第四章 環境規劃與管理的數學基礎第一節 環境數據處理方法一、數據的表示方法1、列表法例：研究電阻的阻值與溫度的關系時，測試結果如下：測量序號溫度t/電阻R/1105104222941092342711324600118057501224691012672、圖示法n 圖示法的第一步就是按列表法的要求列出因變量y與自變量x相對應的yi與xi數據表格。n 作曲線圖時必須依據一定的法則，只有遵守這些法則，才能得到與實驗點位置偏差最小而光滑的曲線圖形。n 坐標紙的選擇-常用的坐標系為直角坐標系，包括笛卡爾坐標系（又稱普通直角坐標系）、半對數坐標系和對數坐標系。 半對數坐標系 半對數坐標的標度法 一個軸是分度均勻的普通坐標軸，另一個軸是分度不均勻的對數坐標軸。 右圖中的橫坐標軸（x軸）是對數坐標。在此軸上，某點與原點的實際距離為該點對應數的對數值，但是在該點標出的值是真數。為了說明作圖的原理，作一條平行于橫坐標軸的對數數值線。3、插值法計算數值 （1）作圖插值法例：用分光光度計法測定溶液中鐵的含量,測得標準曲線數據如下：Fe （g/mL） 2 4 6 8 10 12吸光度（A） 0.097 0.200 0.304 0.408 0.510 0.613測得未知液的吸光度為0.413，試求未知液中鐵的含量。在圖的縱坐標上0.413處找到直線上對應點，讀出其對應的橫坐標即為未知液中鐵的含量 8.122（2）比例法（3）牛頓內插公式一般的非線性函數都可以展開為多項式（二）數據特征n 數據特征是對環境總體狀況進行估計判斷的基礎，是認識數據理論特性的基本出發點，通常可分為以下三類：n 位置特征數:表示數據集中趨勢或刻畫頻數分布圖中心位置的特征數；n 離散特征數:用來描述數據分散程度；n 分布形態特征數:刻劃了根據所獲數據繪制的分布曲線圖的形態。1. 位置特征數（1）算術平均數：式中：x1, x2, , xn為樣本個體數據，n為樣本個數（2）加權平均數 如果樣本個體數據x1, x2, , xn取值因頻 數不同或對總體重要性有所差別，則常采取加權平均方法。式中：wi是個體數據出現頻數，或是因該個體對樣本貢獻不同而取的不同的數值。 （5）中位數n 環境數據有時顯得比較分散，甚至個別的數據離群偏遠，難以判斷去留，這時往往用到中位數。n 樣本數據依次排列（從大到小或者從小到大）居中間位置的數即為中位數，若數據個數為偶數，則中位數為正中兩個數的平均值。n 只有當數據的分布呈正態分布時，中位數才代表這組數據的中心趨向，近似于真值。 1. 位置特征數n 環境統計中常常用到幾何平均數。不同的平均值都有各自適用場合，選擇的平均數指標應能反映數據典型水平，并非隨意采用。幾何平均直徑： 2. 離散特征數3. 分布形態特征數二、異常數據的剔除n 在處理實驗數據的時候，我們常常會遇到個別數據偏離預期或大量統計數據結果的情況，如果我們把這些數據和正常數據放在一起進行統計，可能會影響實驗結果的正確性，如果把這些數據簡單地剔除，又可能忽略了重要的實驗信息。這里重要的問題是如何判斷異常數據，然后將其剔除。判斷和剔除異常數據是數據處理中的一項重要任務，目前的一些方法還不是十分完善，有待進一步研究和探索。n 目前人們對異常數據的判別與剔除主要采用物理判別法和統計判別法兩種方法。n 物理判別法就是根據人們對客觀事物已有的認識，判別由于外界干擾、人為誤差等原因造成實測數據偏離正常結果，在實驗過程中隨時判斷，隨時剔除。n 統計判別法是給定一個置信概率，并確定一個置信限，凡超過此限的誤差，就認為它不屬于隨機誤差范圍，將其視為異常數據剔除。n 剔除異常數據實質上是區別異常數據由偶然誤差還是系統誤差造成的問題。n 若是人為因素的偶然誤差就應剔除，如果沒有足夠的理由證實是偶然過失造成的時候，應對數據進行統計處理，采用一定的檢驗方法來決定取舍。 n 本節著重介紹統計判別法。1.拉依達準則 若可疑數據xp與樣本數據之算術平均值的偏差的絕對值大于3倍（2倍）的標準偏差，即：則應將xp從該組數據中剔除，至于選擇3s還是2s與顯著性水平有關，顯著性水平表示的是檢驗出錯的幾率為，或檢驗的可置信度為1。3s相當于顯著水平0.01，2s相當于顯著水平0.05。2. 格拉布斯準則用格拉布斯準則檢驗可疑數據xp時，選取一定的顯著性水平 ，若： 則應將xp從該組數據中剔除， 稱為格拉布斯檢驗臨界值，可查相關表格得到。 以上準則是以數據按正態分布為前提的，當偏離正態分布, 特別是測量次數很少時，則判斷的可靠性就差。因此，對粗大誤差除用剔除準則外，更重要的是要提高工作人員的技術水平和工作責任心。另外, 要保證測量條件穩定，防止因環境條件劇烈變化而產生的突變影響。 3.狄克遜（dixon）法n 狄克遜研究了n次測量結果，按其數值大小排列成如下次序：n 當 xi 服從正態分布時n 用不同的公式求得 f 值，再經過查表，得到相應的臨界值，進行比較,若計算值f(n，)視為異常值，舍棄；再對剩余數值進行檢驗，直到沒有異常值為止。狄克遜通過模擬實驗認為：n7，使用 f10 ；8n10，用 f11 ；11n13，用 f21 ；n14，用 f22 效果好。例題 n 用狄克遜法判斷下列測試數據(40.02，40.15， 40.20，40.13，40.16)中的40.02是否應舍棄？n 解：將數據排列，取 =0.05 n 40.02 40.13 40.15 40.16 40.20n ，0.6110.642n 所以40.02應保留。三、數據的誤差分析（一）幾種誤差的基本概念 例題: 滴定的體積誤差V絕對誤差相對誤差20.00 mL0.02 mL0.1%2.00 mL0.02 mL1.0%（二）誤差的來源及分類1. 隨機誤差 隨機誤差是在一定條件下以不可預知的規律變化著的誤差。這些偶然因素是操作者無法嚴格控制的，故無法完全避免隨機誤差。但它的出現一般具有統計規律，大多服從正態分布。2. 系統誤差 系統誤差是指由某個或某些不確定的因素所引起的誤差。當條件一旦確定，系統誤差就是一個客觀上的恒定值，它不能通過多次測量取平均值的方法來消除，只能根據儀器的性能、環境條件或個人偏差等進行校正，使之降低。3. 過失誤差 過失誤差是由于操作人員不仔細、操作不正確等原因引起的，它是可以完全避免的。 （三）誤差分析 n 誤差可能是由于隨機誤差或系統誤差單獨造成的，還可能是兩者的疊加。誤差分析中，常采用精密度、正確度和準確度來表示誤差的性質。 n 精密度反映了隨機誤差大小的程度，是指在相同條件下，對被測對象進行多次反復測量，測量值之間的一致(符合)程度。 n 正確度指測量值與其“真值”的接近程度。n 對于一組數據來說，精密度高并不意味著正確度也高；反之，精密度不好，但當測量次數相當多時，有時也會得到好的正確度。n 準確度指被測對象測量值之間的一致程度以及與其“真值”的接近程度。準確度、正確度和精密度的關系四、數據的標準化處理 n 在大批的環境統計數據中，當數據的物理量不同、單位或量值差別較大時，常常會給下一步分析帶來困難，這時就有必要對數據進行標準化處理，從而提高計算的精度。n 環境管理與規劃中，常采用下面的公式進行標準化處理：第二節 最優化分析方法 一、線性規劃 在環境規劃管理中，線性規劃常常用來解決兩類優化問題：一是如何優化資源配置使產值最大或利潤最高，二是如何統籌安排以便消耗最少的資源或排放最少的污染物。一般線性規劃問題的求解，最常用的算法是單純形法。 二、非線性規劃 在環境規劃與管理中，某些問題的決策模型可能會出現下面的情況：目標函數非線性，約束條件為線性；目標函數為線性，約束條件非線性；目標函數與約束條件均為非線性函數。上述情況均屬于非線性規劃問題，其數學模型的一般形式是： n 數值求解非線性規劃的算法大體分為兩類：n 一是采用逐步線性逼近的思想，通過一系列非線性函數線性化的過程，利用線性規劃獲得非線性規劃的近似最優解；n 二是采用直接搜索的思想，根據部分可行解或非線性函數在局部范圍內的某些特性，確定迭代程序，通過不斷改進目標值的搜索計算，獲得最優或滿足需要的局部最優解。三、動態規劃 n 在環境規劃管理中，經常遇到多階段最優化問題，即各個階段相互聯系，任一階段的決策選擇不僅取決于前一階段的決策結果，而且影響到下一階段活動的決策，從而影響到整個決策過程的優化問題。這類問題通常采用動態規劃方法求解。 n 基本原理為：作為多階段決策問題，其整個過程的最優策略應具有這樣的性質，即無論過去的狀態和決策如何，對前面的決策所形成的狀態而言，其后一系列決策必須構成最優決策。 n 可以把多階段決策問題分解成許多相互聯系的小問題，從而把一個大的決策過程分解成一系列前后有序的子決策過程，分階段實現決策的“最優化”，進而實現“總體最優化”方案。為使最后決策方案獲得最優決策效果，動態規劃求解可用下列遞推關系式表示： 第三節 常用決策分析方法 n 決策是指通過對解決問題備選方案的比較，從中選出最好的方案。n 決策貫穿于環境管理與規劃的各個方面，是管理與規劃的核心。決策技術n 技術經濟分析中的決策，是指對多方案進行評價與擇優，從而選定一個最滿意的方案。n 決策的分類n 按決策的條件n 確定型n 非確定型n 風險型n 按決策的對象n 宏觀n 微觀n 按決策在企業組織中的地位分類n 高層決策n 中層決策n 基層決策 決策樹法n 決策樹技術的含義n 是把方案的一系列因素按它們的相互關系用樹狀結構表示出來，再按一定程序進行優選和決策的技術方法。n 決策樹技術的優點n 便于有次序、有步驟、直觀而又周密地考慮問題；n 便于集體討論和決策；n 便于處理復雜問題的決策。決策樹圖形n 適用對象n 多階段決策、前一階段的決策影響后續階段的結構和決策的項目。n 方法n 用決策樹的形式列出決策問題的邏輯結構。n 從決策樹的末端向決策點倒退，計算出不同決策方案下的期望值，將未占優的方案去掉，直到得出初始的決策方案。運用決策樹技術的步驟（1）繪制決策樹圖；（2）預計可能事件（可能出現的自然狀態）及其發生的概率；（3）計算各策略方案的損益期望值；（4）比較各策略方案的損益期望值，進行擇優決策。 若決策目標是效益，應取期望值大的方案；若決策目標是費用或損失，應取期望值小的方案。決策樹例題（參考書目：環境管理學-楊賢智編著 ）有一石油化工企業，對一批廢油渣進行綜合利用。它可以先作實驗，然后決定是否綜合利用；也可以不作實驗，只憑經驗決定是否綜合利用。作實驗的費用每次為3000元，綜合利用費每次為10000元。若做出產品，可收入40000元；作不出產品，沒有收入。各種不同情況下的產品成功概率均已估計出來，都標在圖1上。試問欲使收益期期望值為最大，企業應如何作出決策。 根據圖中給出之數據求解。決策樹采用逆順序計算法。 1 計算事件點、的期望值400000.8500.1534000400000.1000.904000400000.5500.4522000原決策樹根據以上算出的期望值可簡化為（圖2a）：2.在決策點2、3、4作出決策2 按max（3400010000），024000，決定綜合利用。3 按max（400010000），00，決定不綜合利用。4 按max（2200010000），012000，決定綜合利用。決策樹繼續簡化為（圖2b）： 3.計算狀態點的期望值：240000.600.4144004.在決策1作出決策。5.最后得出整個問題的決策序列為：不作實驗、直接綜合利用，收入期望值為12000元。 二、決策矩陣 n 決策矩陣又稱為損益矩陣，它是利用損益的期望值進行決策，常用于有限條件下資源分配的最優化決策問題。 三、多目標決策方法 n 在環境管理與規劃問題中,同時存在著多個目標，每個目標都要求達到其最優值，并且各目標之間往往存在著沖突和矛盾，這類問題就是多目標決策問題。解決這類決策問題的方法就是多目標決策方法。 第四節 環境數學模型 一、數學模型概述 n 環境數學模型是應用數學語言和方法來描述環境污染過程中的物理、化學、生物化學、生物生態以及社會等方面的內在規律和相互關系的數學方程。n 它是建立在對環境系統進行反復的觀察研究，通過實驗或現場監測，取得大量的有關信息和數據，進而對所研究的系統行為動態、過程本質和變化規律有了較深刻認識的基礎上，經過簡化和數學演繹而得出的一些數學表達式，這些表達式描述了環境系統中各變量及其參數間的關系。一、數學模型概述n 環境數學模型主要應用于環境規劃與管理、環境影響評價和環境質量預測幾個方面，其類型主要包括大氣擴散模型、水文與水動力模型、水質模型、土壤侵蝕模型、沉積物遷移模型和物種棲息地模型等，每一類模型又可按模型的空間維數、時間相關性、數學方程特征等來進行分類 .二、模型建立建立數學模型的步驟(一)建模準備n 了解問題的實際背景，明確建模目的，搜集必需的各種信息，盡量弄清對象的特征。(二)模型假設n 根據對象的特征和建模目的，對問題進行必要的、合理的簡化，用精確的語言作出假設，是建模至關重要的一步，建模者能充分發揮想象力、洞察力和判斷力，善于辨別主次，而且為了使處理方法簡單，應盡量使問題線性化、均勻化。二、模型建立建立模型的方法1、圖解法n 采用點和線組成的用以描述系統的圖形稱為圖模型，可用于描述自然界和人類社會中大量事物和實物之間的關系。n 圖模型形象、直觀，對決策者了解系統結構和功能之間的關系很有幫助。但圖解建模法作為一種描述性方法，往往精確度較差，而且受人的視覺影響而局限于三維空間中，因此它通常作為建立系統方程式模型的輔助分析工具來用。 2、質量平衡法 n 根據質量平衡原則建立微分方程是最常用的建立白箱模型的方法。n 應用質量平衡方法必須知道物質流的方向和通量，污染物質反應的方式和速度，以及各種污染物之間的相關關系和關聯作用。n 環境數學模型中很多都是在質量平衡的基礎上建立的。值得注意的是，幾乎每一個利用質量平衡原則建立的模型中都包含了一個或多個待定參數，它們一般很難由過程的機理確定，且數值又隨時間、空間變化，因此需要借助于大量的觀測數據最終確定參數。3、概率統計法n 回歸分析法建立在對客觀事物進行大量試驗和觀察的基礎上，是一種用來尋找隱藏在某些現象中的規律性的數理統計方法。 n 回歸分析法就是通過分析因素之間的因果關系和影響程度進行預測，用過去和現在的環境監測數據確定函數關系式，按最小二乘法原則確定函數式中的參數值，進而建立回歸預測模型，用于預測環境要素特征發展變化的規律。3、概率統計法n 根據變量之間函數形式的不同，回歸分析分為線形回歸和非線性回歸；根據自變量個數的多少，可分為一元回歸和多元回歸。n 根據數據處理方法的不同，時間序列預測方法主要分為移動平均法、加權滑動平均法和指數平均法。 三、模型參數的估值方法 由于環境系統中的模型基本上都是灰箱模型，其中至少存在著一個待定參數，因此參數的估計是建立環境數學模型非常重要的一項工作。下面介紹幾種主要的估值方法。（一）圖解法 凡是給定的公式或數據可以直接描述成一條直線，或經過一定處理后可以轉化為直線時，常常采用圖解法估計參數。作圖時，將自變量x和因變量y標注在直角坐標系中，確定每一個數據點位，把所有的點位連接起來，形成一條直線，其數學表達式為： Y=b + ax （4-21）式中：a是直線的斜率，b是直線在y軸上的截距。 （二）經驗公式法 根據長時期的實際經驗，人們提出了許多經驗公式來估計數學模型中的相關參數。應注意的是，使用經驗公式要求該系統條件與建立經驗公式的條件一致或相近，否則就會出現很大偏差。（三）線性回歸法 此法適用于自變量xi(i=1,2,n)與因變量y呈一次線性關系的情況。線性回歸分析有兩個基本假設：一是所有的自變量的值xij(j=1,2,m)均不存在誤差，因變量的值含有測量誤差；二是與各測量值擬合得最好的線性方程：y=a1x1+a2x2+aixi+anxn+b是能使各點到直線的豎向偏差的平方和 最小的直線。根據極值存在的條件，分別對Z做ai、b的一階偏導，使：由此可以求得偏差平方