.,第三章隨機變量的數字特征,.,在第二章的討論知道，離散型隨機變量的變化規律由其概率分布完全描述，連續型隨機變量由其密度函數完全描述。但在實際應用中，概率分布或密度函數的獲得通常是困難的。另一方面，在應用中，有時并不需要知道概率分布或密度函數，而只需知道該隨機變量的某些特征。,例如，為了對某市高一學生的某門課的考試成績作分析，一般并不需要所有學生的考試成績，而只需知道每所學校的平均成績，或者各所學校成績相對于平均成績的偏離程度，有了這些指標，就可以作橫向和縱向的比較。這里平均成績就是學生成績這一隨機變量的特征。,用以刻畫隨機變量某方面特征的量，稱為隨機變量的數字特征。,常用的數字特征：數學期望、方差、矩、眾數、中位數、協方差、相關系數。,.,第一節隨機變量的數學期望,例1某工廠生產一批產品，一等品占50%，二等品占40%，次品占10%。如果生產一件次品，工廠要損失1元錢，生產一件一等品，工廠獲得2元錢的利潤，生產一件二等品，工廠獲得1元錢的利潤。假設生產了大量這樣的產品，問工廠每件產品獲得的期望利潤是多少？,設X表示每件產品獲得的利潤，則它是隨機變量，其概率分布為,解：,.,解：,假設工廠一共生產了N件產品，其中一等品n1件，二等品n2件，次品n3件,這N件產品獲得的平均利潤為,或者寫為,.,而在大量重復試驗下當N無限增大時，頻率的穩定值即為概率，因此，每件產品的平均利潤將趨近于,或者說，如果工廠生產了大量該產品，可期望每件產品獲得1.3元的利潤。,數值1.3稱為隨機變量X的數學期望或均值。,.,一、離散型隨機變量的數學期望,第一節隨機變量的數學期望,注：,.,第一節隨機變量的數學期望,例甲乙二人射擊，X：甲擊中的環數；Y：乙擊中的環數。他們命中環數的分布律分別為,試問哪一個人的射擊水平較高?,.,二、連續型隨機變量的數學期望,概率,密度函數,例3.3設隨機變量的密度函數為,求的數學期望。,解由連續型隨機變量數學期望的定義，有,.,三、隨機變量函數的數學期望,定理設為隨機變量，為實函數，,.,解,解,例3.5對例3.3中的隨機變量，求,.,四、數學期望的性質,（1）若，則，特別地,（3）,（2）,（4）,.,第二節隨機變量的方差,有可能產品的壽命均集中在9501050小時！,有可能一半產品的壽命集中在700小時，另一半產品的壽命集中在1300小時！,對隨機變量，知道了它的數學期望，雖然對該隨機變量有了一定的了解，但還不夠！,例：為評估一批燈泡的質量好壞，從某種途徑已知其平均壽命為1000小時，即，但不能完全肯定質量的好壞！,有必要找一個量，能夠度量隨機變量相對于的偏離程度。,.,什么量，能夠度量隨機變量相對于的偏離程度？,是隨機變量,（正負偏差相互抵消）,定義設隨機變量的數學期望為，則稱為隨機變量的方差，記為，或，并稱為的標準差。,.,方差的計算：,考慮到方差實際上為隨機變量函數的數學期望：，因此,若為離散型隨機變量，概率分布為，則,若為連續型隨機變量，概率密度函數為，則,在很多場合，計算方差經常用到如下公式：,.,方差的性質：,（1）,（2）,（3）,例3.6設隨機變量的密度函數為,解由例3.3的結果，,求的方差,解,稱為的標準化，它是一個無量綱的隨機變量，將原分布中心移至原點，且方差為1個單位。,證,因此當時，達到最小值，且最小值為,.,第三節常用分布的數學期望和方差,一、常用離散型分布的數學期望和方差,退化分布：離散型隨機變量只取常數，即，,2.0-1分布：離散型隨機變量的概率分布為,因此,因此,3.個點上的均勻分布：,4.二項分布：,離散型隨機變量的概率分布為,，即離散型隨機變量的概率分布為,因此,則,5.幾何分布：,隨機變量的概率分布為,6.超幾何分布：,隨機變量的概率分布為,.,（證明略）,7.泊松分布：隨機變量的概率分布為,.,二、常用連續型分布的數學期望和方差,均勻分布：,密度函數為,連續型隨機變量服從區間上的均勻分布，,則,而,從而,.,2.指數分布：,連續型隨機變量服從參數為的指數分布，,密度函數為,則,而,從而,3.正態分布：,則數學期望為,隨機變量，其密度函數為,（令）,方差為,（令）,分布名稱概率分布數學期望方差,退化分布,0-1分布,個點的均勻分布,二項分布,幾何分布,超幾何分布,泊松分布,分布名稱密度函數數學期望方差,均勻分布,指數分布,正態分布,.,第四節隨機變量的矩和切比雪夫不等式,一、矩,矩是數學期望和方差的推廣，在數理統計中有重要應用。,定義：對隨機變量，設為正整數，如果存在,即為數學期望。,即為方差。,（即），則稱為的階原點矩。,.,矩的計算：,則,（1）若為離散型隨機變量，概率分布為,（2）若為連續型隨機變量，密度函數為，則,.,二、切比雪夫不等式,定理：對隨機變量，設均存在，則對任意，,有,或者,切比雪夫不等式,切比雪夫不等式給出了隨機變量對其數學期望絕對偏差的概率的估計。,不等式表明，越小，事件的概