費馬點及其在中考中的應用一、費馬點的由來費馬(PierredeFermat，16011665)是法國數學家、物理學家費馬一生從未受過專門的數學教育，數學研究也不過是業余愛好然而，在17世紀的法國還找不到哪位數學家可以與之匹敵他是解析幾何的發明者之一；概率論的主要創始人；以及獨承17世紀數論天地的人一代數學大師費馬堪稱是17世紀法國最偉大的數學家尤其他提出的費馬大定理更是困惑了世間智者358年費馬曾提出關于三角形的一個有趣問題：在ABC內求一點P，使PA+PB+PC之值為最小，人們稱這個點為“費馬點”二、探索費馬點1當三角形有一個內角大于或等于120的時候，則費馬點就是這個內角的頂點下面來驗證這個結論：如圖1，對三角形內任意一點P，延長BA至點C，使得AC=AC，作CAP=CAP，并且使得AP=AP即把APC以A為中心做旋轉變換則APCAPC，BAC120，PAP60在等腰三角形PAP中，APPP，PA+PB+PCPP+PB+PCBC=AB+AC所以A是費馬點 2如果三個內角都在120以內，那么，費馬點就是三角形內與三角形三頂點的連線兩兩夾角為120的點如圖2，以B點為中心，將APB旋轉60到ABP因為旋轉60，且PB=PB，所以PPB為正三角形因此，PA+PB+PC=PA+PP+PC由此可知當A，P，P，C四點共線時，PA+PB+PC=PA+PP+PC為最小當A，P，P共線時，BPP=60，APB=APB=120同理，若P，P，C共線時，則BPP=60，BPC=120所以點P為滿足APB=BPC=CPA=120的點費馬點相關問題等腰直角三角形,已知在直角平分線上的一點P,PA+PB+PC最小值為6+2，求直角邊的長度？解答：如圖將三角形PAC逆時針旋轉60度得三角形DEC，則角PCD=60度，三角形PCD是正三角形，PC=PD且DE=PA，所以PA+PB+PC=DE+PD+PB，根據兩點之間線段最短，當點E、D、P、B在一條直線上時，DE+PD+PB最小，這時角BPC=120度，角APC=EDC=120。下證這時的點P就在角ACB的平分線上。在三角形DCE和PCB中，因CE=CA=CB得角E=角PBC，又有角EDC=BPC=120度，得三角形CDE、CPA、CBP全等，角ECD=ACP=BCP，點P在角ACB的平分線上。所以點P是這樣一個點：它使角APC=BPC=APB=120度（這個點叫三角形的費馬點）。延長CP交AB于F，則CF垂直AB，且由三角形CPA、CBP全等知PA=PB，得角FPA=60度，設PF=x，則PA=PB=2x，AF=CF=3*x，PC=(3-1)x，有2x+2x+(3-1)x=6+2，x=1/36。所以AF=CF=2，AC=2*CF=2*2=2。向左轉|向右轉求角CBN 90度的方法：1.四邊形內角和等于360度；2.在直角三角形ABC中，由AC等于AB的一半知角CBA等于30度“費馬點”與中考試題費爾馬，法國業余數學家，擁有業余數學之王的稱號，他是解析幾何的發明者之一費馬點就是到三角形的三個頂點的距離之和最小的點費爾馬的結論：對于一個各角不超過120的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120的點，對于有一個角超過120的三角形，費馬點就是這個內角的頂點下面簡單說明如何找點P使它到ABC三個頂點的距離之和PA+PB+PC最小？這就是所謂的費爾馬問題解析：如圖1，把APC繞A點逆時針旋轉60得到APC，連接PP則APP為等邊三角形，AP=PP，PC=PC，所以PA+PB+PC=PP+PB+PC點C可看成是線段AC繞A點逆時針旋轉60而得的定點，BC為定長，所以當B、P、P、C四點在同一直線上時，PA+PB+PC最小這時BPA=180-APP=180-60=120，APC=APC=180-APP=180-60=120，BPC=360-BPA-APC=360-120-120=120因此，當ABC的每一個內角都小于120時，所求的點P對三角形每邊的張角都是120，可在AB、BC邊上分別作120的弓形弧，兩弧在三角形內的交點就是P點；當有一內角大于或等于120時，所求的P點就是鈍角的頂點費爾馬問題告訴我們，存在這么一個點到三個定點的距離的和最小，解決問題的方法:是