專題突破練15專題四數列過關檢測一、選擇題1.(2019福建龍巖高三5月月考)在等差數列an中,a1+a5+a7+a9+a13=100,a6-a2=12,則a1=()A.1B.2C.3D.42.(2019甘、青、寧高三5月聯考)已知等比數列an滿足a1=4,a1a2a3=a4a50,則q=()A.2B.32C.42D.23.已知等差數列an的公差為2,若a2,a4,a8成等比數列,則an的前n項和Sn=()A.n(n+1)B.n(n-1)C.n(n+1)2D.n(n-1)24.(2019黑龍江雙鴨山第一中學高一下學期期中考試)在數列an中,a1=13,an=(-1)n2an-1(n2),則a3等于()A.-163B.163C.-43D.835.(2019安徽江淮十校高三年級5月考前最后一卷)已知等差數列an的前n項和為Sn,且S8S100的正整數n的最大值為()A.16B.17C.18D.196.設等差數列an的前n項和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m=()A.3B.4C.5D.67.(2019甘肅蘭州高考數學一診)朱世杰是元代著名數學家,他所著算學啟蒙是一部在中國乃至世界最早的科學普及著作.算學啟蒙中提到一些堆垛問題,如“三角垛果子”,就是將一樣大小的果子堆垛成正三棱錐,每層皆堆成正三角形,從上向下數,每層果子數分別為1,3,6,10,.現有一個“三角垛果子”,其最底層每邊果子數為10,則該層果子數為()A.50B.55C.100D.1108.設等差數列an滿足3a8=5a15,且a10,Sn為其前n項和,則數列Sn的最大項為()A.S23B.S24C.S25D.S269.(2019北京通州區三模)三國時期著名的數學家劉徽對推導特殊數列的求和公式很感興趣,創造并發展了許多算法,展現了其聰明才智.他在九章算術“盈不足”一章的第19題的注文中給出了一個特殊數列的求和公式.這個題的大意是:一匹良馬和一匹駑馬由長安出發至齊地,長安與齊地相距3 000里(1里=500米),良馬第一天走193里,以后每天比前一天多走13里.駑馬第一天走97里,以后每天比前一天少走半里.良馬先到齊地后,馬上返回長安迎駑馬,問兩匹馬在第幾天相遇()A.14天B.15天C.16天D.17天二、填空題10.已知數列an的前n項和為Sn,若Sn=2an-2n,則Sn=.11.(2019北京通州區三模)設an是等比數列,且a2a4=a5,a4=27,則an的通項公式為.12.(2019福建龍巖高三5月月考)若數列an滿足a1=1,an+1-an-1=2n,則an=.三、解答題13.已知數列log2(an-1)(nN*)為等差數列,且a1=3,a3=9.(1)求數列an的通項公式;(2)證明:1a2-a1+1a3-a2+1an+1-an0,可得q4=4,q=2.故選A.3.A解析a2,a4,a8成等比數列,a42=a2a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),解得a1=2.Sn=na1+n(n-1)2d=2n+n2-n=n2+n=n(n+1).故選A.4.C解析由題意知,數列an中,a1=13,an=(-1)n2an-1(n2),令n=2,則a2=(-1)22a1=213=23;令n=3,則a3=(-1)32a2=-223=-43.故選C.5.C解析由S8S100,a100,所以公差大于零.又S17=17(a1+a17)2=17a90,S19=19(a1+a19)2=19a100.故選C.6.C解析Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,am=Sm-Sm-1=0-(-2)=2,am+1=Sm+1-Sm=3-0=3.d=am+1-am=3-2=1.Sm=ma1+m(m-1)21=0,a1=-m-12.又am+1=a1+m1=3,-m-12+m=3.m=5.故選C.7.B解析由題意可得每層果子數分別為1,3,6,10,即為1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,其最底層每邊果子數為10,即有該層的果子數為1+2+3+10=121011=55.故選B.8.C解析設等差數列an的公差為d,3a8=5a15,3(a1+7d)=5(a1+14d),即2a1+49d=0.a10,d0,等差數列an單調遞減.Sn=na1+n(n-1)2d=n-49d2+n(n-1)2d=d2(n-25)2-6252d.當n=25時,數列Sn取得最大值,故選C.9.C解析記良馬每天所走路程構成的數列為an,駑馬每天所走路程構成的數列為bn,由題意可得:an=193+13(n-1)=180+13n,bn=97-12(n-1)=-12n+1952,設經過n天兩匹馬相遇,則有n(a1+an)2+n(b1+bn)26000,即n(193+180+13n)2+n(97+1952-n2)26000,整理得5n2+227n4800,當n16時滿足題意,因此兩匹馬在第16天相遇.故選C.10.n2n解析Sn=2an-2n=2(Sn-Sn-1)-2n,整理得Sn-2Sn-1=2n,等式兩邊同時除以2n,則Sn2n-Sn-12n-1=1.又S1=2a1-2=a1,可得a1=S1=2,數列Sn2n是首項為1,公差為1的等差數列,所以Sn2n=n.所以Sn=n2n.11.an=3n-1,nN*解析設等比數列an的公比為q,因為a2a4=a5,a4=27,所以a4=a2q2=a5a4q2=q3=27,解得q=3,所以a1=a4q3=2727=1,因此,an=3n-1,nN*.故答案為an=3n-1,nN*.12.2n+n-2解析由an+1-an=2n+1,得a2-a1=21+1,a3-a2=22+1,an-an-1=2n-1+1,相加得an-a1=2(1-2n-1)1-2+n-1,故an=2n+n-2.13.(1)解設等差數列log2(an-1)的公差為d.由a1=3,a3=9,得log22+2d=log28,即d=1.log2(an-1)=1+(n-1)1=n,即an=2n+1.(2)證明1an+1-an=12n+1-2n=12n,1a2-a1+1a3-a2+1an+1-an=121+122+123+12n=12-12n121-12=1-12n1.14.解(1)設等差數列an的首項為a1,公差為d.由題意得a2=a1+d=4,a6=a1+5d=16,解得a1=1,d=3,故等差數列an的通項公式an=1+3(n-1)=3n-2.(2)設等比數列bn的公比為q.由題意得b3=b1q2=4,b5=b1q4=16,解得b1=1,q2=4,b2n-1=b1q2n-2=b1(q2)n-1=4n-1,b1+b3+b5+b2n-1=1-4n1-4=4n-13.15.(1)證明由題意得:(2an)2=(an+12+3)1,即an+12=4an2-3.an+12-1=4an2-3-1=4an2-4=4(an2-1).bn=an2-1,bn+1=4bn.數列bn成等比數列,首項為b1=a12-1=8,公比為4.bn=b14n-1=822n-2=22n+1.an2-1=22n+1.又an為正項數列,an=22n+1+1.(2)解由(1)得:cn