.,創新設計作業:設計一種類人教學機器人。要求機器人具有類似人的四肢，單片機控制。給出總體的設計方案、機械結構和傳動方案、選擇合適的傳感器、控制方案。,.,第2章機器人運動學(KinematicsofRobots),引言機器人位置與姿態的描述機器人運動學正問題機器人運動學逆問題機器人的雅可比矩陣,.,2.1引言（TheIntroduction）,機器人運動學正問題：定義逆問題：定義機器人動力學,.,基本概念（TheBasicConcepts）,自由度：物體能夠對坐標系進行獨立運動的數目稱為自由度(DOF,degreeoffreedom)。剛體具有6個自由度三個旋轉自由度R1,R2,R3三個平移自由度T1,T2,T3,.,機動度：DegreeofMobility關節：Joint連桿：Link自由度由機動度構成,機動度不一定是自由度.,5個機動度，2個自由度,.,2.2機器人位置與姿態的描述(TheDescriptionofPositionandPosture),.,位置與姿態的表示,位置描述：位置矢量(positionvector)直角坐標系A,位置矢量Ap矩陣表示矢量和表示矢量的模，單位矢量,.,一、機器人坐標系變換(CoordinateTransformation)Ouvw：Puvw=（Pu,Pv,Pw）TOxyz：Pxyz=（Px,Py,Pz）T當Ouvw坐標系繞一軸線轉動后，均可通過一個3x3旋轉矩陣R將原坐標Puvw變換到Oxyz系中的坐標Pxyz，即：Pxyz=RPuvw,.,由矢量分量的定義有：Puvw=puiu+pvjv+pwkwpu、pv、pw分別表示P沿Ou、Ov、Ow軸的分量Px=ixP=ixiupu+ixjvpv+ixkwpwPy=iyP=iyiupu+iyjvpv+iykwpwPz=izP=iziupu+izjvpv+izkwpw將上式寫成矩陣形式：Px=ixiuixjvixkwPuPy=iyiuiyjviykwPvPz=iziuizjvizkwPwPxyz=RPuvw同樣，也有Puvw=QPxyz，QR1RT,.,如果Ouvw坐標系統繞Ox軸轉動角，變換矩陣Rx,稱為繞Ox軸轉動角的旋轉矩陣，此時ix=iu，ixiuixjvixkw100Rx,=iyiuiyjviykw=0cos-siniziuizjvizkw0sincos向量點乘：ab=|a|b|cos(a),.,類似地，繞Oy軸轉動角和繞Oz軸轉角的33旋轉矩陣分別為，cos0sinRy,=010-sin0coscos-sin0Rz,=sincos0001矩陣Rx,、Ry,和Rz,稱為基本旋轉矩陣。任何旋轉變換可以由有限個基本旋轉變換合成得到。,.,依次左乘（如果uvw對xyz旋轉）依次右乘（如果uvw繞自己的坐標軸旋轉）R=Rz,Ry,Rx,.,例題：求表示繞Oy軸轉角，然后繞Ow軸轉角，再繞Ou軸轉角的合成旋轉矩陣。,.,例題：坐標系B的初始位姿與參考坐標系A相同，坐標系B相對于A的zA軸旋轉30，再沿A的xA軸移動12，沿A的yA軸移動6。求旋轉矩陣。解：,.,二、齊次坐標和變換矩陣齊次坐標是用n+l維坐標來描述n維空間中的位置，其第n+1個分量（元素）稱為比例因子。P=(Px,Py,Pz,)T在機器人學的應用中，一般將比例因子取為1。機器人系統運動分析中，齊次變換矩陣寫成以下形式：T=R33P31=旋轉矩陣33位置矢量31O13I11O131,.,若三維空間的位置矢量P表示成齊次坐標，即P=pxpypz1T,1000cos0sin0Tx，=0cos-sin0Ty，=01000sincos0-sin0cos000010001cos-sin00100dxTz，=sincos00Ttran=010dy0010001dz00010001Pxyz=TPuvw,.,課前提問：,（1）什么是機器人運動學的正問題和逆問題？（2）機器人的坐標變換矩陣的一般形式是什么？（3）連續的變換矩陣，什么情況下依次左乘、什么情況下依次右乘？（4）什么是齊次坐標和齊次變換？,.,2.3機器人運動學正問題(TheForwardKinematicProblem),DenavitHartenberg(D-H)表示法,.,1.坐標系的建立：n關節機器人需建立n+1個坐標系，其中參考(機座)坐標系為O0 x0y0z0,，機械手末端的坐標系為Onxnynzn,.,串聯桿型機械手是由一系列通過連桿與其活動關節連接在一起所組成。如圖所示，任何一個連桿都可以用兩個量來描述：一個是公共垂線距離an，另一個是與an垂直的平面上兩個軸的夾角n，習慣上稱an為連桿長度，n稱為連桿的扭轉角。,.,如圖所示，在每個關節軸上有兩個連桿與之相連，即關節軸有兩個公垂線與之垂直，每一個連桿一個。兩個相連的連桿的相對位置用dn和n確定，dn是沿著n關節軸兩個垂線的距離，n是在垂直這個關節軸的平面上兩個被測垂線之間的夾角，dn和n分別稱作連桿之間的距離及夾角。,.,為了描述連桿之間的關系，我們對每個連桿賦一個坐標系。轉動關節：關節變量為n。連桿n的坐標原點設在關節n和關節n+1軸之間的公共垂線與關節n+1軸的交點上。在關節軸相交的情況下（無公垂線），這個原點就在兩個關節軸的相交點上（an0）。如果兩個關節軸平行（有無數條公垂線），則原點的選擇要使下一個連桿的關節距離為0（dn0），連桿n的z軸與n+1關節軸在一條直線上。x軸與任何存在的公共垂線成一條直線，并且沿著這條垂線從n關節指向n+1關節。在相交關節的情況下，x軸的方向平行或者逆平行zn-1zn的向量叉積，應該注意，這個條件對于沿著關節n和n+1之間垂線的x軸同樣滿足。當xn-1和xn平行，且有相同的指向時，則對于第n個轉動關節n0。,表連桿參數,.,確定和建立每個坐標系的原則：(1)zi軸沿著第i關節的運動軸;(2)xi軸垂直于zi-1軸和zi軸并指向離開zi-1軸的方向;(3)yi軸按右手坐標系的要求建立。按照這些規則，第0號坐標在機座上的位置和方向可任選，只要z0軸沿著第1關節運動軸。第n坐標系可放在手的任何部位，只要xn軸與zn-1軸垂直。,.,z0,z2,z3,z4,x3,x2,x0,x4,0,2,1,z5,x5,z6,x6,6,4,3,5,z1,x1,.,2、幾何參數的定義描述串聯機器人相鄰坐標系之間的關節關系可歸納為如下4個參數：i:繞zi-1軸(右手規則)由xi-1軸指向xi軸的關節角;di:從第i-1坐標系的原點到zi-1軸和xi軸的交點沿zi-1軸的距離;ai:從zi-1和xi的交點到第i坐標系原點沿xi軸的偏置距離;i:繞xi軸(右手規則)由zi-1軸轉向zi軸的偏角。,.,3、建立i坐標系和i-1坐標系的齊次變換矩陣：,.,第i坐標系相對于機座齊坐標系的次變換矩陣是各齊次變換矩陣i-1Ai的連乘積：,4、得出機器人手爪到機座的變換矩陣,.,0Tn=0A11A2.n-1Ann為手的法向矢量，o為手的滑動矢量，a為手的接近矢量，p為手的位置矢量,.,例題1：建立二稈機構的末端的變換矩陣,同理：,.,最后得到的變換矩陣為：,.,z0,z2,z3,z4,x3,x2,x0,x4,0,2,1,z5,x5,z6,x6,6,4,3,5,D-H參數表：,z1,x1,例題2:PUMA機器人的坐標變換矩陣,.,z0,z2,z3,z4,x3,x2,x0,x4,0,2,1,z5,x5,z6,x6,6,4,3,5,D-H參數表：,z1,x1,.,.,例題3:斯坦福機械手,一、建立坐標系二、D-H參數表三、i-1Ai坐標變換矩陣,0,1,2,3,4,5,6,Z0,X0,Z1,X1,Z2,X2,Z3,X3,Z4,X4,Z5,X5,Z6,X6,.,表斯坦福機械手連桿參數Linkiiaidicosisini110000-122-900d20130900d310440000-155-90000166900d610,.,斯坦福機械手的A變換如下：C10-S10S10C100A1=0-1000001C20S20S20-C201A2=010d20001100001002A3=001d30001,.,C40-S40S40C403A4=0-1000001C50S50S50-C504A5=01000001C6-S600S6C6005A6=00100001,.,斯坦福機械手A變換的積如下所示，這些是從連桿6開始，然后逐步回到基坐標。C6-S600S6C6005T6=0010（3.44）0001C5C6-C5S6S50S5C6-S5S6-C504T6=S6C600（3.45）0001C4C5C6-S4S6-C4C5S6-S4C6C4S50S4C5C6+C4S6-S4C5S6+C4C6S4S503T6=-S5C6S5S6C50（3.46）0001,.,C4C5C6-S4S6-C4C5S6-S4C6C4S50S4C5C6+C4S6-S4C5S6+C4C6S4S502T6=-S5C6S5S6C5d3（3.47）0001C2(C4C5C6-S4S6)-S2S5C6-C2(C4C5S6+S4C6)+S2S5S6S2(C4C5C6-S4S6)+C2S5C6-S2(C4C5S6+S4C6)-C2S5S61T6=S4C5C6+C4C6-S4C5S6+C4C600C2C4S5+S2C5S2d3S2C4S5-C2C5-C2d3S4S5d2（3.48）01,.,nxoxaxpxnyoyaypy0T6=nzozazpz0001其中nx=C1C2(C4C5C6-S4S6)-S2S5C6-S1(S4C5S6+C4S6)ny=S1C2(C4C5C6-S4S6)-S2S5C6+C1(S4C5S6+C4S6)nz=-S2(C4C5C6-S4S6)-C2S5C6ox=C1-C2(C4C5S6+S4C6)+S2S5C6-S1(-S4C5S6+C4S6)oy=S1-C2(C4C5C6+S4C6)+S2S5S6+C1(-S4C5S6+C4S6)oz=S2(C4C5C6+S4C6)+C2S5S6ax=C1(C2C4S5+S2C5)S1S4C5ay=S1(C2C4S5+S2C5)+C1S4S5az=S2C4S5+C2C5px=C1S2d3S1d2py=S1S2d3+C1d2pz=C2d3,.,0Tn=0A11A2.n-1An,.,課前提問：,（1）PUMA機器人的坐標變換矩陣D-H參數？（2）矩陣的逆矩陣如何求解？,.,定義：若|A|0,則方陣A可逆，且,A*稱為A的伴隨陣，由行列式|A|的方陣各個元素的代數余子式所Aij構成。,另一種求法：,行列式變換,.,2.4機器人運動學逆問題(TheInverseKinematicProblem),.,Z：機器人基座相對于基礎坐標系0Tn：手部端點相對于機器人基座Z：末端執行器相對于手部端點物體用變換B：物體參考坐標系相對于基礎坐標系G：末端執行器對物體的抓持位置相對于物體參考坐標系,Z0TnE=BG這個方程可以用有向變換圖來表示。圖的每一段弧表示一個變換。從它的定義的坐標系向外指向。用Z-1左乘和用E-1右乘方程，得到0Tn=Z-1BGE-1,機器人坐標變換關系：,.,從有向變換圖上我們可以直接得到上述結果，從0Tn弧線的尾部開始，沿著圖形順時針依次列出各個變換，直到0Tn弧的箭頭為止。在逆變換時，我們從0T6弧的箭頭開始，按逆時針方向依次列出各個變換，直到T6弧的起始點為止，則可得到0Tn的逆0Tn-1=EG-1B-1Z作為進一步的例子，假設一個物體B的位置不知道，但機械手移動，使得末端抓手正好定位在物體上面。然后用G-1右乘式（2.61）求出B。或者在有向變換圖中從B的尾部沿著逆時針方向到達弧B的箭頭，直接得到同樣結果。B=Z0TnEG-1同樣，我們可以用有向變換圖求出變換的連接組。例如Z0Tn=BGE-1,.,.,.,.,.,同時可確定d3為用依次左乘方程式可得以下4個方程式,.,計算得式中,.,由式中第3行第3列為0可得即解得,.,由式第1行3列和第2行3列可得解得由第4個方程式可得,.,類似的有,第1行2列和2行2列對應元素相等得,可得,.,2.5機器人的雅可比矩陣(JacobianMatrix),意義：手端在基礎坐標中的速度與各關節速度間的關系，以及手部與外界接觸力與對應各關節力間的關系。一、雅可比矩陣的定義：n自由度機器人，其關節變量向量可寫為Q(q1,q2,qn)T，手部在基礎坐標中的位置和姿態為P,則：P(xeyezeexeyez)T(p1p2p3p4p5p6)T,.,P的各個元素都是n個關節變量的函數：,.,二、雅可比矩陣的求法P的前3個元素表示手的線速度，后3個元素表示手的角速度。可以將P寫成分塊形式：,.,1、JLi的求法a、第i個關節為移動關節：,設某時刻僅此關節運動，其余關節靜止不動:ve=JLiqi設bi-1為zi-1軸上的單位矢量：,.,.,b、第i個關節為轉動關節時，,.,2、JAi的求法a、b、,總結:,.,3.確定bi-1和ri-1,e用b表示zi-1軸上的單位向量把它轉換在基礎坐標系中,即為如圖所示,用O,Oi-1,On分別表示基礎坐標系,i-1號坐標系及手部坐標系原點。用矢量x表示在各自坐標系中的原點。,O,On,Oi