4 3可測函數結構 第四章可測函數 目的 通過本講的學習 使學生了解Lusin定理的科學意義 懂得如何從熟悉的理論或現象中尋找新的東西 發現一般規律 學會從分析中尋求所要的證明 重點與難點 從熟悉的理論出發發現Lusin定理 尋求Lusin定理的證明 Rn上可測函數與我們熟悉的連續函數有密切的聯系 一方面 可測集上的連續函數定為可測函數 另一方面 本節將證明的Lusin定理表明 可測函數可以用連續函數在某種意義下逼近 由于連續函數具有較好的性質 比較容易處理 因此這個結果在有些情況下是很有用的 4 例1 5 6 故對任意x O x F 有 f x f x 0 故f連續 證明 任取則存在i0 使得x Fi0 f x ci0 又Fi為兩兩不交閉集 從而x在開集中 所以存在 0 使得 魯津定理第一形式 下稱定理1 實變函數的三條原理 J E Littlewood 1 任一可測集差不多就是開集 至多可數個開區間的并 設f x 為E上幾乎處處有限的可測函數 則使得m E F 且f x 在F上連續 去掉一小測度集 在留下的集合上成為連續函數 即 可測函數 基本上 是連續函數 3 任一點點收斂的可測函數列集差不多就是一致收斂列 2 任一可測函數差不多就是連續函數 魯津定理的證明 證明 由于mE f 0 故不妨令f x 為有限函數 1 當f x 為簡單函數時 當x Ei時 f x ci 所以f x 在Fi上連續 而Fi為兩兩不交閉集 故f x 在上連續顯然F為閉集 且有 對f x 在F連續的說明 說明 取閉集的原因在于閉集的余集為開集 開集中的點為內點 從而可取x Fi足夠小的鄰域不含其他Fi中的點 函數在每一塊上為常值 故在每一塊上都連續 但函數在R上處處不連續 條件Fi為兩兩不交閉集必不可少 如 魯津定理的證明 2 當f x 為有界可測函數時 存在簡單函數列 n x 在E上一致收斂于f x 由 n x 在F連續及一致收斂于f x 易知f x 在閉集F上連續 利用 1 的結果知 魯津定理的證明 則g x 為有界可測函數 應用 2 即得我們的結果 連續函數類關于四則運算封閉 3 當f x 為一般可測函數時 作變換 注 1 魯津定理推論 魯津定理 限制定義域 即 去掉某個小測度集 在留下的集合上連續 在某個小測度集上改變取值并補充定義變成連續函數 若f x 為上幾乎處處有限的可測函數 使得在F上g x f x 且m E F 對n維空間也成立 則及R上的連續函數g x 開集的余集是閉集閉集的余集是開集 直線上的開集構造直線上的任一非空開集都可唯一地表示成有限個或可數個互不相交的開區間的并 魯津定理推論證明的說明 魯津定理 設f x 為E上幾乎處處有限的可測函數 則使得m E F 且f x 在F上連續 例對E R1上的a e 有限的可測函數f x 一定存在E上的連續函數列 fi x 使fi x f x a e 于E 從而 令 即得我們所要的結果 證明 由魯津定理的推論知 再由Riesz定理 存在 gn x 的子列 gni x 使gni x f x a e 于E 對上例的說明 只能作到幾乎處處收斂 說明 若fn f于R fn連續 則f的連續點集是R的稠密集 參見 實變函數 周民強 p 43 魯津定理的結論m E F 不能加強到m E F 0 參見 實變函數 周民強 p 116 雖然我們有但不存在R上的連續函數列fn使得fn f于E 設f x 是E上a e 有限的實函數 對 0 存在閉集 使且f x 在上連續 則f x 是E上的可測函數 注 此結論即為魯津定理的逆定理 從而f x 在上可測 進一步f x 在上可測 證明 由條件知 存在閉集使且f x 在En連續 當然f x 在En上可測 17 18 19 20 21 值得注意的是這個定理也可推廣到n維空間 22 魯津定理揭示了可測函數與連續函數之間的聯系 即可測函數可以用連續函數來逼近 也就是說 將可測函數的定義域去掉一