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文檔簡介

導數的應用典型錯誤解析導數作為一種工具，在解決數學問題時極為方便，尤其是利用導數求函數的單調性、極植、最值、和切線的方程，但是筆者在教學過程中，發現導數的應用還存在許多誤區。一、導數的定義理解不清例1. 已知函數，求錯解：因為剖析：錯誤的主要原因是由于對導數的定義理解不清，導數函數在某一點處的導數，就是函數在這一點的函數值的增量與自變量的增量的比值在自變量的增量趨近于零時的極限，分子分母中的自變量的增量x必須保持對應一致，它是非零的變量，它可以是，等。二、為極值的充要條件理解不清例2. 函數在處有極值10，求a、b的值。錯解：，由題意知，且即，且解之得或剖析：錯誤的主要原因是把為極值的必要條件當作了充要條件，為極值的充要條件是且附近兩側的符號相反，所以后面應該加上：當時在附近兩側的符號相反，當時，在附近兩側的符號相同，所以舍去。（時，的圖象見下面左圖，時，的圖象見下面右圖。）三、函數的單調區間不完善例3. 求函數的單調增區間。錯解：由題意得又因為函數的定義域是所以函數的單調遞增區間是（0，1）和（1，）。剖析：錯解錯在對函數在處是否連續沒有研究，顯然函數在處是連續的，所以函數的單調遞增區間是。（函數的圖象見下圖）對于（或）的解集中的斷開點的連續性，我們要進行研究，不能草率下結論。四、函數單調的充要條件理解不清例4. 已知函數在內單調遞減，求實數a的取值范圍。錯解：，由函數在內單調遞減知在內恒成立即在內恒成立因此剖析：錯誤的主要原因是由于對函數在D上單調遞增（或遞減）的充要條件是（或）且在D任一子區間上不恒為零沒有理解。而當時在恒成立，所以不符合題意，舍去。五、求函數的最值沒有考慮函數的不可導點。例5. 求在上的最大值和最小值。錯解：由題意得令得當和3時，函數的最大值是當時，函數的最小值是1剖析：錯誤的主要原因是解題過程中忽略了對函數的不可導點的考察，因為函數的最值可以在導數為零的點或不可導點或區間的端點處取得。所以后面應該加上：在定義域內不可導的點為：當和3時，函數的最大值是當或2時，函數的最小值是0函數的圖象如圖六、求函數的極值沒有考慮函數的不可導點例6. 求在上的極值。錯解：由題意得令，得當時，在附近兩側的符號相反，左正右負，是函數的極大值點。剖析：錯誤的主要原因是解題過程中忽略了對函數的不可導點的考察，因為函數的極值可以在定義域內導數為零的點或不可導點取得。所以后面還應該加上：在定義域內不可導的點為：經計算，在附近兩側的符號

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