2020 4 21 1 第三節 泰勒 Taylor 公式 第三章 2020 4 21 2 泰勒 1685 1731 2020 4 21 3 引例 目錄上頁下頁返回 2020 4 21 4 證明 因為 目錄上頁下頁返回 由柯西積分中值定理 2020 4 21 5 目錄上頁下頁返回 于是 即 2020 4 21 6 三 泰勒公式的應用舉例 一 泰勒公式的建立 二 幾個初等函數的麥克勞林公式 2020 4 21 7 當 x 很小時 計算e0 1時 通常借助ex 1 x 都是用一次函數表示函數f x 的例子 一 泰勒公式的建立 目錄上頁下頁返回 計算時 通常借助 2020 4 21 8 y ex 1 y 1 x 看圖 目錄上頁下頁返回 2020 4 21 9 多項式逼近 目錄上頁下頁返回 2020 4 21 10 目錄上頁下頁返回 對于復雜函數f x 需要解決的問題是 1 f x 能否用關于x x0的n次多項式替代 使Pn x 能在x0的附近近似表示f x 2 如果f x 能用關于x x0的n次多項式替代 多項式Pn x 系數是多少 3 誤差f x Pn x 是否能估計大小 如何估計 2020 4 21 11 1 若 是n次多項式 則 目錄上頁下頁返回 2020 4 21 12 2 若不是多項式函數 令 則 目錄上頁下頁返回 2020 4 21 13 由引例結論于是得 目錄上頁下頁返回 2020 4 21 14 公式 稱為的n階泰勒公式 公式 稱為n階泰勒公式的拉格朗日余項 泰勒中值定理 階的導數 時 有 其中 則當 目錄上頁下頁返回 2020 4 21 15 目錄上頁下頁返回 余項估計 2020 4 21 16 公式 稱為n階泰勒公式的佩亞諾 Peano 余項 在不需要余項的精確表達式時 泰勒公式可寫為 注意到 目錄上頁下頁返回 2020 4 21 17 特例 1 當n 0時 泰勒公式變為 2 當n 1時 泰勒公式變為 拉格朗日中值定理 可見 目錄上頁下頁返回 微分定義 2020 4 21 18 2020 4 21 19 稱為麥克勞林 Maclaurin 公式 則有 在泰勒公式中若取 則有誤差估計式 若在公式成立的區間上 由此得近似公式 目錄上頁下頁返回 2020 4 21 20 二 幾個初等函數的麥克勞林公式 其中 目錄上頁下頁返回 2020 4 21 21 其中 目錄上頁下頁返回 2020 4 21 22 類似可得 其中 目錄上頁下頁返回 2020 4 21 23 其中 目錄上頁下頁返回 2020 4 21 24 已知 其中 類似可得 目錄上頁下頁返回 2020 4 21 25 三 泰勒公式的應用 1 在近似計算中的應用 誤差 M為 在包含0 x的某區間上的上界 需解問題的類型 1 已知x和誤差限 要求確定項數n 2 已知項數n和x 計算近似值并估計誤差 3 已知項數n和誤差限 確定公式中x的適用范圍 目錄上頁下頁返回 2020 4 21 26 已知 例1 計算無理數e的近似值 使誤差不超過 解 令x 1 得 由于 欲使 由計算可知當n 9時上式成立 因此 的麥克勞林公式為 目錄上頁下頁返回 2020 4 21 27 2 利用泰勒公式求極限 例2 求 解 由于 用洛必塔法則不方便 目錄上頁下頁返回 2020 4 21 28 3 利用泰勒公式證明不等式 例4 證明 證 目錄上頁下頁返回 2020 4 21 29 兩邊同乘n 整數 假設e為有理數 p q為正整數 則當時 等式左邊為整數 矛盾 例4 證明e為無理數 證 故e為無理數 等式右邊不可能為整數 目錄上頁下頁返回 4 利用泰勒公式理論分析 2020 4 21 30 30 解 因為分母是4階無窮小 常用函數的泰勒展開求 例 型未定式 練習求未定式極限 故只要將函數展開到 4階無窮小的項即可 2020 4 21 31 內容小結 1 泰勒公式 余項 當 時為麥克勞林公式 目錄上頁下頁返回 2020 4