0 3矢量場的旋度斯托克斯定理RotationofVectorField Stoke sTheorem 1 1 矢量場的環(huán)流 TheCircumfluenceofVector sField 在數(shù)學上 將矢量場沿一條有向閉合曲線L 即取定了正線方向的閉合曲線 的線積分稱為沿該曲線L的循環(huán)量或流量 2 旋度 Rotation 設想將閉合曲線縮小到其內某一點附近 那么 2 以閉合曲線L為界的面積逐漸縮小 也將逐漸減小 一般說來 這兩者的比值有一極限值 記作即單位面積平均環(huán)流的極限 它與閉合曲線的形狀無關 但顯然依賴于以閉合曲線為界的面積法線方向 且通常L的正方向與規(guī)定要構成右手螺旋法則 為此定義 3 稱為矢量場的旋度 rot是rotation縮寫 旋度的重要性在于 可用以表征矢量在某點附近各方向上環(huán)流強弱的程度 如果場中處處rot稱為無旋場 3 斯托克斯定理 Stoke sTheorem 它能把對任意閉合曲線邊界的線積分轉換為該閉合曲線為界的任意曲面的面積分 反之亦然 4 0 4正交曲線坐標系中運算的表達式ExpressionofOperationonOrthogonalCurvilinearCoordinatesFrame 5 1 度量系數(shù) MeasurementCoefficents 設x y z是某點的笛卡兒坐標 x1 x2 x3是這點的正交曲線坐標 長度元的平方表示為其中 6 稱度量系數(shù) 或拉梅系數(shù) 正交坐標系完全由三個拉梅系數(shù)h1 h2 h3來描述 2 哈密頓算符 梯度 散度 旋度及拉普拉斯算符在正交曲線坐標系下的一般表達式 TheGeneralExpressionofHamiltonOperator Gradient Divergence RotationandLaplaceOperatorinOrthogonalCurvilinearCoordinates 7 8 9 其中為正交曲線坐標系的基矢 是一個標量函數(shù) 是一個矢量函數(shù) 只有在笛卡兒坐標系中 在其它正交坐標系中 10 3 不同坐標系中的微分表達式 DifferenceExpressioninDifferentCoordinates a 笛卡兒坐標x1 x x2 y x3 zh1 1 h2 1 h3 1 11 12 b 圓柱坐標系坐標變量 x1 rx2 x3 z與笛卡兒坐標的關系 x rcos y rsin z z拉梅系數(shù) h1 1h2 rh3 1 13 14 將應用于圓柱坐標可得 15 c 球坐標系 z 16 坐標變量 與笛卡兒坐標的關系 拉梅系數(shù) 17 18 其中 19 20 0 5二階微分算符格林定理Second orderDifferenceOperator Green sTheorem 21 1 一階微分運算 First orderDifferenceCalculation 將算符直接作用于標量場和矢量場 即分別得到梯度 散度和旋度 即這些都叫一階微分運算 舉例 a 設為源點與場之間的距離 r的方向規(guī)定為源點指向場點 試分別對場點和源點求r的梯度 22 第一步 源點固定 r是場點的函數(shù) 對場點求梯度用r表示 則有而 23 同理可得 故得到 24 第二步 場點固定 r是源點的函數(shù) 對源點求梯度用表示 而同理可得 25 所以得到 作業(yè) b 設u是空間坐標x y z的函數(shù) 證明 26 證 這是求復合函數(shù)的導數(shù) 梯度 按復合函數(shù)微分法則 有 27 c 設求解 而同理可得 28 那么這里同理可得故有 29 由此可見 d 設u是空間坐標x y z的函數(shù) 證明證 30 e 設u是空間坐標x y z的函數(shù) 證明證 31 2 二階微分運算 CalculationofTwo orderDifference 將算符作用于梯度 散度和旋度 則稱為二階微分運算 設為標量場 為矢量場 32 并假設的分量具有所需要的階的連續(xù)微商 則不難得到 1 標量場的梯度必為無旋場 2 矢量場的旋度必為無散場 3 無旋場可表示一個標量場的梯度 4 無散場可表示一個矢量場的旋度 33 5 標量場的梯度的散度為 6 矢量場的旋度的旋度為3 運算于乘積 CalculationofMultiplicationwith 1 34 35 2 36 3 37 4 5 38 6 根據常矢運算法則則有 39 故有 7 根據常矢運算法則 則有 40 8 因為故有從而得到 41 4 格林定理 Green stheorem 由Gauss stheorem得到 將上式交換位置 得到以上兩式相減 得到 42