數學實踐與建模課程論文 學號姓名： 題目來源： 自選 十字路口黃燈應該亮多久摘要： 在十字路口交通燈起著重要的指揮作用，而黃燈又是某些路口不得不需要的一種指示燈，它使十字路口的交通情況變得更好、更流暢。本文通過對十字路口車流量，以及人流量對等對十字路口黃燈應該亮多久進行了分析，運用所學的數學知識針對這個問題建立一個數學模型。利用一些軟件進行輔助，并對模型進行求解，得出一個相對理想的結果。關鍵字： 加速度 速度 重量 十字路口 停車距離 黃燈一、問題的提出：在一個十字路口當綠燈結束的時候，通常會出現黃燈使得司機和行人都有一個準備的時間做出一個決定是否應該通過此十字路口，我們現在問這個黃燈應該亮多久比較合適？二、問題的分析：之所以要有黃燈，我們主要是想要給司機和行人一些反應的時間。當司機看到黃燈時有一定反應時間決定他到底是該停，還是該繼續行駛（已越過停止線的車輛可以繼續通行,如果覺得不能通過，就必須停車。接著是紅燈亮，禁止車輛通行。）。如果車輛以一定的速度通過路口，交通指示燈突然由綠燈變成紅燈，沒有時間給司機作出是停車還是繼續前進的決定，而行人看到的是由紅燈變成綠燈，沒有黃燈給的反應時間行人以為是綠燈了就有可能直接走上人行橫道，而有的司機又沒有作出停車的決定，這樣就有可能出現交通事故。為了避免這種情況的發生所以我們再兩燈之間加入了黃燈。我們應該找出一個較短既能保證交通流暢又能使黃燈所亮時間較短的時間，使模型優化。由于人的反應僅僅是決定是否該此時通過該路口，無時間可言，所以僅僅考慮車輛的情況。所以黃燈所需的時間為司機的決定時間加上通過十字路口需要的時間和停車距離的駕駛時間。三、模型的假設：（1）、所有的行人和司機都遵守交通規則。（2）、十字路口不存在交通行駛流暢，不存在交通堵塞的情況。（3）、所有汽車通過十字路口的速度都是一樣的。（4）、所有的行人通過十字路口的速度是恒定不變的，以一般行人的正常速度通過人行橫道。四、符號的說明：V：時刻t通過點x的車流速度V1：汽車的剎車后的末速度C：十字路口的長度L：車輛的長度T1：駕駛員的反應時間T2：車輛通過十字路口所需要的時間T3：到停車距離的駕駛時間f : 車輛與地面的摩擦力M：車輛的質量a : 車輛剎車是的加速度S：為到停車位置的距離T：十字路口黃燈所需亮的時間四、模型的建立：我們首先要對十字路口的各種數據作出調查，從而等到相對準確的解決問題所需要的數據。速度V（x，t）時刻t通過點x的車流速度；十字路口的長度為C。對于車長為L的車輛我們可以得出它通過十字路口的時間為：T2=（L+C）/V，當司機決定停車的時候，車子會有一段停車距離和停車時間。這段時間我們通過牛頓力學公式可以計算出來。假設停車距離為S，車子與路之間的摩擦力為f（f為矢量），車子的質量為M，車子的末速度為V1。這樣就可以得到一個方程組：f=Ma；S=V1*(T3)-1/2a（T3）*（T3）。再有人剎車之前有一個反應時間，記為T1。則總共需要時間T為三個時間相加。即：T=T1+T2+T3。五、模型的求解：從方程組：f=M*a；S= V1*(T3)-1/2a（T3）*（T3）。我們由f=M*a可以求出a=f/M，代入方程S= V1*(T3)-1/2a（T3）*（T3）中我們能知道車子如果停下那么車子的末速度就V1就等于0，如果車子不能停下，那么它就要繼續通過十字路口，這樣所用的時間必然會比停下加上再通過的時間所用的時間短，所以我們只需要考慮停下的時候。即V1=0，從而我們能求出T3=。如果司機作出決定的時間是T1。黃燈總共需要亮的時間T=T1+T2+T3=T1+(L+C)/V+。我們得出行駛速度V與時間T的函數關系圖如下：VOT對于一個一般的十字路口車速大概是6m/s，汽車的質量為1.2噸左右（取1.2噸），車長一般為3米左右（取3米），汽車的質量為1.2噸左右（取1.2噸），路口的長度平均大約在10米，汽車緊急制動時的加速度大約為-5m/s*s，與停車距離的距離大約為5m。人需要剎車時的反應時間大約是1秒。根據上面的數據我們可以代入上面的公式算出一般的十字路口黃燈所亮的時間為T=2.17+1+=4.58s但不同的路口很多數據是不同的，但又是固定不變的。如：路口的長度。有的數據不同的路口都是相差不大的，如：車的平均長度，汽車緊急制動時的加速度等。我們需要對不同的路口，用路口相對應和適應的數據，求出不同路口的不同的最佳時間，進而確定不同路口黃燈所亮的時間。六、結論分析：對于不同的車質量不同，那么它所產生的加速度就不一樣。所以，對于同一個路口，不同的車，我們應該限于不同的速度以達到滿足黃燈所亮時間的要求；同樣我們也考慮不同的車長度不一樣的問題，在車快到達十字路口時，我們對不同長度的車做不同的限定，同樣使其滿足黃燈所亮時間的要求；我們還可以在道路旁邊作出提示，前方有十字