傳染病與微分方程穩定性 1 一 傳染病模型 建立傳染病要考慮的因素非常多 如傳染速度 醫療能力 死亡 新生人口數量 人口年齡性別結構等 具體到不同的疾病 還有傳播途徑 發作速度等問題 此外 傳染病模型可以參照用于討論計算機病毒的傳播特征等方面 傳染病爆發期間 感染人數會怎樣變化 哪些因素對其傳染效率的影響最大 傳染病與微分方程穩定性 2 模型目標 問題 描述傳染病的傳播過程 分析受感染人數的變化規律 預報傳染病高潮到來的時刻 預防傳染病蔓延的手段 按照傳播過程的一般規律 用機理分析方法建立模型 傳染病與微分方程穩定性 3 模型假設 基本假設 傳染病是由病人通過 接觸 健康人進行傳播的 疾病流行區域內的人分為三類 S類 易感人群 I類 病人 R類 移出者 為簡單起見 假設本地區總人口不變 為N SIR 傳染病與微分方程穩定性 4 1 SI模型 只考慮S和I兩類人 1 人群個體之間沒有差異 病人與易感者在人群中混合均勻 記s t 為t時刻健康人占總人口的比例 i t 為t時刻病人的比例 則s t i t 1 2 人群數量足夠大 s t 和i t 可以視為連續且可微的 3 每個I類人每天 有效接觸 的人數為常數 4 不考慮出生與死亡 以及人群的遷入遷出因素 傳染病與微分方程穩定性 5 構造模型 令 t 0 得到微分方程 這個模型可以用于預報傳染病爆發早期 患病人數的發展規律 并預測傳染高峰的時間 傳染病與微分方程穩定性 6 SI模型圖形分析 病人比例隨時間的變化規律病人數增長速率與病人數的關系 傳染病與微分方程穩定性 7 增派防疫 醫療人員 采取放假 隔離等措施 普及防疫措施 知識 調整臨床醫療策略 傳染病與微分方程穩定性 8 SI模型結果分析 這個模型的缺陷是顯而易見的 比如t 時 i t 1 這表明本地區最后所有人都會被感染 出現這種結果的原因是假設系統中只有兩種人 即病人和易感人群 而且沒有考慮病人會被治愈的因素 傳染病與微分方程穩定性 9 1 假設 前面四條都和模型A一樣 再添加一條 5 病人以固定的比率痊愈 再次成為易感人群 每天被治愈的病人數占病人總數的比例為 2 SIS模型 可治愈但不免疫模型 表示日治愈率 表現的是本地區的醫療水平 所以1 就可以表示傳染病的平均感染期 也是一個病人從發病到被治愈經歷的時間 根據假設5 Logistic模型被修改為 傳染病與微分方程穩定性 10 構造模型 定義一個常數 根據 和1 的定義 就是一個病人在整個患病期間有效接觸的平均人數 這在模型里被稱為接觸數 將 代入方程中 得到 求解這個方程 得到解為 傳染病與微分方程穩定性 11 模型求解 1時 t 則i t 1 1 畫出解的圖象為 1 t 時i t 0 傳染病與微分方程穩定性 12 模型結果分析 1 t 時i t 0 傳染病與微分方程穩定性 13 1 假設 這里的假設類似于模型B 只是引入R類人群 分別記s t i t r t 為病人 易感人群 移出者在總人口中所占的比例 s t i t r t 1 另外 日接觸率 日治愈率 3 SIR模型 免疫模型 根據假設 模型被修正為 初值條件為i 0 i0 r 0 r0 s 0 s0 注意 此方程組無法求解析解 可以求數值解 傳染病與微分方程穩定性 14 模型求解 采用常微分方程定性理論的分析辦法 將方程組轉化成下面的形式 其中s 0 i 0且s i 1 這個方程是可以求解析解的 傳染病與微分方程穩定性 15 下面我們來看隨著時間的推移 s t I t r t 的變化規律 首先 t 時 分別以s i r 記各自的極限 這些極限都存在 模型分析 傳染病與微分方程穩定性 16 i 0 用反證法 假設i 0 那么必然有i 0 根據極限的定義 對于充分大的t 都應該有i t 2 把這個結論代入方程組 模型分析 dr dt i 2 這會導致r t 這跟上面r t 的極限也存在的結論有矛盾 所以只能有 i 0 也就是說傳染病最終將消失 傳染病與微分方程穩定性 17 其次 考慮隨著t的變化 i s平面上解的軌線變化情況 大概的走勢圖為 模型分析 傳染病與微分方程穩定性 18 傳染病與微分方程穩定性 19 1 是一個邊界點 為了讓傳染病不蔓延 需要調整s0和1 具體的方法 一是降低s0 如接種疫苗 使S類人群直接變成R類 二是提高1 使之大于s0 也就是降低 而提高 強化衛生教育和隔離病人 同時提高醫療水平 模型分析 傳染病與微分方程穩定性 20 對參數 的估計 令解兩端同時取t 因為i 0 得到 參數估計 根據歷史數據和此公式就可以得到 的估計值 關于傳染病模型 我們還可以進一步考慮更復雜的情形 如考慮出生率 死亡率 防疫措施的作用 潛伏期等 傳染病與微分方程穩定性 21 其他類型的傳染病模型 SIES模型 健康 染病 潛伏期 健康不免疫SIER模型 健康 染病 潛伏期 移出系統SIRS模型 健康 染病 短時免疫 健康 易感 考慮抵抗能力考慮地域傳播考慮傳播途徑 接觸 空氣 昆蟲 水源等 傳染病與微分方程穩定性 22 傳染病模型本質上就是狀態轉移的一個速度方程 如果具有多個狀態 則需要多個方程組成的方程組 因此完全可以采用其他形式的狀態轉移模型加以描述 采用常微分方程的主要優勢在于分析方法和計算方法都比較成熟 更容易得到豐富的結論 傳染病與微分方程穩定性 23 對象仍是動態過程 建模目的變成了時間充分長以后會如何 即研究事物最終的發展趨勢 借助微分方程穩定性理論 不求解微分方程 描述事物某些特征的最終穩定狀態 三 穩定性模型 比如 商品的價格與其價值的變化關系 食肉動物與草食性動物數量的變化規律 侵入人體的病菌與白血球的數量變化關系 投入一粒石子的池塘水面振幅變化規律 隨著時間的推移 最終的結局是什么 傳染病與微分方程穩定性 24 事物發展的穩定與不穩定 時間 這些現象在現實中都有實用背景和研究價值 事物的某些特征 傳染病與微分方程穩定性 25 一階微分方程組 首先求方程組的平衡點 傳染病與微分方程穩定性 26 其次將方程組線性化 其系數矩陣為 p 0且q 0時平衡點P0穩定 p 0或q 0時平衡點P0不穩定 傳染病與微分方程穩定性 27 傳染病與微分方程穩定性 28 設同一環境中有甲 乙兩個種群 x1 t x2 t 分別記t時刻甲 乙種群的數量 r1 r2為各自固有的增長率 N1 N2為各自環境最大容量 據此建立下面的模型 其中 1 2是非常關鍵的指標 反映一個種群對另一種群的競爭能力 案例 生物種群的競爭模型 傳染病與微分方程穩定性 29 穩定性分析 競爭的結局 得到四個平衡點 P1 N1 0 P2 0 N2 P3 0 0 f 0 g 0 p 0且q 0時P0穩定 p 0或q 0時P0不穩定 傳染病與微分方程穩定性 30 2 1 1 1 1 1 2 1 不穩定 1 1 2 1 p 0而且q 0 P1 N1 0 P2 0 N2 P3 0 0 當穩定性定理無法給出全部穩定性條件時 我們需要結合使用幾何方法 傳染病與微分方程穩定性 31 1 11 x2 x1 0 0 0 N2 N1 0 S1 S2 S3 幾何分析表明 此時P1 N1 0 穩定 傳染病與微分方程穩定性 32 2 1 1 2 1 x2 x1 0 0 0 N2