第四章李雅普諾夫穩定性分析 1892年 李雅普諾夫 在 運動穩定性的一般問題 中系統的建立了運動穩定性理論 給出了運動穩定性的精確定義 李雅普諾夫第二法 直接法 對于一個動力學系統 如果隨著系統的運動 其貯存的能量 能量函數 隨著時間的增長而連續地減小 即能量對時間的導數 為負 直至趨于平衡狀態而能量趨于極小值 則此系統是穩定的 李雅普諾夫第二法可歸結為 在不直接求微分方程解的前提下 通過判斷 廣義能量函數 李雅普諾夫函數 及其導數的號性 給出系統平衡狀態穩定性的信息 應用李氏穩定理論的關鍵在于能否找到一個合適的李氏函數 經驗表明 在很多情況下 可取為二次型 李氏穩定理論既適用于線性系統 也適用于非線性系統 4 1基本定義 平衡狀態對于系統對所有t 存在 則稱 e為系統的平衡狀態 對于線性定常系統 討論穩定性無關輸入u 當 為非奇異時 系統只存在一個平衡狀態 即 0是唯一的平衡點 當 為奇異時 則系統存在無窮多個平衡狀態 對于非線性系統 可有一個或多個平衡狀態 任何平衡狀態 總可通過坐標變換 將其移至坐標原點 即f 0 t 0 李雅普諾夫意義下的穩定性系統的平衡狀態為 e f Xe t 0 在t t0時 有擾動使系統的初態為 0 產生初始偏差 0 Xe 則t t0后 系統的狀態從 0開始發生變化 uclid范數 表示初始偏差都在以 為半徑 以平衡狀態 e為中心的閉球域S 中 同樣 表示平衡狀態偏差都在以 為半徑 以平衡狀態Xe為中心的閉球域S 中 如果對球域S 存在著一個球域S 使當t 時 從S 出發的軌跡不離開S 即有 則稱平衡狀態 e為在李雅普諾夫意義下穩定的 圖a 如果平衡狀態 e在李雅普諾夫意義下是穩定的 又當t 時 從 出發的軌跡都不離開 而且收斂于Xe 即有 則稱平衡狀態為漸近穩定的 圖b 如果對狀態空間中的任意點 不管初始偏差有多大 由這些狀態出發的軌跡都保持漸近穩定特性 則稱平衡狀態 e為大范圍漸近穩定的 大范圍漸近穩定的必要條件是在整個狀態空間中 只有一個平衡狀態 如果線性定常系統是漸近穩定的 由于其有唯一解 因此它必定也是大范圍漸近穩定的 當t 時 在球域 的某個狀態 0出發的軌跡最終超越球域 則稱平衡狀態 e為不穩定的 圖c 純量函數號性廣義能量函數通常是一個二次型純量函數 當且僅當 0時 有 0 對任意非零 恒有 0則稱V x 為正定 當 0時 有 0 對任意非零X 有 0 則稱為正半定 或稱準正定 當且僅當X 0時 有 0 對任意非零X 恒有 0 負定 當X 0時 有 0 對任意非零X 有 0 則負半定 準負定 如果無論取多么小的零點的鄰域 可為負值 也可為負值 則稱不定 二次型V x 正定性的Sylvester準則李雅普諾夫穩定性理論中的 廣義能量函數 V x 通常為二次型 矩陣P為實對稱矩陣 V x 的正定性可由Sylvester準則來確定 二次型V x 為正定的充分必要條件是矩陣P的所有主子行列式為正 即 若P是奇異矩陣 并且它的所有主子行列式為非負 則為正半定的 二次型V x 為負定的充分必要條件是矩陣P的所有主子行列式滿足 i0 i為偶數 i 1 2 n 李雅普諾夫函數 廣義能量函數的物理意義圖示系統 質量M 彈簧剛度K 阻尼系數B 系統相對于平衡狀態的位移為y 速度取狀態變量x1 y 則有 表示系統的自由運動 為一齊次方程 系統在任一個瞬時的具有的總能量為 彈簧的勢能 質量的動能 即 顯然V x V x1 x2 是正定的 且V 0 0 0 而能量變化率 顯然 無論x1 x2取何值 總是負定的 或負半定 若B 0 則 無能量損失 當初始位置偏離平衡位置足夠小時 系統將在平衡點足夠小的范圍內作諧振 系統相對于平衡位置是穩定的 盡管是不斷作諧振 若B 0 即B 0 此時 系統沿著其運動軌跡有 阻尼器不斷消耗系統能量 總能量V x 不斷減小 直至為零 物體趨向平衡位置 系統是漸近穩定的 可見李雅普諾夫函數就是力學系統的能量函數 但并非所有的系統都具有能量概念 如經濟系統 生物系統和社會學系統等 因此有必要將上述能量函數的概念推廣至系統的所謂李雅普諾夫函數 廣義能量函數 的概念上來 4 2李雅普諾夫第二法穩定性分析基本定理 定理一 系統狀態方程 且f 0 t 0 如果有連續一階偏導的純量函數存在 且滿足以下條件 1 V X t 是正定的 2 是負定的 則在原點處的平衡狀態是漸近穩定的 如果隨著 X 時 有V X t 則在原點處的平衡狀態是在大范圍內漸近穩定的 例4 1系統方程為 試確定系統的穩定性解 顯然 原點 0 0 為系統唯一的一個平衡狀態 若取 V X 為正定 則 顯然是負定的 又由于 X 時 因此系統在原點處的平衡狀態是在大范圍內漸近穩定的 定理二 系統狀態方程 且f 0 t 0 如果有一純量函數V X 它具有連續的一階偏導數 且滿足 1 V X t 是正定的 2 是負半定的 3 在X 0時不恒等于0則系統在原點處的平衡狀態是在大范圍內漸近穩定的 例4 2系統方程為 試確定系統平衡狀態的穩定性 解 顯然 原點 0 0 為系統的唯一平衡狀態 若取 V X 為正定 則 x1 0 x2 0時 當x1 0 x2 0時 x2 0時 因此是負半定的 反推論 若恒等于零 則x2必為零 這就要求 由于 故x1也必須等于零 這就是說 V X 只有在原點處才恒等于零 因此由定理二 原點處的平衡狀態是在大范圍內漸近穩定的 對該例 可另取 正定 負定 又因 X 時 有V X 由定理一 原點處的平衡狀態是在大范圍內漸近穩定的 可見 選取不同的李氏函數 可得出相同的結論 可簡化分析 定理三 系統狀態方程 且f 0 t 0 如果有一純量函數V X 它具有連續的一階偏導數 且滿足 1 V X 是正定的 2 對任意X恒為零 則系統在原點處的平衡狀態在李雅普諾夫意義下是穩定的 但非漸近穩定的 這時系統可保持在一個穩定的等幅振蕩狀態上 即所謂極限環 試確定系統平衡狀態的穩定性 解 顯然 原點 0 0 為平衡狀態 取 則 例4 3 系統如圖 方程為 K 0 正定 可見 在任意X值上均可保持為零 則系統在李雅普諾夫意義下是穩定的 但不是漸進穩定的 存在著極限環 事實上 該系統在古典的控制理論中屬結構不穩定的 因其閉環傳遞函數 為使系統變為漸進穩定 現考慮非齊次狀態方程 為使系統漸進穩定 可使設 其中是根據希望的響應選取的常數 這樣便符合定理一 上述方法 就是通常采用的所謂速度反饋 必須注意 上述定理只是給出了系統穩定的充分條件 尚未給出必要條件 即對給定的系統如果可以找到滿足條件的李雅普諾夫函數 則系統必定是穩定的 但是如果找不到這樣的李雅普諾夫函數 即不定 也并不意味著系統是不穩定的 定理四 系統狀態方程 且如果有一純量函數 它具有連續一階偏導數 且滿足1 在原點的某一鄰域內是正定的 2 在同樣的鄰域內是正定的 則系統在原點處的平衡狀態是不穩定的 4 3線性定常系統的李雅普諾夫穩定性分析 線性定常系統狀態方程 若矩陣A是非奇異的 則唯一的平衡狀態在原點處取一個可能的二次型李雅普諾夫函數 式中P是一個正定的Hermitian陣 實對稱矩陣 沿導數的軌跡為 對于系統漸進穩定性 要求是負定的則必須有式中系統在平衡漸近穩定的充要條件是Q陣為正定的 則就是該系統的李雅普諾夫函數 注 1 若沿任意軌跡不恒等于零 則Q可取正半定的 2 由Q確定的P 則P的正定性是系統在平衡狀態X 0漸進穩定的充分必要條件 3 只要矩陣Q選為正定的 或根據具體情況選為正半定的 則最終結果與矩陣Q的選擇無關 可選Q I 則滿足漸進穩定的充分必要條件為 由此檢驗矩陣P是否為正定的 例 控制系統如圖 其狀態方程為 可見 原點是唯一的平衡狀態 試確定該系統的穩定性 解 該可能的李雅普諾夫函數為 式中 矩陣P滿足 即 即 解得 即 根據Sylvester準則 有 所以矩陣P是正定 系統在原點處的平衡狀態是在大范圍漸近穩定的 該系統的李雅普諾夫函數為 4 4線性定常離散系統穩定性分析 定理五 離散時間系統的狀態方程為 在處的平衡狀態為漸近穩定的充要條件是 對于任意給定的Hermitian矩陣 實對稱矩陣 Q 存在一個正定的Hermitian矩陣P 使得 則系統的李雅普諾夫函數便是 證明 設可能的