數學模型 1 PPT學習交流 課程簡介 2 PPT學習交流 第一章建立數學模型第二章初等模型第三章簡單的優化模型第四章數學規劃模型第五章微分方程模型第六章穩定性模型第七章差分方程模型第八章離散模型第九章概率模型第十章統計回歸模型附錄 數學建模實驗 3 PPT學習交流 教學進度 4 PPT學習交流 5 PPT學習交流 第一章建立數學模型 1 1從現實對象到數學模型1 2數學建模的重要意義1 3數學建模示例1 4數學建模的方法和步驟1 5數學模型的特點和分類1 6怎樣學習數學建模 6 PPT學習交流 玩具 照片 飛機 火箭模型 實物模型 水箱中的艦艇 風洞中的飛機 物理模型 地圖 電路圖 分子結構圖 符號模型 模型是為了一定目的 對客觀事物的一部分進行簡縮 抽象 提煉出來的原型的替代物 模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征 1 1從現實對象到數學模型 我們常見的模型 7 PPT學習交流 你碰到過的數學模型 航行問題 用x表示船速 y表示水速 列出方程 答 船速每小時20千米 小時 甲乙兩地相距750千米 船從甲到乙順水航行需30小時 從乙到甲逆水航行需50小時 問船的速度是多少 x 20y 5 8 PPT學習交流 航行問題建立數學模型的基本步驟 作出簡化假設 船速 水速為常數 用符號表示有關量 x y表示船速和水速 用物理定律 勻速運動的距離等于速度乘以時間 列出數學式子 二元一次方程 求解得到數學解答 x 20 y 5 回答原問題 船速每小時20千米 小時 9 PPT學習交流 數學模型 MathematicalModel 和數學建模 MathematicalModeling 對于一個現實對象 為了一個特定目的 根據其內在規律 作出必要的簡化假設 運用適當的數學工具 得到的一個數學結構 建立數學模型的全過程 包括表述 求解 解釋 檢驗等 數學模型 數學建模 10 PPT學習交流 1 2數學建模的重要意義 電子計算機的出現及飛速發展 數學以空前的廣度和深度向一切領域滲透 數學建模作為用數學方法解決實際問題的第一步 越來越受到人們的重視 在一般工程技術領域數學建模仍然大有用武之地 在高新技術領域數學建模幾乎是必不可少的工具 數學進入一些新領域 為數學建模開辟了許多處女地 11 PPT學習交流 數學建模的具體應用 分析與設計 預報與決策 控制與優化 規劃與管理 數學建模 計算機技術 知識經濟 12 PPT學習交流 1 3數學建模示例 1 3 1椅子能在不平的地面上放穩嗎 問題分析 模型假設 通常 三只腳著地 放穩 四只腳著地 四條腿一樣長 椅腳與地面點接觸 四腳連線呈正方形 地面高度連續變化 可視為數學上的連續曲面 地面相對平坦 使椅子在任意位置至少三只腳同時著地 13 PPT學習交流 模型構成 用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來 椅子位置 利用正方形 椅腳連線 的對稱性 用 對角線與x軸的夾角 表示椅子位置 四只腳著地 距離是 的函數 四個距離 四只腳 A C兩腳與地面距離之和 f B D兩腳與地面距離之和 g 兩個距離 椅腳與地面距離為零 正方形ABCD繞O點旋轉 14 PPT學習交流 用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來 f g 是連續函數 對任意 f g 至少一個為0 數學問題 已知 f g 是連續函數 對任意 f g 0 且g 0 0 f 0 0 證明 存在 0 使f 0 g 0 0 模型構成 地面為連續曲面 椅子在任意位置至少三只腳著地 15 PPT學習交流 模型求解 給出一種簡單 粗糙的證明方法 將椅子旋轉900 對角線AC和BD互換 由g 0 0 f 0 0 知f 2 0 g 2 0 令h f g 則h 0 0和h 2 0 由f g的連續性知h為連續函數 據連續函數的基本性質 必存在 0 使h 0 0 即f 0 g 0 因為f g 0 所以f 0 g 0 0 評注和思考 建模的關鍵 假設條件的本質與非本質 考察四腳呈長方形的椅子 和f g 的確定 16 PPT學習交流 背景 世界人口增長概況 中國人口增長概況 研究人口變化規律 控制人口過快增長 1 3 3如何預報人口的增長 17 PPT學習交流 指數增長模型 馬爾薩斯提出 1798 常用的計算公式 x t 時刻t的人口 基本假設 人口 相對 增長率r是常數 今年人口x0 年增長率r k年后人口 隨著時間增加 人口按指數規律無限增長 18 PPT學習交流 指數增長模型的應用及局限性 與19世紀以前歐洲一些地區人口統計數據吻合 適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代 可用于短期人口增長預測 不符合19世紀后多數地區人口增長規律 不能預測較長期的人口增長過程 19世紀后人口數據 19 PPT學習交流 阻滯增長模型 Logistic模型 人口增長到一定數量后 增長率下降的原因 資源 環境等因素對人口增長的阻滯作用 且阻滯作用隨人口數量增加而變大 假設 r 固有增長率 x很小時 xm 人口容量 資源 環境能容納的最大數量 20 PPT學習交流 x t S形曲線 x增加先快后慢 阻滯增長模型 Logistic模型 21 PPT學習交流 參數估計 用指數增長模型或阻滯增長模型作人口預報 必須先估計模型參數r或r xm 利用統計數據用最小二乘法作擬合 例 美國人口數據 單位 百萬 專家估計 阻滯增長模型 Logistic模型 22 PPT學習交流 模型檢驗 用模型計算2000年美國人口 與實際數據比較 實際為281 4 百萬 模型應用 預報美國2010年的人口 加入2000年人口數據后重新估計模型參數 Logistic模型在經濟領域中的應用 如耐用消費品的售量 阻滯增長模型 Logistic模型 23 PPT學習交流 數學建模的基本方法 機理分析 測試分析 根據對客觀事物特性的認識 找出反映內部機理的數量規律 將對象看作 黑箱 通過對量測數據的統計分析 找出與數據擬合最好的模型 機理分析沒有統一的方法 主要通過實例研究 CaseStudies 來學習 以下建模主要指機理分析 二者結合 用機理分析建立模型結構 用測試分析確定模型參數 1 4數學建模的方法和步驟 24 PPT學習交流 數學建模的一般步驟 模型準備 了解實際背景 明確建模目的 搜集有關信息 掌握對象特征 形成一個比較清晰的 問題 25 PPT學習交流 模型假設 針對問題特點和建模目的 作出合理的 簡化的假設 在合理與簡化之間作出折中 模型構成 用數學的語言 符號描述問題 發揮想像力 使用類比法 盡量采用簡單的數學工具 數學建模的一般步驟 26 PPT學習交流 模型求解 各種數學方法 軟件和計算機技術 如結果的誤差分析 統計分析 模型對數據的穩定性分析 模型分析 模型檢驗 與實際現象 數據比較 檢驗模型的合理性 適用性 模型應用 數學建模的一般步驟 27 PPT學習交流 數學建模的全過程 現實對象的信息 數學模型 現實對象的解答 數學模型的解答 歸納 演繹 表述 求解 解釋 驗證 根據建模目的和信息將實際問題 翻譯 成數學問題 選擇適當的數學方法求得數學模型的解答 將數學語言表述的解答 翻譯 回實際對象 用現實對象的信息檢驗得到的解答 實踐 現實世界 數學世界 28 PPT學習交流 1 5數學模型的特點和分類 模型的逼真性和可行性 模型的漸進性 模型的強健性 模型的可轉移性 模型的非預制性 模型的條理性 模型的技藝性 模型的局限性 數學模型的特點 29 PPT學習交流 數學模型的分類 應用領域 人口 交通 經濟 生態 數學方法 初等數學 微分方程 規劃 統計 表現特性 描述 優化 預報 決策 建模目的 了解程度 白箱 灰箱 黑箱 確定和隨機 靜態和動態 線性和非線性 離散和連續 30 PPT學習交流 1 6怎樣學習數學建模 數學建模與其說是一門技術 不如說是一門藝術 技術大致有章可循 藝術無法歸納成普遍適用的準則 想像力 洞察力 判斷力 學習 分析 評價 改進別人作過的模型 親自動手 認真作幾個實際題目 31 PPT學習交流 第二章初等模型 2 1公平的席位分配2 2錄像機計數器的用途2 3雙層玻璃窗的功效2 7實物交換 32 PPT學習交流 2 1公平的席位分配 問題 三個系學生共200名 甲系100 乙系60 丙系40 代表會議共20席 按比例分配 三個系分別為10 6 4席 現因學生轉系 三系人數為103 63 34 問20席如何分配 若增加為21席 又如何分配 比例加慣例 對丙系公平嗎 33 PPT學習交流 公平 分配方法 衡量公平分配的數量指標 當p1 n1 p2 n2時 分配公平 p1 n1 p2 n2 對A的絕對不公平度 p1 150 n1 10 p1 n1 15p2 100 n2 10 p2 n2 10 p1 1050 n1 10 p1 n1 105p2 1000 n2 10 p2 n2 100 p1 n1 p2 n2 5 但后者對A的不公平程度已大大降低 雖二者的絕對不公平度相同 若p1 n1 p2 n2 對不公平 A p1 n1 p2 n2 5 34 PPT學習交流 公平分配方案應使rA rB盡量小 設A B已分別有n1 n2席 若增加1席 問應分給A 還是B 不妨設分配開始時p1 n1 p2 n2 即對A不公平 對A的相對不公平度 將絕對度量改為相對度量 類似地定義rB n1 n2 將一次性的席位分配轉化為動態的席位分配 即 公平 分配方法 若p1 n1 p2 n2 定義 35 PPT學習交流 1 若p1 n1 1 p2 n2 則這席應給A 2 若p1 n1 1 p2 n2 3 若p1 n1 p2 n2 1 應計算rB n1 1 n2 應計算rA n1 n2 1 若rB n1 1 n2 rA n1 n2 1 則這席應給 應討論以下幾種情況 初始p1 n1 p2 n2 問 p1 n1 p2 n2 1 是否會出現 A 否 若rB n1 1 n2 rA n1 n2 1 則這席應給B 36 PPT學習交流 當rB n1 1 n2 rA n1 n2 1 該席給A 該席給A 否則 該席給B 推廣到m方分配席位 該席給Q值最大的一方 Q值方法 37 PPT學習交流 三系用Q值方法重新分配21個席位 按人數比例的整數部分已將19席分配完畢 甲系 p1 103 n1 10乙系 p2 63 n2 6丙系 p3 34 n3 3 用Q值方法分配第20席和第21席 第20席 第21席 同上 Q3最大 第21席給丙系 甲系11席 乙系6席 丙系4席 Q值方法分配結果 公平嗎 Q1最大 第20席給甲系 38 PPT學習交流 進一步的討論 Q值方法比 比例加慣例 方法更公平嗎 席位分配的理想化準則 已知 m方人數分別為p1 p2 pm 記總人數為P p1 p2 pm 待分配的總席位為N 設理想情況下m方分配的席位分別為n1 n2 nm 自然應有n1 n2 nm N 記qi Npi P i 1 2 m ni應是N和p1 pm的函數 即ni ni N p1 pm 若qi均為整數 顯然應ni qi 39 PPT學習交流 qi Npi P不全為整數時 ni應滿足的準則 記 qi floor qi 向 qi方向取整 qi ceil qi 向 qi方向取整 1 qi ni qi i 1 2 m 2 ni N p1 pm ni N 1 p1 pm i 1 2 m 即ni必取 qi qi 之一 即當總席位增加時 ni不應減少 比例加慣例 方法滿足1 但不滿足2 Q值方法滿足2 但不滿足1 令人遺憾 40 PPT學習交流 問題 在一次使用中錄像帶已經轉過大半 計數器讀數為4450 問剩下的一段還能否錄下1小時的節目 要求 不僅回答問題 而且建立計數器讀數與錄像帶轉過時間的關系 思考 計數器讀數是均勻增長的嗎 2 2錄像機計數器的用途 經試驗 一盤標明180分鐘的錄像帶從頭走到尾 時間用了184分 計數器讀數從0000變到6061 41 PPT學習交流 錄像機計數器的工作原理 錄像帶運動 問題分析 觀察 計數器讀數增長越來越慢 42 PPT學習交流 模型假設 錄像帶的運動速度是常數v 計數器讀數n與右輪轉數m成正比 記m kn 錄像帶厚度 加兩圈間空隙 為常數w 空右輪盤半徑記作r 時間t 0時讀數n 0 建模目的 建立時間t與讀數n之間的關系 設v k w r為已知參數 43 PPT學習交流 模型建立 建立t與n的函數關系有多種方法 1 右輪盤轉第i圈的半徑為r wi m圈的總長度等于錄像帶在時間t內移動的長度vt 所以 44 PPT學習交流 2 考察右輪盤面積的變化 等于錄像帶厚度乘以轉過的長度 即 3 考察t到t dt錄像帶在右輪盤纏繞的長度 有 模型建立 45 PPT學習交流 思考 3種建模方法得到同一結果 但仔細推算會發現稍有差別 請解釋 模型中有待定參數 一種確定參數的辦法是測量或調查 請設計測量方法 思考 46 PPT學習交流 參數估計 另一種確定參數的方法 測試分析 將模型改記作 只需估計a b 理論上 已知t 184 n 6061 再有一組 t n 數據即可 實際上 由于測試有誤差 最好用足夠多的數據作擬合 現有一批測試數據 用最小二乘法可得 47 PPT學習交流 模型檢驗 應該另外測試一批數據檢驗模型 模型應用 回答提出的問題 由模型算得n 4450時t 116 4分 剩下的錄像帶能錄184 116 4 67 6分鐘的節目 揭示了 t與n之間呈二次函數關系 這一普遍規律 當錄像帶的狀態改變時 只需重新估計a b即可 48 PPT學習交流 問題 雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比 減少多少熱量損失 假設 熱量傳播只有傳導 沒有對流 T1 T2不變 熱傳導過程處于穩態 材料均勻 熱傳導系數為常數 建模 熱傳導定律 Q 單位時間單位面積傳導的熱量 T 溫差 d 材料厚度 k 熱傳導系數 2 3雙層玻璃窗的功效 49 PPT學習交流 Ta Tb 記雙層玻璃窗傳導的熱量Q1 Ta 內層玻璃的外側溫度 Tb 外層玻璃的內側溫度 建模 50 PPT學習交流 記單層玻璃窗傳導的熱量Q2 雙層與單層窗傳導的熱量之比 k1 4 10 3 8 10 3 k2 2 5 10 4 k1 k2 16 32 對Q1比Q2的減少量作最保守的估計 取k1 k2 16 建模 51 PPT學習交流 模型應用 取h l d 4 則Q1 Q2 0 03 即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比 可減少97 的熱量損失 結果分析 Q1 Q2所以如此小 是由于層間空氣極低的熱傳導系數k2 而這要求空氣非常干燥 不流通 房間通過天花板 墻壁 損失的熱量更多 雙層窗的功效不會如此之大 52 PPT學習交流 問題 甲有物品X 乙有物品Y 雙方為滿足更高的需要 商定相互交換一部分 研究實物交換方案 用x y分別表示甲 乙 占有X Y的數量 設交換前甲占有X的數量為x0 乙占有Y的數量為y0 作圖 若不考慮雙方對X Y的偏愛 則矩形內任一點p x y 都是一種交換方案 甲占有 x y 乙占有 x0 x y0 y 2 7實物交換 53 PPT學習交流 甲的無差別曲線 分析與建模 如果甲占有 x1 y1 與占有 x2 y2 具有同樣的滿意程度 即p1 p2對甲是無差別的 線上各點的滿意度相同 線的形狀反映對X Y的偏愛程度 比MN各點滿意度更高的點如p3 在另一條無差別曲線M1N1上 于是形成一族無差別曲線 無數條 54 PPT學習交流 無差別曲線族的性質 單調減 x增加 y減小 下凸 凸向原點 互不相交 在p1點占有x少 y多 寧愿以較多的 y換取較少的 x 在p2點占有y少 x多 就要以較多的 x換取較少的 y 甲的無差別曲線族記作 f x y c1 c1 滿意度 f 等滿意度曲線 55 PPT學習交流 乙的無差別曲線族g x y c2具有相同性質 形狀可以不同 雙方的交換路徑 乙的無差別曲線族g c2 坐標系x O y 且反向 甲的無差別曲線族f c1 雙方滿意的交換方案必在AB 交換路徑 上 因為在AB外的任一點p 雙方 滿意度低于AB上的點p 兩族曲線切點連線記作AB 56 PPT學習交流 p 交換方案的進一步確定 交換方案 交換后甲的占有量 x y 0 x x0 0 y y0矩形內任一點 交換路徑AB 等價交換原則 X Y用貨幣衡量其價值 設交換前x0 y0價值相同 則等價交換原則下交換路徑為 x0 0 0 y0 兩點的連線CD AB與CD的交點p 設X單價a Y單價b 則等價交換下ax by s s ax0 by0 57 PPT學習交流 第三章簡單的優化模型 3 2生豬的出售時機3 3森林救火3 4最優價格3 6消費者均衡 58 PPT學習交流 現實世界中普遍存在著優化問題 靜態優化問題指最優解是數 不是函數 建立靜態優化模型的關鍵之一是根據建模目的確定恰當的目標函數 求解靜態優化模型一般用微分法 靜態優化模型 59 PPT學習交流 3 2生豬的出售時機 飼養場每天投入4元資金 用于飼料 人力 設備 估計可使80千克重的生豬體重增加2公斤 問題 市場價格目前為每千克8元 但是預測每天會降低0 1元 問生豬應何時出售 如果估計和預測有誤差 對結果有何影響 分析 投入資金使生豬體重隨時間增加 出售單價隨時間減少 故存在最佳出售時機 使利潤最大 60 PPT學習交流 求t使Q t 最大 10天后出售 可多得利潤20元 建模及求解 生豬體重w 80 rt 出售價格p 8 gt 銷售收入R pw 資金投入C 4t 利潤Q R C pw C 估計r 2 若當前出售 利潤為80 8 640 元 t天出售 10 Q 10 660 640 g 0 1 61 PPT學習交流 敏感性分析 研究r g變化時對模型結果的影響 設g 0 1不變 t對r的 相對 敏感度 生豬每天體重增加量r增加1 出售時間推遲3 62 PPT學習交流 敏感性分析 研究r g變化時對模型結果的影響 設r 2不變 t對g的 相對 敏感度 生豬價格每天的降低量g增加1 出售時間提前3 63 PPT學習交流 強健性分析 保留生豬直到利潤的增值等于每天的費用時出售 由S t r 3 建議過一周后 t 7 重新估計 再作計算 研究r g不是常數時對模型結果的影響 w 80 rt w w t p 8 gt p p t 若 10 則 30 64 PPT學習交流 3 3森林救火 森林失火后 要確定派出消防隊員的數量 隊員多 森林損失小 救援費用大 隊員少 森林損失大 救援費用小 綜合考慮損失費和救援費 確定隊員數量 問題分析 問題 記隊員人數x 失火時刻t 0 開始救火時刻t1 滅火時刻t2 時刻t森林燒毀面積B t 損失費f1 x 是x的減函數 由燒毀面積B t2 決定 救援費f2 x 是x的增函數 由隊員人數和救火時間決定 存在恰當的x 使f1 x f2 x 之和最小 65 PPT學習交流 關鍵是對B t 作出合理的簡化假設 問題分析 失火時刻t 0 開始救火時刻t1 滅火時刻t2 畫出時刻t森林燒毀面積B t 的大致圖形 分析B t 比較困難 轉而討論森林燒毀速度dB dt 66 PPT學習交流 模型假設 3 f1 x 與B t2 成正比 系數c1 燒毀單位面積損失費 1 0 t t1 dB dt與t成正比 系數 火勢蔓延速度 2 t1 t t2 降為 x 為隊員的平均滅火速度 4 每個隊員的單位時間滅火費用c2 一次性費用c3 假設1 的解釋 火勢以失火點為中心 均勻向四周呈圓形蔓延 半徑r與t成正比 67 PPT學習交流 模型建立 目標函數 總費用 68 PPT學習交流 模型建立 目標函數 總費用 模型求解 求x使C x 最小 結果解釋 是火勢不繼續蔓延的最少隊員數 其中c1 c2 c3 t1 為已知參數 69 PPT學習交流 模型應用 c1 c2 c3已知 t1可估計 c2 x c1 t1 x c3 x 結果解釋 c1 燒毀單位面積損失費 c2 每個隊員單位時間滅火費 c3 每個隊員一次性費用 t1 開始救火時刻 火勢蔓延速度 每個隊員平均滅火速度 為什么 可設置一系列數值 由模型決定隊員數量x 70 PPT學習交流 3 4最優價格 問題 根據產品成本和市場需求 在產銷平衡條件下確定商品價格 使利潤最大 假設 1 產量等于銷量 記作x 2 收入與銷量x成正比 系數p即價格 3 支出與產量x成正比 系數q即成本 4 銷量x依賴于價格p x p 是減函數 建模與求解 收入 支出 利潤 進一步設 求p使U p 最大 71 PPT學習交流 使利潤U p 最大的最優價格p 滿足 最大利潤在邊際收入等于邊際支出時達到 建模與求解 72 PPT學習交流 結果解釋 q 2 成本的一半 b 價格上升1單位時銷量的下降幅度 需求對價格的敏感度 a 絕對需求 p很小時的需求 b p a p 思考 如何得到參數a b 73 PPT學習交流 3 6消費者均衡 問題 消費者對甲乙兩種商品的偏愛程度用無差別曲線族表示 問他如何分配一定數量的錢 購買這兩種商品 以達到最大的滿意度 設甲乙數量為q1 q2 消費者的無差別曲線族 單調減 下凸 不相交 記作U q1 q2 c U q1 q2 效用函數 已知甲乙價格p1 p2 有錢s 試分配s 購買甲乙數量q1 q2 使U q1 q2 最大 74 PPT學習交流 模型及求解 已知價格p1 p2 錢s 求q1 q2 或p1q1 p2q2 使U q1 q2 最大 幾何解釋 直線MN 最優解Q MN與l2切點 斜率 75 PPT學習交流 結果解釋 邊際效用 消費者均衡狀態在兩種商品的邊際效用之比恰等于它們價格之比時達到 效用函數U q1 q2 應滿足的條件 A U q1 q2 c所確定的函數q2 q2 q1 單調減 下凸 解釋B的實際意義 76 PPT學習交流 效用函數U q1 q2 幾種常用的形式 消費者均衡狀態下購買兩種商品費用之比與二者價格之比的平方根成正比 U q1 q2 中參數 分別表示消費者對甲乙兩種商品的偏愛程度 77 PPT學習交流 購買兩種商品費用之比與二者價格無關 U q1 q2 中參數 分別表示對甲乙的偏愛程度 思考 如何推廣到m 2 種商品的情況 效用函數U q1 q2 幾種常用的形式 78 PPT學習交流 第四章數學規劃模型 4 3汽車生產與原油采購4 5飲料廠的生產與檢修 79 PPT學習交流 數學規劃模型 實際問題中的優化模型 x 決策變量 f x 目標函數 gi x 0 約束條件 多元函數條件極值 決策變量個數n和約束條件個數m較大 最優解在可行域的邊界上取得 數學規劃 線性規劃非線性規劃整數規劃 重點在模型的建立和結果的分析 80 PPT學習交流 如果生產某一類型汽車 則至少要生產80輛 那么最優的生產計劃應作何改變 例1汽車廠生產計劃 汽車廠生產三種類型的汽車 已知各類型每輛車對鋼材 勞動時間的需求 利潤及工廠每月的現有量 制訂月生產計劃 使工廠的利潤最大 4 3汽車生產與原油采購 81 PPT學習交流 設每月生產小 中 大型汽車的數量分別為x1 x2 x3 汽車廠生產計劃 模型建立 線性規劃模型 LP 82 PPT學習交流 模型求解 3 模型中增加條件 x1 x2 x3均為整數 重新求解 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1 632 2581VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX164 5161290 000000X2167 7419280 000000X30 0000000 946237ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2 0 0000000 7311833 0 0000000 003226 結果為小數 怎么辦 1 舍去小數 取x1 64 x2 167 算出目標函數值z 629 與LP最優值632 2581相差不大 2 試探 如取x1 65 x2 167 x1 64 x2 168等 計算函數值z 通過比較可能得到更優的解 但必須檢驗它們是否滿足約束條件 為什么 83 PPT學習交流 IP可用LINDO直接求解 整數規劃 IntegerProgramming 簡記IP gin3 表示 前3個變量為整數 等價于 ginx1ginx2ginx3 IP的最優解x1 64 x2 168 x3 0 最優值z 632 max2x1 3x2 4x3st1 5x1 3x2 5x3 600280 x1 250 x2 400 x3 60000endgin3 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1 632 0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX164 000000 2 000000X2168 000000 3 000000X30 000000 4 000000 模型求解 IP結果輸出 84 PPT學習交流 其中3個子模型應去掉 然后逐一求解 比較目標函數值 再加上整數約束 得最優解 方法1 分解為8個LP子模型 汽車廠生產計劃 若生產某類汽車 則至少生產80輛 求生產計劃 x1 x2 x3 0或 80 x1 80 x2 150 x3 0 最優值z 610 85 PPT學習交流 LINDO中對0 1變量的限定 inty1inty2inty3 方法2 引入0 1變量 化為整數規劃 M為大的正數 可取1000 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1 610 0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX180 000000 2 000000X2150 000000 3 000000X30 000000 4 000000Y11 0000000 000000Y21 0000000 000000Y30 0000000 000000 若生產某類汽車 則至少生產80輛 求生產計劃 x1 0或 80 最優解同前 86 PPT學習交流 NLP雖然可用現成的數學軟件求解 如LINGO MATLAB 但是其結果常依賴于初值的選擇 方法3 化為非線性規劃 非線性規劃 Non LinearProgramming 簡記NLP 實踐表明 本例僅當初值非常接近上面方法算出的最優解時 才能得到正確的結果 若生產某類汽車 則至少生產80輛 求生產計劃 x1 0或 80 87 PPT學習交流 應如何安排原油的采購和加工 例2原油采購與加工 市場上可買到不超過1500噸的原油A 購買量不超過500噸時的單價為10000元 噸 購買量超過500噸但不超過1000噸時 超過500噸的部分8000元 噸 購買量超過1000噸時 超過1000噸的部分6000元 噸 88 PPT學習交流 決策變量 目標函數 問題分析 利潤 銷售汽油的收入 購買原油A的支出難點 原油A的購價與購買量的關系較復雜 原油A的購買量 原油A B生產汽油甲 乙的數量 c x 購買原油A的支出 利潤 千元 c x 如何表述 89 PPT學習交流 原油供應 約束條件 x 500噸單價為10千元 噸 500噸 x 1000噸 超過500噸的8千元 噸 1000噸 x 1500噸 超過1000噸的6千元 噸 目標函數 90 PPT學習交流 目標函數中c x 不是線性函數 是非線性規劃 對于用分段函數定義的c x 一般的非線性規劃軟件也難以輸入和求解 想辦法將模型化簡 用現成的軟件求解 汽油含原油A的比例限制 約束條件 91 PPT學習交流 x1 x2 x3 以價格10 8 6 千元 噸 采購A的噸數 目標函數 只有當以10千元 噸的價格購買x1 500 噸 時 才能以8千元 噸的價格購買x2 方法1 非線性規劃模型 可以用LINGO求解 模型求解 x x1 x2 x3 c x 10 x1 8x2 6x3 500噸 x 1000噸 超過500噸的8千元 噸 x x1 x2 x3 c x 10 x1 8x2 6x3 92 PPT學習交流 方法1 LINGO求解 Model Max 4 8 x11 4 8 x21 5 6 x12 5 6 x22 10 x1 8 x2 6 x3 x11 x120 2 x12 3 x22 0 x x1 x2 x3 x1 500 x2 0 x2 500 x3 0 x10 x11 0 x12 0 x21 0 x22 0 x1 0 x2 0 x3 0 end Objectivevalue 4800 000VariableValueReducedCostX11500 00000 0000000E 00X21500 00000 0000000E 00X120 0000000E 000 0000000E 00X220 0000000E 000 0000000E 00X10 1021405E 1310 00000X20 0000000E 008 000000X30 0000000E 006 000000X0 0000000E 000 0000000E 00 LINGO得到的是局部最優解 還能得到更好的解嗎 用庫存的500噸原油A 500噸原油B生產汽油甲 不購買新的原油A 利潤為4 800千元 93 PPT學習交流 y1 y2 y3 1 以價格10 8 6 千元 噸 采購A 增加約束 方法2 0 1線性規劃模型 可用LINDO求解 y1 y2 y3 0或1 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1 5000 000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTY11 0000000 000000Y21 0000002200 000000Y31 0000001200 000000X110 0000000 800000X210 0000000 800000X121500 0000000 000000X221000 0000000 000000X1500 0000000 000000X2500 0000000 000000X30 0000000 400000X1000 0000000 000000 購買1000噸原油A 與庫存的500噸原油A和1000噸原油B一起 生產汽油乙 利潤為5 000千元 x1 x2 x3 以價格10 8 6 千元 噸 采購A的噸數 優于方法1的結果 94 PPT學習交流 b1b2b3b4 方法3 b1 x b2 x z1b1 z2b2 z1 z2 1 z1 z2 0 c x z1c b1 z2c b2 b2 x b3 x z2b2 z3b3 z2 z3 1 z2 z3 0 c x z2c b2 z3c b3 b3 x b4 x z3b3 z4b4 z3 z4 1 z3 z4 0 c x z3c b3 z4c b4 直接處理處理分段線性函數c x 95 PPT學習交流 IP模型 LINDO求解 得到的結果與方法2相同 處理分段線性函數 方法3更具一般性 bk x bk 1 yk 1 否則 yk 0 方法3 bk x bk 1 x zkbk zk 1bk 1zk zk 1 1 zk zk 1 0 c x zkc bk zk 1c bk 1 對于k 1 2 3 96 PPT學習交流 4 5飲料廠的生產與檢修 單階段生產計劃 多階段生產計劃 生產批量問題 企業生產計劃 考慮與產量無關的固定費用 給優化模型求解帶來新的困難 97 PPT學習交流 安排生產計劃 滿足每周的需求 使4周總費用最小 存貯費 每周每千箱飲料0 2千元 例1飲料廠的生產與檢修計劃 在4周內安排一次設備檢修 占用當周15千箱生產能力 能使檢修后每周增產5千箱 檢修應排在哪一周 某種飲料4周的需求量 生產能力和成本 98 PPT學習交流 問題分析 除第4周外每周的生產能力超過每周的需求 生產成本逐周上升 前幾周應多生產一些 飲料廠在第1周開始時沒有庫存 從費用最小考慮 第4周末不能有庫存 周末有庫存時需支出一周的存貯費 每周末的庫存量等于下周初的庫存量 模型假設 99 PPT學習交流 目標函數 約束條件 產量 庫存與需求平衡 決策變量 能力限制 非負限制 模型建立 x1 x4 第1 4周的生產量 y1 y3 第1 3周末庫存量 存貯費 0 2 千元 周 千箱 100 PPT學習交流 模型求解 4周生產計劃的總費用為528 千元 最優解 x1 x4 15 40 25 20 y1 y3 0 15 5 LINDO求解 101 PPT學習交流 檢修計劃 0 1變量wt wt 1 檢修安排在第t周 t 1 2 3 4 在4周內安排一次設備檢修 占用當周15千箱生產能力 能使檢修后每周增產5千箱 檢修應排在哪一周 檢修安排在任一周均可 約束條件 能力限制 產量 庫存與需求平衡條件不變 102 PPT學習交流 增加約束條件 檢修1次 檢修計劃 目標函數不變 0 1變量wt wt 1 檢修安排在第t周 t 1 2 3 4 LINDO求解 總費用由528千元降為527千元 檢修所導致的生產能力提高的作用 需要更長的時間才能得到充分體現 最優解 w1 1 w2 w3 w4 0 x1 x4 15 45 15 25 y1 y3 0 20 0 103 PPT學習交流 例2飲料的生產批量問題 安排生產計劃 滿足每周的需求 使4周總費用最小 存貯費 每周每千箱飲料0 2千元 飲料廠使用同一條生產線輪流生產多種飲料 若某周開工生產某種飲料 需支出生產準備費8千元 某種飲料4周的需求量 生產能力和成本 104 PPT學習交流 混合0 1規劃模型 最優解 x1 x4 15 40 45 0 總費用 554 0 千元 生產批量問題的一般提法 將所給參數代入模型 用LINDO求解 105 PPT學習交流 第五章微分方程模型 5 1傳染病模型5 2經濟增長模型5 6人口預測和控制 106 PPT學習交流 動態模型 描述對象特征隨時間 空間 的演變過程 分析對象特征的變化規律 預報對象特征的未來性態 研究控制對象特征的手段 根據函數及其變化率之間的關系確定函數 微分方程建模 根據建模目的和問題分析作出簡化假設 按照內在規律或用類比法建立微分方程 107 PPT學習交流 5 1傳染病模型 問題 描述傳染病的傳播過程 分析受感染人數的變化規律 預報傳染病高潮到來的時刻 預防傳染病蔓延的手段 按照傳播過程的一般規律 用機理分析方法建立模型 108 PPT學習交流 已感染人數 病人 i t 每個病人每天有效接觸 足以使人致病 人數為 模型1 假設 若有效接觸的是病人 則不能使病人數增加 建模 109 PPT學習交流 模型2 區分已感染者 病人 和未感染者 健康人 假設 1 總人數N不變 病人和健康人的比例分別為 2 每個病人每天有效接觸人數為 且使接觸的健康人致病 建模 日接觸率 SI模型 110 PPT學習交流 模型2 tm 傳染病高潮到來時刻 日接觸率 tm 病人可以治愈 t tm di dt最大 111 PPT學習交流 模型3 傳染病無免疫性 病人治愈成為健康人 健康人可再次被感染 增加假設 SIS模型 3 病人每天治愈的比例為 日治愈率 建模 日接觸率 1 感染期 一個感染期內每個病人的有效接觸人數 稱為接觸數 112 PPT學習交流 模型3 接觸數 1 閾值 感染期內有效接觸感染的健康者人數不超過病人數 模型2 SI模型 如何看作模型3 SIS模型 的特例 113 PPT學習交流 模型4 傳染病有免疫性 病人治愈后即移出感染系統 稱移出者 SIR模型 假設 1 總人數N不變 病人 健康人和移出者的比例分別為 2 病人的日接觸率 日治愈率 接觸數 建模 需建立的兩個方程 114 PPT學習交流 模型4 SIR模型 115 PPT學習交流 模型4 SIR模型 相軌線的定義域 在D內作相軌線的圖形 進行分析 116 PPT學習交流 模型4 SIR模型 相軌線及其分析 s t 單調減 相軌線的方向 P1 s0 1 i t 先升后降至0 P2 s0 1 i t 單調降至0 1 閾值 117 PPT學習交流 模型4 SIR模型 預防傳染病蔓延的手段 日接觸率 衛生水平 日治愈率 醫療水平 傳染病不蔓延的條件 s0 1 的估計 降低s0 提高r0 提高閾值1 118 PPT學習交流 模型4 SIR模型 被傳染人數的估計 記被傳染人數比例 小 s0 1 提高閾值1 降低被傳染人數比例x s0 1 119 PPT學習交流 5 2經濟增長模型 增加生產發展經濟 增加投資 增加勞動力 提高技術 建立產值與資金 勞動力之間的關系 研究資金與勞動力的最佳分配 使投資效益最大 調節資金與勞動力的增長率 使經濟 生產率 增長 1 道格拉斯 Douglas 生產函數 產值Q t F為待定函數 資金K t 勞動力L t 技術f t f0 120 PPT學習交流 模型假設 靜態模型 每個勞動力的產值 每個勞動力的投資 z隨著y的增加而增長 但增長速度遞減 1 道格拉斯 Douglas 生產函數 含義 Douglas生產函數 121 PPT學習交流 QK 單位資金創造的產值 QL 單位勞動力創造的產值 資金在產值中的份額 1 勞動力在產值中的份額 更一般的道格拉斯 Douglas 生產函數 1 Douglas生產函數 122 PPT學習交流 w r K L 求資金與勞動力的分配比例K L 每個勞動力占有的資金 使效益S最大 資金和勞動力創造的效益 資金來自貸款 利率r 勞動力付工資w 2 資金與勞動力的最佳分配 靜態模型 123 PPT學習交流 3 經濟 生產率 增長的條件 動態模型 要使Q t 或Z t Q t L t 增長 K t L t 應滿足的條件 模型假設 投資增長率與產值成正比 用一定比例擴大再生產 勞動力相對增長率為常數 124 PPT學習交流 Bernoulli方程 125 PPT學習交流 產值Q t 增長 3 經濟增長的條件 126 PPT學習交流 勞動力增長率小于初始投資增長率 每個勞動力的產值Z t Q t L t 增長 3 經濟增長的條件 127 PPT學習交流 5 6人口預測和控制 年齡分布對于人口預測的重要性 只考慮自然出生與死亡 不計遷移 人口發展方程 128 PPT學習交流 人口發展方程 一階偏微分方程 129 PPT學習交流 人口發展方程 已知函數 人口調查 生育率 控制人口手段 130 PPT學習交流 生育率的分解 總和生育率 h 生育模式 131 PPT學習交流 人口發展方程和生育率 總和生育率 控制生育的多少 生育模式 控制生育的早晚和疏密 正反饋系統 滯后作用很大 132 PPT學習交流 人口指數 1 人口總數 2 平均年齡 3 平均壽命 t時刻出生的人 死亡率按 r t 計算的平均存活時間 4 老齡化指數 控制生育率 控制N t 不過大 控制 t 不過高 133 PPT學習交流 第六章穩定性模型 6 1捕魚業的持續收獲6 2軍備競賽6 4種群的相互依存 134 PPT學習交流 穩定性模型 對象仍是動態過程 而建模目的是研究時間充分長以后過程的變化趨勢 平衡狀態是否穩定 不求解微分方程 而是用微分方程穩定性理論研究平衡狀態的穩定性 135 PPT學習交流 6 1捕魚業的持續收獲 再生資源 漁業 林業等 與非再生資源 礦業等 再生資源應適度開發 在持續穩產前提下實現最大產量或最佳效益 問題及分析 在捕撈量穩定的條件下 如何控制捕撈使產量最大或效益最佳 如果使捕撈量等于自然增長量 漁場魚量將保持不變 則捕撈量穩定 背景 136 PPT學習交流 產量模型 假設 無捕撈時魚的自然增長服從Logistic規律 單位時間捕撈量與漁場魚量成正比 建模 捕撈情況下漁場魚量滿足 不需要求解x t 只需知道x t 穩定的條件 r 固有增長率 N 最大魚量 h x Ex E 捕撈強度 x t 漁場魚量 137 PPT學習交流 一階微分方程的平衡點及其穩定性 一階非線性 自治 方程 F x 0的根x0 微分方程的平衡點 不求x t 判斷x0穩定性的方法 直接法 1 的近似線性方程 138 PPT學習交流 產量模型 穩定性判斷 x0穩定 可得到穩定產量 x1穩定 漁場干枯 E 捕撈強度 r 固有增長率 139 PPT學習交流 產量模型 在捕撈量穩定的條件下 控制捕撈強度使產量最大 圖解法 P的橫坐標x0 平衡點 P的縱坐標h 產量 產量最大 控制漁場魚量為最大魚量的一半 140 PPT學習交流 效益模型 假設 魚銷售價格p 單位捕撈強度費用c 單位時間利潤 在捕撈量穩定的條件下 控制捕撈強度使效益最大 求E使R E 最大 漁場魚量 收入T ph x pEx 支出S cE 141 PPT學習交流 捕撈過度 封閉式捕撈追求利潤R E 最大 開放式捕撈只求利潤R E 0 R E 0時的捕撈強度 臨界強度 Es 2ER 臨界強度下的漁場魚量 捕撈過度 令 0 142 PPT學習交流 6 2軍備競賽 描述雙方 國家或國家集團 軍備競賽過程 解釋 預測 雙方軍備競賽的結局 假設 1 由于相互不信任 一方軍備越大 另一方軍備增加越快 2 由于經濟實力限制 一方軍備越大 對自己軍備增長的制約越大 3 由于相互敵視或領土爭端 每一方都存在增加軍備的潛力 進一步假設 1 2 的作用為線性 3 的作用為常數 目的 143 PPT學習交流 建模 軍備競賽的結局 x t 甲方軍備數量 y t 乙方軍備數量 本方經濟實力的制約 k l 對方軍備數量的刺激 g h 本方軍備競賽的潛力 144 PPT學習交流 記系數矩陣 特征方程 特征根 145 PPT學習交流 特征根 平衡點P0 0 0 微分方程一般解形式 1 2為負數或有負實部 p 0或q 0 146 PPT學習交流 平衡點 穩定性判斷 系數矩陣 平衡點 x0 y0 穩定的條件 模型 軍備競賽 147 PPT學習交流 模型的定性解釋 雙方軍備穩定 時間充分長后趨向有限值 的條件 雙方經濟制約大于雙方軍備刺激時 軍備競賽才會穩定 否則軍備將無限擴張 平衡點 2 若g h 0 則x0 y0 0 在 kl下x t y t 0 即友好鄰國通過裁軍可達到永久和平 模型 本方經濟實力的制約 k l 對方軍備數量的刺激 g h 本方軍備競賽的潛力 148 PPT學習交流 3 若g h不為零 即便雙方一時和解 使某時x t y t 很小 但因 也會重整軍備 4 即使某時一方 由于戰敗或協議 軍備大減 如x t 0 也會因使該方重整軍備 即存在互不信任 或固有爭端 的單方面裁軍不會持久 模型的定性解釋 本方經濟實力的制約 k l 對方軍備數量的刺激 g h 本方軍備競賽的潛力 模型 149 PPT學習交流 6 4種群的相互依存 甲乙兩種群的相互依存有三種形式 1 甲可以獨自生存 乙不能獨自生存 甲乙一起生存時相互提供食物 促進增長 2 甲乙均可以獨自生存 甲乙一起生存時相互提供食物 促進增長 3 甲乙均不能獨自生存 甲乙一起生存時相互提供食物 促進增長 150 PPT學習交流 模型假設 甲可以獨自生存 數量變化服從Logistic規律 甲乙一起生存時乙為甲提供食物 促進增長 乙不能獨自生存 甲乙一起生存時甲為乙提供食物 促進增長 乙的增長又受到本身的阻滯作用 服從Logistic規律 模型 乙為甲提供食物是甲消耗的 1倍 甲為乙提供食物是乙消耗的 2倍 151 PPT學習交流 種群依存模型的平衡點及穩定性 P2是甲乙相互依存而共生的平衡點 152 PPT學習交流 平衡點P2穩定性的相軌線 11 1 2 1