.,1,第五章一階動態電路分析,5.1電容元件和電感元件,5.2換路定律及初始值的確定,5.3零輸入響應,5.4零狀態響應,5.5全響應,5.6求解一階電路三要素法,.,2,動態元件電感、電容的特性。初始值的求法、動態電路方程的建立及求解。零輸入響應、零狀態響應、暫態響應和穩態響應的含義及其它們的分析計算方法。輸入為直流信號激勵下的一階電路的三要素分析法。,【本章重點】,零輸入響應、零狀態響應、暫態響應和穩態響應分析計算方法。輸入為直流信號激勵下的一階電路的三要素分析法。,【本章難點】,.,3,5.1電容元件和電感元件,電容器是一種能儲存電荷的器件,電容元件是電容器的理想化模型。,斜率為R,圖5-1電容的符號、線性非時變電容的特性曲線,當電容上電壓與電荷為關聯參考方向時，電荷q與u關系為：q(t)=Cu(t)C是電容的電容量，亦即特性曲線的斜率。當u、i為關聯方向時,據電流強度定義有：i=Cdq/dt非關聯時：i=-Cdq/dt,5.1.1電容元件,.,4,電容的伏安還可寫成：,式中，u(0)是在t=0時刻電容已積累的電壓，稱為初始電壓；而后一項是在t=0以后電容上形成的電壓，它體現了在0t的時間內電流對電壓的貢獻。由此可知：在某一時刻t，電容電壓u不僅與該時刻的電流i有關，而且與t以前電流的全部歷史狀況有關。因此，我們說電容是一種記憶元件，有“記憶”電流的作用。,.,5,當電容電壓和電流為關聯方向時，電容吸收的瞬時功率為：,瞬時功率可正可負，當p(t)0時，說明電容是在吸收能量，處于充電狀態；當p(t)0時，表示電感從電路吸收功率，儲存磁場能量；當p(t)0后，放電回路中的電流及電壓均是由電感L的初始儲能產生的，所以為零輸入響應。,圖5-7RL電路的零輸入響應,.,24,由圖(b)，根據KVL有uL+uR=0,將,代入上式得,1式,iL=Aeptt0,上式為一階常系數齊次微分方程，其通解形式為,2式,將2式代入1式，得特征方程為LP+R=0,故特征根為,.,25,則通解為,若令，是RL電路的時間常數，仍具有時間量綱，上式可寫為,t03式,t0,將初始條件iL(0+)=iL(0-)=I0代入3式，求出積分常數A為iL(0+)=A=I0這樣得到滿足初始條件的微分方程的通解為,t04式,.,26,電阻及電感的電壓分別是,t0,t0,分別作出iL、uR和、uL的波形如圖5-8(a)、(b)所示。由圖5-8可知，iL、uR及uL的初始值（亦是最大值）分別為iL(0+)=I0、uR(0+)=RI0、uL(0+)=-RI0，它們都是從各自的初始值開始，然后按同一指數規律逐漸衰減到零。衰減的快慢取決于時間常數，這與一階RC零輸入電路情況相同。,.,27,圖5-8RL電路零輸入響應iL、uR和uL的波形,.,28,從以上求得的RC和RL電路零輸入響應進一步分析可知，對于任意時間常數為非零有限值的一階電路，不僅電容電壓、電感電流，而且所有電壓、電流的零輸入響應，都是從它的初始值按指數規律衰減到零的。且同一電路中，所有的電壓、電流的時間常數相同。若用f(t)表示零輸入響應，用f(0+)表示其初始值，則零輸入響應可用以下通式表示為,t0,應該注意的是:RC電路與RL電路的時間常數是不同的，前者=RC，后者=L/R。,.,29,例5-3：如圖5-9(a)所示電路，t=0-時電路已處于穩態，t=0時開關S打開。求t0時的電壓uc、uR和電流ic。解由于在t=0-時電路已處于穩態，在直流電源作用下，電容相當于開路。所以,圖5-9例3圖,由換路定律，得,作出t=0+等效電路如圖(b)所示，,.,30,電容用4V電壓源代替，由圖(b)可知,換路后從電容兩端看進去的等效電阻如圖(C)所示，為：,時間常數為,.,31,A,V,t0,t0,也可以由,求出iC=-0.8e-tAt0,V,t0,計算零輸入響應，得,.,32,5.4零狀態響應,5.4.1RC電路的零狀態響應圖5-10所示一階RC電路，電容先未充電，t=0時開關閉合，電路與激勵US接通，試確定k閉合后電路中的響應。,圖5-10(a)RC電路的零狀態響應,在k閉合瞬間，電容電壓不會躍變，由換路定律uc(0+)=uc(0-)=0，t=0+時電容相當于短路，uR(0+)=US，故電容開始充電。隨著時間的推移，uC將逐漸升高，,.,33,uR則逐漸降低，iR（等于ic）逐漸減小。當t時，電路達到穩態，這時電容相當于開路，充電電流ic()=0，uR()=0，uc=()=Us。由kVLuR+uc=US,而uR=RiR=RiC=，代入上式可得到以uc為變量的微分方程t01式初始條件為uC(0+)=0,1式為一階常系數非齊次微分方程，其解由兩部分組成：一部分是它相應的齊次微分方程的通解uCh，也稱為齊次解；另一部分是該非齊次微分方程的特解uCP，即uc=uch+ucp,.,34,將初始條件uc(0+)=0代入上式，得出積分常數A=-US，故,由于1式相應的齊次微分方程與RC零輸入響應式完全相同,因此其通解應為,式中A為積分常數。特解ucp取決于激勵函數，當激勵為常量時特解也為一常量，可設ucp=k，代入1式得,1式的解（完全解）為,ucp=k=US,.,35,t02式由2式可知，當t=0時，uc(0)=0，當t=時，uc()=US（1-e1）=63.2%US，即在零狀態響應中，電容電壓上升到穩態值uc=()=US的63.2%所需的時間是。而當t=45時，uc上升到其穩態值US的98.17%99.3%，一般認為充電過程即告結束。電路中其他響應分別為,t0,t0,t0,由于穩態值，故上式可寫成,.,36,根據uc、ic、iR及uR的表達式，畫出它們的波形如5-10(b)、(c)所示，其變化規律與前面敘述的物理過程一致。,圖5-10(b)、(C)RC電路零狀態響應uc、ic、iR及uR波形圖,.,37,5.4.2RL電路的零狀態響應,圖5-11(a)一階RL電路的零狀態響應,對于圖5-11(a)所示的一階RL電路，US為直流電壓源，t0時，電感L中的電流為零。t=0時開關s閉合，電路與激勵US接通，在s閉合瞬間，電感電流不會躍變，即有iL(0+)=iL(0-)=0,選擇iL為首先求解的變量，由KVL有：,uL+uR=US,將,uR=RiL,代入上式，可得初始條件為iL(0+)=0,1式,.,38,1式也是一階常系數非齊次微分方程，其解同樣由齊次方程的通解iLh和非齊次方程的特解iLP兩部分組成，即iL=iLh+iLp其齊次方程的通解也應為,式中時間常數=L/R，與電路激勵無關。非齊次方程的特解與激勵的形式有關，由于激勵為直流電壓源，故特解iLP為常量，令iLP=K，代入1式得,因此完全解為,.,39,代入t=0時的初始條件iL(0+)=0得,于是由于iL的穩態值，故上式可寫成：t0電路中的其他響應分別為t0,.,40,它們的波形如圖5-11(b)、(c)所示。,t0,t0,圖5-11(b)(C)一階RL電路的零狀態響應波形圖,.,41,其物理過程是，S閉合后，iL(即iR)從初始值零逐漸上升，uL從初始值uL(0+)=US逐漸下降，而uR從uR(0+)=0逐漸上升，當t=，電路達到穩態，這時L相當于短路，iL()=USR，uL()=0，uR()=US。從波形圖上可以直觀地看出各響應的變化規律。,.,42,5.4.3單位階躍響應單位階躍函數用(t)表示，其定義如下：,(t)=,0t0-,1t0+,(t)的波形如圖5-12(a)所示，它在（0-，0+）時域內發生了單位階躍。,圖5-12單位階躍函數,.,43,單位階躍函數可以用來描述圖5-12(b)所示的開關動作，它表示在t=0時把電路接入1V直流源時u(t)的值，即：u(t)=(t)V如果在t=t0時發生跳變，這相當于單位直流源接入電路的時間推遲到t=t0，其波形如圖5-13所示，它是延遲的單位階躍函數，可表示為,(t-t0)=,0tt0-,1tt0+,圖5-13延遲的單位階躍函數,.,44,當激勵為單位階躍函數(t)時，電路的零狀態響應稱為單位階躍響應，簡稱階躍響應。對于圖5-12所示電路的單位階躍響應，只要令US=(t)就能得到，例如電容電壓為,若圖5-10的激勵uS=K(t)（K為任意常數），則根據線性電路的性質，電路中的零狀態響應,如單位階躍不是在t=0而是在某一時刻t0時加上的，則只要把上述表達式中的t改為t-t0，就行了。例如這種情況下的uC為,.,45,均應擴大K倍，對于電容有,例5-4求圖5-14(a)電路的階躍響應uC。,解先將電路ab左端的部分用戴維南定理化簡，得圖5-14(b)所示電路。由圖(a)可得,圖5-14例4圖,.,46,3u1+u1=0u1=0,則,于是,式中=R0C=210-6S,將ab端短路，設短路電流為ISC（從a流向b）,.,47,5.5全響應由電路的初始狀態和外加激勵共同作用而產生的響應，叫全響應。如圖5-15所示，設uC=uC(0-)=U0，S在t=0時閉合，顯然電路中的響應屬于全響應。,圖5-15RC電路的全響應,.,48,對t0的電路，以uC為求解變量可列出描述電路的微分方程為,1式與描述零狀態電路的微分方程式比較，僅只有初始條件不同，因此，其解答必具有類似的形式，即,代入初始條件uC(0+)=U0得K=U0-US,1式,.,49,從而得到,通過對1式分析可知，當US=0時，即為RC零輸入電路的微分方程。而當U0=0時，即為RC零狀態電路的微分方程。這一結果表明，零輸入響應和零狀態響應都是全響應的一種特殊情況。上式的全響應公式可以有以下兩種分解方式:1、全響應分解為暫態響應和穩態響應之和。如2式中第一項為齊次微分方程的通解，是按指數規律衰減的，稱暫態響應或稱自由分量（固有分量）。2式中第二項US=uC()受輸入的制約，它是非齊次方程的特解，其解的形式一般與輸入信號形式相同，稱穩態響應或強制分量。,2式,.,50,2、全響應分解為零輸入響應和零狀態響應之和。將2式改寫后可得：,3式等號右邊第一項為零輸入響應，第二項為零狀態響應。因為電路的激勵有兩種，一是外加的輸入信號，一是儲能元件的初始儲能，根據線性電路的疊加性，電路的響應是兩種激勵各自所產生響應的疊加，即全響應=零輸入響應+零狀態響應,3式,這樣有：全響應=暫態響應+穩態響應,.,51,5.6求解一階電路三要素法,如用f(t)表示電路的響應，f(0+)表示該電壓或電流的初始值，f()表示響應的穩定值，表示電路的時間常數，則電路的響應可表示為：,上式稱為一階電路在直流電源作用下求解電壓、電流響應的三要素公式。式中f(0+)、f()和稱為三要素，把按三要素公式求解響應的方法稱為三要素法。由于零輸入響應和零狀態響應是全響應的特殊情況，因此，三要素公式適用于求一階電路的任一種響應，具有普遍適用性。,.,52,用三要素法求解直流電源作用下一階電路的響應，其求解步驟如下：,一、確定初始值f(0+)初始值f(0+)是指任一響應在換路后瞬間t=0+時的數值，與本章前面所講的初始值的確定方法是一樣的。先作t=0-電路。確定換路前電路的狀態uC(0-)或iL(0-),這個狀態即為t0階段的穩定狀態，因此，此時電路中電容C視為開路，電感L用短路線代替。作t=0+電路。這是利用剛換路后一瞬間的電路確定各變量的初始值。若uC(0+)=uC(0-)=U0，iL(0+)=iL(0-)=I0，在此電路中C用電壓源U0代替，L用電流源,.,53,圖5-16電容、電感元件在t=0時的電路模型,代替。若uC(0+)=uC(0-)=0或iL(0+)=iL(0-)=0，則C用短路線代替，L視為開路。可用圖5-16說明。作t=0+電路后，即可按一般電阻性電路來求解各變量的u(0+)、i(0+)。,.,54,二、確定穩態值f()作t=電路。瞬態過程結束后，電路進入了新的穩態，用此時的電路確定各變量穩態值u()、i()。在此電路中，電容C視為開路，電感L用短路線代替，可按一般電阻性電路來求各變量的穩態值。三、求時間常數RC電路中，=RC；RL電路中，=L/R；其中，R是將電路中所有獨立源置零后，從C或L兩端看進去的等效電阻，(即戴維南等效源中的R0)。,例5-5圖5-17(a)所示電路中，t=0時將S上，求t0時的i1、iL、uL。,.,55,圖5-17例5圖,解：(1)先求iL(0-)。作t=0-電路，見圖(b)，電感用短路線代替，則,.,56,(2)求f(0+)。作t=0+電路，見圖(C),圖中電感用4/3A的電流源代替，流向與圖(b)中iL(0-)一致。因為題意要求i1、iL、uL，所以相應地需先求i1(0+)和uL(0+)。椐KVL，圖(C)左邊回路中有3i1(0+)+6i1(0+)-iL(0+)=12,得,圖(C)右邊回路中有,.,57,(3)求f()。作t=電路如圖(d)，電感用短路線代替，則,uL()=0,(4)求。從動態元件L兩端看進去的戴維南等效電阻為,.,58,（5）代入三要素公式,t0,t0,t0,.,59,i1(t)、iL(t)及uL(t)的波形圖如5-18所示。,圖5-18例5圖,.,60,本章講述的是一階電路的分析，主要內容為為以下幾方面:(1)含有動態元件的電路叫動態電路。描述動態電路的方程是微分方程。動態元件的電壓和電流關系是微