將簡單的方法練到極致就是絕招！課題線性規劃的常見題型及其解法答案線性規劃問題是高考的重點，而線性規劃問題具有代數和幾何的雙重形式，多與函數、平面向量、數列、三角、概率、解析幾何等問題交叉滲透，自然地融合在一起，使數學問題的解答變得更加新穎別致歸納起來常見的命題探究角度有：1求線性目標函數的最值2求非線性目標函數的最值3求線性規劃中的參數4線性規劃的實際應用 本節主要講解線性規劃的常見基礎類題型【母題一】已知變量x，y滿足約束條件則目標函數z2x3y的取值范圍為()A7，23 B8，23C7，8 D7，25 求這類目標函數的最值常將函數zaxby轉化為直線的斜截式：yx，通過求直線的截距的最值，間接求出z的最值【解析】畫出不等式組表示的平面區域如圖中陰影部分所示，由目標函數z2x3y得yx，平移直線yx知在點B處目標函數取到最小值，解方程組得所以B(2,1)，zmin22317，在點A處目標函數取到最大值，解方程組得所以A(4,5)，zmax243523【答案】A【母題二】變量x，y滿足(1)設z，求z的最小值；(2)設zx2y2，求z的取值范圍；(3)設zx2y26x4y13，求z的取值范圍 點(x，y)在不等式組表示的平面區域內，表示點(x，y)和連線的斜率；x2y2表示點(x，y)和原點距離的平方；x2y26x4y13(x3)2(y2)2表示點(x，y)和點(3,2)的距離的平方【解析】(1)由約束條件作出(x，y)的可行域如圖所示由解得A由解得C(1,1)由解得B(5,2)zz的值即是可行域中的點與連線的斜率，觀察圖形可知zmin(2)zx2y2的幾何意義是可行域上的點到原點O的距離的平方結合圖形可知，可行域上的點到原點的距離中，dmin|OC|，dmax|OB|2z29(3)zx2y26x4y13(x3)2(y2)2的幾何意義是：可行域上的點到點(3,2)的距離的平方結合圖形可知，可行域上的點到(3,2)的距離中，dmin1(3)4，dmax816z641求目標函數的最值的一般步驟為：一畫二移三求其關鍵是準確作出可行域，理解目標函數的意義2常見的目標函數有：(1)截距型：形如zaxby求這類目標函數的最值常將函數zaxby轉化為直線的斜截式：yx，通過求直線的截距的最值，間接求出z的最值(2)距離型：形一：如z，z，此類目標函數常轉化為點(x,y)與定點的距離；形二：z(xa)2(yb)2，zx2y2DxEyF，此類目標函數常轉化為點(x,y)與定點的距離的平方(3)斜率型：形如z，z，z，z，此類目標函數常轉化為點(x,y)與定點所在直線的斜率【提醒】注意轉化的等價性及幾何意義角度一：求線性目標函數的最值1(2014新課標全國卷)設x，y滿足約束條件則z2xy的最大值為()A10B8C3 D2【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示，由z2xy得y2xz，作出直線y2x，平移使之經過可行域，觀察可知，當直線經過點A(5,2)時，對應的z值最大故zmax2528 【答案】B2(2015高考天津卷)設變量x，y滿足約束條件則目標函數zx6y的最大值為()A3 B4C18 D40【解析】作出約束條件對應的平面區域如圖所示 ，當目標函數經過點(0,3)時，z取得最大值18【答案】C3(2013高考陜西卷)若點(x，y)位于曲線y|x|與y2所圍成的封閉區域，則2xy的最小值為()A6B2C0D2【解析】如圖，曲線y|x|與y2所圍成的封閉區域如圖中陰影部分，令z2xy，則y2xz，作直線y2x，在封閉區域內平行移動直線y2x，當經過點(2,2)時，z取得最小值，此時z2(2)26【答案】A角度二：求非線性目標的最值4(2013高考山東卷)在平面直角坐標系xOy中，M為不等式組所表示的區域上一動點，則直線OM斜率的最小值為()A2 B1C D【解析】已知的不等式組表示的平面區域如圖中陰影所示，顯然當點M與點A重合時直線OM的斜率最小，由直線方程x2y10和3xy80，解得A(3，1)，故OM斜率的最小值為【解析】C5已知實數x，y滿足則z的取值范圍 【解】由不等式組畫出可行域如圖中陰影部分所示，目標函數z2的取值范圍可轉化為點(x，y)與(1，1)所在直線的斜率加上2的取值范圍，由圖形知，A點坐標為(，1)，則點(1，1)與(，1)所在直線的斜率為22，點(0,0)與(1，1)所在直線的斜率為1，所以z的取值范圍為(，124，)【答案】(，124，)6(2015鄭州質檢)設實數x，y滿足不等式組則x2y2的取值范圍是()A1，2 B1，4C，2 D2，4【解析】如圖所示，不等式組表示的平面區域是ABC的內部(含邊界)，x2y2表示的是此區域內的點(x，y)到原點距離的平方從圖中可知最短距離為原點到直線BC的距離，其值為1；最遠的距離為AO，其值為2，故x2y2的取值范圍是1,4【答案】B7(2013高考北京卷)設D為不等式組所表示的平面區域，區域D上的點與點(1,0)之間的距離的最小值為_【解析】作出可行域，如圖中陰影部分所示，則根據圖形可知，點B(1,0)到直線2xy0的距離最小，d，故最小距離為【答案】8設不等式組所表示的平面區域是1，平面區域2與1關于直線3x4y90對稱對于1中的任意點A與2中的任意點B，|AB|的最小值等于()A B4C D2【解析】不等式組，所表示的平面區域如圖所示，解方程組，得點A(1,1)到直線3x4y90的距離d2，則|AB|的最小值為4【答案】B角度三：求線性規劃中的參數9若不等式組所表示的平面區域被直線ykx分為面積相等的兩部分，則k的值是()A BC D【解析】不等式組表示的平面區域如圖所示由于直線ykx過定點因此只有直線過AB中點時，直線ykx能平分平面區域因為A(1,1)，B(0,4)，所以AB中點D當ykx過點時，所以k【解析】A10(2014高考北京卷)若x，y滿足且zyx的最小值為4，則k的值為()A2 B2C D【解析】D作出線性約束條件的可行域當k0時，如圖所示，此時可行域為y軸上方、直線xy20的右上方、直線kxy20的右下方的區域，顯然此時zyx無最小值當k1時，zyx取得最小值2；當k1時，zyx取得最小值2，均不符合題意當1k0時，如圖所示，此時可行域為點A(2,0)，B，C(0,2)所圍成的三角形區域，當直線zyx經過點B時，有最小值，即4k【答案】D 11(2014高考安徽卷)x，y滿足約束條件若zyax取得最大值的最優解不唯一，則實數a的值為()A或1 B2或C2或1 D2或1【解析】法一：由題中條件畫出可行域如圖中陰影部分所示，可知A(0,2)，B(2,0)，C(2，2)，則zA2，zB2a，zC2a2，要使目標函數取得最大值的最優解不唯一，只要zAzBzC或zAzCzB或zBzCzA，解得a1或a2法二：目標函數zyax可化為yaxz，令l0：yax，平移l0，則當l0AB或l0AC時符合題意，故a1或a2【答案】D 12在約束條件下，當3s5時，目標函數z3x2y的最大值的取值范圍是()A6，15B7，15C6，8D7，8【解析】由得，則交點為B(4s,2s4)，y2x4與x軸的交點為A(2,0)，與y軸的交點為C(0,4)，xys與y軸的交點為C(0，s)作出當s3和s5時約束條件表示的平面區域，即可行域，如圖(1)(2)中陰影部分所示(1)(2)當3s4時，可行域是四邊形OABC及其內部，此時，7zmax8；當4s5時，可行域是OAC及其內部，此時，zmax8綜上所述，可得目標函數z3x2y的最大值的取值范圍是7，8【答案】D13(2015通化一模)設x，y滿足約束條件若z的最小值為，則a的值為_【解析】1，而表示過點(x，y)與(1，1)連線的斜率，易知a0，可作出可行域，由題意知的最小值是，即mina1【答案】1角度四：線性規劃的實際應用14A，B兩種規格的產品需要在甲、乙兩臺機器上各自加工一道工序才能成為成品已知A產品需要在甲機器上加工3小時，在乙機器上加工1小時；B產品需要在甲機器上加工1小時，在乙機器上加工3小時在一個工作日內，甲機器至多只能使用11小時，乙機器至多只能使用9小時A產品每件利潤300元，B產品每件利潤400元，則這兩臺機器在一個工作日內創造的最大利潤是_元【解析】設生產A產品x件，B產品y件，則x，y滿足約束條件生產利潤為z300x400y畫出可行域，如圖中陰影部分(包含邊界)內的整點，顯然z300x400y在點A處取得最大值，由方程組解得則zmax300340021 700故最大利潤是1 700元【答案】1 70015某玩具生產公司每天計劃生產衛兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個，生產一個衛兵需5分鐘，生產一個騎兵需7分鐘，生產一個傘兵需4分鐘，已知總生產時間不超過10小時若生產一個衛兵可獲利潤5元，生產一個騎兵可獲利潤6元，生產一個傘兵可獲利潤3元(1)試用每天生產的衛兵個數x與騎兵個數y表示每天的利潤w(元)；(2)怎樣分配生產任務才能使每天的利潤最大，最大利潤是多少？【解析】(1)依題意每天生產的傘兵個數為100xy，所以利潤w5x6y3(100xy)2x3y300(2)約束條件為整理得目標函數為w2x3y300作出可行域如圖所示：初始直線l0：2x3y0，平移初始直線經過點A時，w有最大值由得最優解為A(50,50)，所以wmax550元所以每天生產衛兵50個，騎兵50個，傘兵0個時利潤最大，最大利潤為550元一、選擇題1已知點(3，1)和點(4，6)在直線3x2ya0的兩側，則a的取值范圍為()A(24,7)B(7,24)C(，7)(24，) D(，24)(7，)【解析】根據題意知(92a)(1212a)0即(a7)(a24)0，解得7a24【答案】B2(2015臨沂檢測)若x，y滿足約束條件則zxy的最小值是()A3 B0C D3【解析】作出不等式組表示的可行域(如圖所示的ABC的邊界及內部)平移直線zxy，易知當直線zxy經過點C(0,3)時，目標函數zxy取得最小值，即zmin 3【答案】A3(2015泉州質檢)已知O為坐標原點，A(1,2)，點P的坐標(x，y)滿足約束條件則z的最大值為()A2 B1C1 D2【解析】如圖作可行域，zx2y，顯然在B(0,1)處zmax2【答案】D4已知實數x，y滿足：則z2x2y1的取值范圍是()A B0，5C D【解析】畫出不等式組所表示的區域，如圖陰影部分所示，作直線l：2x2y10，平移l可知221z222(1)1，即z的取值范圍是【答案】D5如果點(1，b)在兩條平行直線6x8y10和3x4y50之間，則b應取的整數值為()A2 B1C3D0【解析】由題意知(68b1)(34b5)0，即(b2)0，b2，b應取的整數為1【答案】B6(2014鄭州模擬)已知正三角形ABC的頂點A(1,1)，B(1,3)，頂點C在第一象限，若點(x，y)在ABC內部，則zxy的取值范圍是()A(1，2)B(0，2)C(1，2)D(0，1)【解析】如圖，根據題意得C(1，2)作直線xy0，并向左上或右下平移，過點B(1,3)和C(1，2)時，zxy取范圍的邊界值，即(1)2z0，b0)過點A(1,1)時取最大值，ab4，ab24，a0，b0，ab(0，4【答案】B10設動點P(x，y)在區域：上，過點P任作直線l，設直線l與區域的公共部分為線段AB，則以AB為直徑的圓的面積的最大值為()A B2C3 D4【解析】作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，則根據圖形可知，以AB為直徑的圓的面積的最大值S24【答案】D11(2015東北三校聯考)變量x，y滿足約束條件若使zaxy取得最大值的最優解有無窮多個，則實數a的取值集合是()A3,0 B3,1C0,1 D3,0,1【解析】作出不等式組所表示的平面區域，如圖所示易知直線zaxy與xy2或3xy14平行時取得最大值的最優解有無窮多個，即a1或a3，a1或a3【答案】B12(2014新課標全國卷)設x，y滿足約束條件且zxay的最小值為7，則a()A5 B3C5或3 D5或3【解析】法一：聯立方程解得代入xay7中，解得a3或5，當a5時，zxay的最大值是7；當a3時，zxay的最小值是7法二：先畫出可行域，然后根據圖形結合選項求解當a5時，作出不等式組表示的可行域，如圖(1)(陰影部分) 圖(1) 圖(2)由得交點A(3，2)，則目標函數zx5y過A點時取得最大值zmax35(2)7，不滿足題意，排除A，C選項當a3時，作出不等式組表示的可行域，如圖(2)(陰影部分)由得交點B(1,2)，則目標函數zx3y過B點時取得最小值zmin1327，滿足題意【答案】B13若a0，b0，且當時，恒有axby1，則由點P(a，b)所確定的平面區域的面積是()A BC1 D【解析】因為axby1恒成立，則當x0時，by1恒成立，可得y(b0)恒成立，所以0b1；同理0a1所以由點P(a，b)所確定的平面區域是一個邊長為1的正方形，面積為1【答案】C14(2013高考北京卷)設關于x，y的不等式組表示的平面區域內存在點P(x0，y0)，滿足x02y02求得m的取值范圍是()ABCD【解析】當m0時，若平面區域存在，則平面區域內的點在第二象限，平面區域內不可能存在點P(x0，y0)滿足x02y02，因此m0如圖所示的陰影部分為不等式組表示的平面區域要使可行域內包含yx1上的點，只需可行域邊界點(m，m)在直線yx1的下方即可，即mm1，解得m【答案】C15設不等式組表示的平面區域為D若指數函數yax的圖象上存在區域D上的點，則a的取值范圍是()A(1，3 B2，3C(1，2 D3，)【解析】平面區域D如圖所示要使指數函數yax的圖象上存在區域D上的點，所以1a3【解析】A16(2014高考福建卷)已知圓C：(xa)2(yb)21，平面區域：若圓心C，且圓C與x軸相切，則a2b2的最大值為()A5B29C37D49【解析】由已知得平面區域為MNP內部及邊界圓C與x軸相切，b1顯然當圓心C位于直線y1與xy70的交點(6,1)處時，amax6a2b2的最大值為621237【解析】C17在平面直角坐標系中，若不等式組表示一個三角形區域，則實數k的取值范圍是()A(，1) B(1，)C(1，1) D(，1)(1，)【解析】已知直線yk(x1)1過定點(1，1)，畫出不等式組表示的可行域示意圖，如圖所示當直線yk(x1)1位于yx和x1兩條虛線之間時，表示的是一個三角形區域所以直線yk(x1)1的斜率的范圍為(，1)，即實數k的取值范圍是(，1)當直線yk(x1)1與yx平行時不能形成三角形，不平行時，由題意可得k1時，也可形成三角形，綜上可知k1或k1【答案】D18(2016武邑中學期中)已知實數x，y滿足則z2xy的最大值為()A4 B6C8 D10【解析】區域如圖所示，目標函數z2xy在點A(3,2)處取得最大值，最大值為8【答案】C19(2016衡水中學期末)當變量x，y滿足約束條件時，zx3y的最大值為8，則實數m的值是()A4 B3C2 D1【解析】畫出可行域如圖所示，目標函數zx3y變形為y，當直線過點C時，z取到最大值，又C(m，m)，所以8m3m，解得m4【答案】A20(2016湖州質檢)已知O為坐標原點，A，B兩點的坐標均滿足不等式組則tanAOB的最大值等于()ABC D【解析】如圖陰影部分為不等式組表示的平面區域，觀察圖形可知當A為(1,2)，B為(2,1)時，tanAOB取得最大值，此時由于tan kBO，tan kAO2，故tanAOBtan ()【解析】C二、填空題21(2014高考安徽卷)不等式組 表示的平面區域的面積為_【解析】作出不等式組表示的平面區域如圖中陰影部分所示，可知SABC2(22)4【答案】422(2014高考浙江卷)若實數x，y滿足則xy的取值范圍是_【解析】作出可行域，如圖，作直線xy0，向右上平移，過點B時，xy取得最小值，過點A時取得最大值由B(1,0)，A(2,1)得(xy)min1，(xy)max3所以1xy3【答案】1,323(2015重慶一診)設變量x，y滿足約束條件則目標函數z3xy的最大值為_【解析】根據約束條件作出可行域，如圖中陰影部分所示，z3xy，y3xz，當該直線經過點A(2,2)時，z取得最大值，即zmax 3224【答案】424已知實數x，y滿足則wx2y24x4y8的最小值為_【解析】目標函數wx2y24x4y8(x2)2(y2)2，其幾何意義是點(2,2)與可行域內的點的距離的平方由實數x，y所滿足的不等式組作出可行域如圖中陰影部分所示，由圖可知，點(2,2)到直線xy10的距離為其到可行域內點的距離的最小值，又，所以wmin【答案】25在平面直角坐標系xOy中，M為不等式組所表示的區域上一動點，則|OM|的最小值是_【解析】如圖所示陰影部分為可行域，數形結合可知，原點O到直線xy20的垂線段長是|OM|的最小值，|OM|min【答案】26(2016漢中二模)某企業生產甲、乙兩種產品，已知生產每噸甲產品要用水3噸、煤2噸；生產每噸乙產品要用水1噸、煤3噸銷售每噸甲產品可獲得利潤5萬元，銷售每噸乙產品可獲得利潤3萬元，若該企業在一個生產周期內消耗水不超過13噸，煤不超過18噸，則該企業可獲得的最大利潤是_萬元【解析】設生產甲產品x噸，生產乙產品y噸，由題意知利潤z5x3y，作出可行域如圖中陰影部分所示，求出可行域邊界上各端點的坐標，經驗證知當x3，y4，即生產甲產品3噸，乙產品4噸時可獲得最大利潤27萬元【答案】2727某農戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設種植黃瓜和韭菜的產量、成本和售價如下表：年產量/畝年種植成本/畝每噸售價黃瓜4噸1.2萬元0.55萬元韭菜6噸0.9萬元0.3萬元為使一年的種植總利潤(總利潤總銷售收入總種植成本)最大，則黃瓜的種植面積應為_畝【解析】設黃瓜和韭菜的種植面積分別為x畝，y畝，總利潤為z萬元，則目標函數為z(0.554x1.2x)(0.36y0.9y)x0.9y線性約束條件為即畫出可行域，如圖所示作出直線l0：x09y0，向上平移至過點A時，z取得最大值，由解得A(30,20)【答案】3028(2015日照調研)若A為不等式組表示的平面區域，則當a從2連續變化到1時，動直線xya掃過A中的那部分區域的面積為_【解析】平面區域A如圖所示，所求面積為S222【答案】29(2014高考浙江卷)當實數x，y滿足時，1axy4恒成立，則實數a的取值范圍是_【解析】畫可行域如圖所示，設目標函數zaxy，即yaxz，要使1z4恒成立，則a0，數形結合知，滿足即可，解得1a所以a的取值范圍是1a【答案】30(2015石家莊二檢)已知動點P(x，y)在正六邊形的陰影部分(含邊界)內運動，如圖，正六邊形的邊長為2，若使目標函數zkxy(k0)取得最大值的最優解有無窮多個，則k的值為_【解析】由目標函數zkxy(k0)取得最大值的最優解有無窮多個，結合圖形分析可知，直線kxy0的傾斜角為120，于是有ktan 120，所以k【答案】31設m1，在約束條件下，目標函數zxmy的最大值小于2，則m的取值范圍 【解析】變換目標函數為yx，由于m1，所以10，不等式組表示的平面區域如圖中的陰影部分所示，根據目標函數的幾何意義，只有直線yx在y軸上的截距最大時，目標函數取得最大值顯然在點A處取得最大值，由ymx，xy1，得A，所以目標函數的最大值zmax2，所以m22m10，解得1m1，故m的取值范圍是(1,1)【答案】(1,1)32已知實數x，y滿足若目標函數zxy的最小值的取值范圍是2，1，則目標函數的最大值的取值范圍是_【解析】不等式組表示的可行域如圖中陰影部分