東湖中學 勾股定理的應用 考考你的記性 1 勾股定理的文字及符號語言2 在平面上如何求點與點 點與線的最短路徑 依據什么 1 兩點之間線段最短 2 垂線段最短3 那么如何求某些幾何體中的最短路徑呢 勾股定理的應用之 求解幾何體的最短路線長 例1如圖在一個底面周長為20cm 高AA 為4cm的圓柱石凳上 若小明在吃東西時留下了一點食物在B處 恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息 于是它想從A處爬向B處 你們想一想 螞蟻怎么走最近 問題情境 A 怎樣計算AB 在Rt AA B中 利用勾股定理可得 側面展開圖 其中AA 是圓柱體的高 A B是底面圓周長的一半 r 圓柱 錐 中的最值問題 有一圓形油罐底面圓的周長為24m 高為6m 一只老鼠從距底面1m的A處爬行到對角B處吃食物 它爬行的最短路線長為多少 A B 分析 由于老鼠是沿著圓柱的表面爬行的 故需把圓柱展開成平面圖形 根據兩點之間線段最短 可以發現A B分別在圓柱側面展開圖的寬1m處和長24m的中點處 即AB長為最短路線 如圖 正方體中的最值問題 例2 如圖 邊長為1的正方體中 一只螞蟻從頂點A出發沿著正方體的外表面爬到頂點B的最短距離是 A 3 B 5 C 2 D 1 分析 由于螞蟻是沿正方體的外表面爬行的 故需把正方體展開成平面圖形 如圖 C 如圖是一塊長 寬 高分別是6cm 4cm和3cm的長方體木塊一只螞蟻要從長方體木塊的一個頂點A處 沿著長方體的表面到長方體上和A相對的頂點B處吃食物 那么它需要爬行的最短路徑的長是 長方體中的最值問題 第一種情況 把我們所看到的前面和上面組成一個平面 則這個長方形的長和寬分別是9和4 則所走的最短線段是 第二種情況 把我們看到的左面與上面組成一個長方形 則這個長方形的長和寬分別是7和6 所以走的最短線段是 第三種情況 把我們所看到的前面和右面組成一個長方形 則這個長方形的長和寬分別是10和3 所以走的最短線段是 三種情況比較而言 第二種情況最短 答案 臺階中的最值問題 例1 如圖是一個三級臺階 它的每一級的長寬和高分別為20dm 3dm 2dm A和B是這個臺階兩個相對的端點 A點有一只螞蟻 想到B點去吃可口的食物 則螞蟻沿著臺階面爬到B點最短路程是多少 3 2 3 2 3 AB 25 例4 如圖 長方體的長為15cm 寬為10cm 高為20cm 點B離點C5cm 一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B 需要爬行的最短距離是多少 10 20 長方體中的最值問題 續 10 20 F E A E C B 20 15 10 5 找方法 巧歸納 分別畫出立體圖形和對應的平面展開圖制作實體模型歸納出所在直角三角形的兩直角邊的一般性規律 并記錄在平面圖或模型上 檢測題一 如圖 一只螞蟻沿邊長為a的正方體表面從頂點A爬到頂點B 則它走過的路程最短為 答案 檢測題二 如圖是一個棱長為4cm的正方體盒子 一只螞蟻在D1C1的中點M處 它到BB1的中點N的最短路線是 檢測題三 如圖所示 一圓柱高8cm 底面半徑2cm 一只螞蟻從點A沿表面爬到點B處吃食 要爬行的最短路程 取3 是 如圖 一只螞蟻從實心長方體的頂點A出發 沿長方體的表面爬到對角頂點C1處 三條棱長如圖所示 問怎樣走路線最短 最短路線長為多少 分析 根據題意分析螞蟻爬行的路線有三種情況 如圖 由勾股定理可求得圖1中AC1爬行的路線最短 檢測題四 小結 把幾何體適當展開成平面圖形 再利用 兩點之間線段最短 或點到直線 垂線段最短 等性質來解決問題 一 臺階中的最值問題 a b c b c b AB c 二 正方體中的最值問題 C 三