）第二個，由于假定Xt與獨立，故也有（9.3.35）第三個，由于是的一致估計，如果假定Yt-1與不相關，則也有（9.3.36）因此，即，故是的相合估計。當然如果這些假定不滿足，那就不是相合估計了。但這時我們可以使用下面的工具變量法。算例9.3.2 幾何滯后模型與Koyck變換按本節思想針對一般的自適應期望模型與部分調整模型編制了計算程序，資料例子如下。表9.3.2YXYXYXYX1-.0985.0739262.5074.3538512.3510.3002762.7111.499122.5138.896727.8473.456652.7831.6348771.3276.17583-.8275.020328-.2218.0036534.0621.4658781.2481.449841.1821.0684293.4271.862254.9515.4570792.2675.52615.9262.3585301.5897.3924553.9985.7689802.4530.035962.4641.5556311.0131.409956.6632.2040813.0846.759572.2399.7245323.3436.708057.3977.0567822.5924.591483.6225.4150333.5517.5868582.9906.8021832.6237.944091.3987.0888342.7500.9590591.5791.2238843.2225.9434102.6762.9597351.3980.2019601.3804.695285-.1255.3479112.4671.3268364.2310.9423613.1039.7836863.5974.8374121.4037.0713373.8855.8388623.4001.9079871.9880.1989132.2836.8506384.4633.9368632.8314.8137881