第五章 勢流理論5-1流速為u0=10m/s沿正向的均勻流與位于原點的點渦疊加。已知駐點位于(0，-5)，試求：(1)點渦的強度；(2) (0,5)點的流速以及通過駐點的流線方程。答：（1）求點渦的強度：設點渦的強度為，則均勻流的速度勢和流函數分別為：，；點渦的速度勢和流函數為：，；因此，流動的速度勢和流函數為：，；則速度分布為：，；由于為駐點，代入上式第一式中則得到：，整理得到：。（2）求點的速度：將代入到速度分布中，得到：，；將、代入上述速度分布函數，得到：（m/s），（m/s）；（3）求通過點的流線方程：由流函數的性質可知，流函數為常數時表示流線方程，則流線方程為：；將、代入，得到：；則過該點的流線方程為：，整理得到：5-2 平面勢流由點源和點匯疊加而成，點源位于（-1，0），其流量為1=20m3/s，點匯位于（2,0）點，其流量為2=40m3/s，已知流體密度為=1.8kg/m3，流場中（0，0）點的壓力為0，試求點（0,1）和（1,1）的流速和壓力。答：（1）求、和點的速度：點源的速度勢為：，點匯的速度勢為：；，；將、代入，并注意到及，得到點的速度為：，；其合速度為：（m/s）。將、代入，得到點的速度為：，；其合速度為：（m/s）。將、代入，得到點的速度為：，；其合速度為：（m/s）。（2）設、和點的壓力分別為、和，且由題意知，則由伯努利方程：，因此可得：（N/m2），（N/m2）。5-3 直徑為2m的圓柱體在水下深度為H=10m以水平速度 u0=10m/s運動。試求（1）A、B、C、D四點的絕對壓力；（2）若圓柱體運動的同時還繞本身軸線以角速度60r/min轉動，試決定駐點的位置以及B、D兩點的速度和壓力。此時若水深增至100m，求產生空泡時的速度（注：溫度為15時，水的飽和蒸汽壓力為2.332103N/m2）。答：（1）求A、B、C、D四點的絕對壓力：設A、B、C、D四點的絕對壓力分別為、和，相對壓力分別為、和；并注意到其壓力系數分別為1、-3、1和-3，則： A點的絕對壓力：（2）求駐點位置和B、D點的速度和壓力：圓柱半徑（m），旋轉角速度（rad/s）；因此漩渦強度為：；柱面上處，速度分布為：，； 在駐點（A、C點），即：將、和代入上式，得到：，則：，； 在B點，則速度為：（m/s）；壓力系數為：；相對壓力為：（N/m2）；其中B點靜水壓力為：（N/m2），則B點處絕對壓力為：（N/m2）； 在D點，則速度為：（m/s）；壓力系數為：；相對壓力為：（N/m2）；其中D點靜水壓力為：（N/m2），則D點處絕對壓力為：（N/m2）；（3） 由于B點的壓力系數最低，首先在B點發生空泡；當水深增至100m時，B點的靜水壓力為：（N/m2），壓力系數為：；絕對壓力為：B點發生空泡的臨界值為，且由給定條件知（N/m2）；代入上式得到：，將上式整理得到關于的一元二次方程：其中系數：，；解得：（m/s）。即當（m/s）時將發生空泡。5-4寫出下列流動的復勢，（1）u=U0cosa，v=U0sina；（2）強度為m，位于（a，0）點的平面點源；（3）強度為位于原點的點渦；（4）強度為M，方向為a，位于原點的平面偶極。答：（1），：，；（2）強度為，位于點的平面點源：，；以點為原點，建立新的坐標系；在新坐標系中：，；由于新舊坐標系之間的關系為：，；，；因此：；（3）強度為，位于原點的點渦：，；（4）強度為，方向為，位于原點的平面偶極：以原點為圓心，將坐標系逆時針旋轉角，得到新坐標系；在新坐標系中，速度勢和流函數分別為：，；由于新舊坐標系間的關系為：，；代入到上式可得：；5-5 設在點放置一強度為的平面點源，是一固壁面，試求：（1）固壁上流體的速度分布及速度達到最大值的位置；（2）固壁上的壓力分布，設無窮遠處壓力為；(3)若，其中為時間變量，求壁面上的壓力分布。答：（1）用位于和，強度均為的兩個點源，可以構造位于的壁面，其速度勢為：，；速度分布為：，；在壁面上，則壁面上速度分布為：，；由于：；令上式為0，則得到：，；即在點和，速度達到最大值，且為：；（2）當時，由伯努利方程得到：，；將壁面上的壓力分布沿整個壁面進行積分，得到流體作用于壁面的作用力：即沿壁面的作用力為。（3）當時，速度勢為：，；速度分布為：，；在壁面上，則壁面上速度分布為：，；由于：；令上式為0，則得到：，；即在點和，速度達到最大值，且為：；（2）當時，由伯努利方程得到：，；5-6 已知復勢為，求（1）流場的速度分布及繞圓周的環量；（2）驗證有一條流線與的圓柱表面重合，并用卜拉休斯公式求圓柱體的作用力。答：（1）求速度分布及繞圓周的環量： 求速度分布：由復勢的定義可知：；因此：，； 求環量：該流動由三個簡單流動組成：第一個：為沿方向的均勻流，；第二個：是位于原點的偶極，設其強度為，則，；第三個：是位于原點的點渦，設其強度為，則，。因此繞的環量為。（2）將復勢改寫成下述形式：則流函數為：當時，代入上式可得：（常數）說明確是一條流線。由卜拉休斯公式可知，作用在柱面上的共軛合力為：；其中：，；由留數定理可知，上式中僅第二項對積分有貢獻，因此：，得到：；由于：，得到：水平分力：，垂向分力（升力）：。5-7 如習題5-3圖所示，設直徑為m的圓柱體在水下深度為m的水平面上以速度m/s作勻速直線運動，（1）試寫出流動的絕對速度勢、牽連速度勢、相對速度勢及對應的單位速度勢；（2）求出圓柱體表面上A、B、C、D及=45、135六點的絕對速度。答：（1）設圓柱半徑為，則得到：單位相對速度勢：，相對速度勢：，牽連速度勢：，絕對速度勢：，單位絕對速度勢：。（2）由絕對速度勢可得速度分布為：，；在柱面上，代入上式，得到柱面上的速度分布為：，；A點，：，；B點，：，；C點，：，；D點，：，；：，；：，。5-8 若一半經為r0的圓球在靜水中速度從0加速至u0，試求需對其作多少功？答：當圓球加速至時，其總動能為：；其中：為圓球的質量，為水的附加質量，為圓球的密度，為水的密度。做功等于動能：。5-9 無限深液體中，有一長為L半徑為R的垂直圓柱體，設其軸心被長度為的繩子所系住。它一方面以角速度在水平面內繞繩子固定端公轉，另一方面又以另一角速度繞自身軸線自轉。已知圓柱體重量為G，液體密度為，并假定，試求繩子所受的張力。答：設繩子的張力為，則圓柱體公轉向心力為：；其中：為圓柱體自轉所產生的升力，且等于：；其中：為公轉線速度，為自轉的速度環量，且等于：其中：為自轉線速度，為柱體表面微元弧長；因此升力為：；為總質量：；其中：為柱體質量，為柱體密度；為水的附加質量，為水的密度；因此張力為：。5-10 設有一半徑為R的二元圓柱體在液體中以水平分速度u=u0t（m/s