蘇州市2018屆高三調研測試 數學試題 20181注 意 事 項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1. 本試卷共4頁，包含填空題（第1題 - 第14題）、解答題（第15題 - 第20題）本卷滿分160分，考試時間為120分鐘考試結束后，請將答題卡交回2. 答題前，請您務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的規定位置3. 請在答題卡上按照順序在對應的答題區域內作答，在其他位置作答一律無效作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆請注意字體工整，筆跡清楚4. 如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗5. 請保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損一律不準使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆參考公式：球的表面積公式S=4r2，其中r為球的半徑一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分不需要寫出解答過程，請把答案直接填在答題卡相應位置上1已知i為虛數單位，復數的模為 2已知集合，且，則正整數 3在平面直角坐標系xOy中，拋物線的焦點坐標為 4蘇州軌道交通1號線每5分鐘一班，其中，列車在車站停留0.5分鐘，假設乘客到達站臺的時刻是隨機的，則該乘客到達站臺立即能乘上車的概率為 5已知，則正實數 v1，in1vvx+iii1輸出vNY開始結束輸入n,xi0（第6題圖）6秦九韶是我國南宋時期的數學家，他在所著的數書九章中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法右邊的流程圖是秦九韶算法的一個實例若輸入n，x的值分別為3，3，則輸出v的值為 7已知變量x，y滿足則的最大值為 8已知等比數列的前n項和為，且，則的值為 9魯班鎖是中國傳統的智力玩具，起源于中國古代建筑中首創的榫卯結構，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱，六根等長的正四棱柱體分成三組，經90榫卯起來若正四棱柱的高為5，底面正方形的邊長為1，現將該魯班鎖放進一個球形容器內，則該球形容器的表面積至少為 （容器壁的厚度忽略不計，結果保留）（第9題圖）DCBA（第10題圖）10如圖，兩座建筑物AB，CD的高度分別是9m和15m，從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的張角，則這兩座建筑物AB和CD的底部之間的距離 m 11在平面直角坐標系xOy中，已知過點的圓和直線 x + y = 1相切，且圓心在直線 y = -2x 上，則圓C的標準方程為 12已知正實數a，b，c滿足，則的取值范圍是 PFECBA（第13題圖）13如圖，ABC為等腰三角形，以A為圓心，1為半徑的圓分別交AB，AC與點E，F，點P是劣弧上的一點，則的取值范圍是 14已知直線ya分別與直線，曲線交于點A，B，則線段AB長度的最小值為 二、解答題：本大題共6小題，共計90分請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15（本小題滿分14分）已知函數（1）求函數的最小值，并寫出取得最小值時自變量x的取值集合；（2）若，求函數的單調增區間16（本小題滿分14分）A1B1C1D1ABCDEFGH如圖，在正方體中，已知E，F，G，H分別是A1D1，B1C1，D1D，C1C的中點（1）求證：EF平面ABHG；（2）求證：平面ABHG平面CFED17. （本小題滿分14分）BCP東北A如圖，B,C分別是海岸線上的兩個城市，兩城市間由筆直的海濱公路相連，B，C之間的距離為100km，海島A在城市B的正東方50處從海島A到城市C，先乘船按北偏西角（，其中銳角的正切值為）航行到海岸公路P處登陸，再換乘汽車到城市C已知船速為25km/h，車速為75km/h. （1）試建立由A經P到C所用時間與的函數解析式；（2）試確定登陸點P的位置，使所用時間最少，并說明理由18（本小題滿分16分）OyxBAM在平面直角坐標系xOy中，橢圓的離心率為，橢圓上動點到一個焦點的距離的最小值為（1）求橢圓C的標準方程；（2）已知過點的動直線l與橢圓C交于 A，B 兩點，試判斷以AB為直徑的圓是否恒過定點，并說明理由19. （本小題滿分16分）已知各項是正數的數列的前n項和為（1）若（nN*，n2），且求數列的通項公式；若對任意恒成立，求實數的取值范圍；（2）數列是公比為q（q0， q1）的等比數列，且an的前n項積為若存在正整數k，對任意nN*，使得為定值，求首項的值20. （本小題滿分16分）已知函數（1）當時，求函數的單調區間；（2）若方程在區間(0,+)上有實數解，求實數a的取值范圍；（3）若存在實數，且，使得，求證：2018屆高三調研測試注 意 事 項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1. 本試卷只有解答題，供理工方向考生使用本試卷第21題有A、B、C、D 4個小題供選做，每位考生在4個選做題中選答2題若學生選做了3題或4題，則按選做題中的前2題計分第22、23題為必答題每小題10分，共40分考試時間30分鐘考試結束后，請將答題卡交回.2. 答題前，請您務必將自己的姓名、調研序列號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的規定位置3. 請在答題卡上按照順序在對應的答題區域內作答，在其他位置作答一律無效作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆請注意字體工整，筆跡清楚4. 如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗5. 請保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損一律不準使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆 數學（附加題） 2018121【選做題】本題包括、四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區域內作答，若多做，則按作答的前兩題評分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟選修4 - 1：幾何證明選講（本小題滿分10分）如圖，與圓O分別切于點B，C，點P為圓O上異于點B，C的任意一點，于點D，于點E，于點F. DPFEOCBA求證：.選修4 - 2：矩陣與變換（本小題滿分10分）已知，求選修4 - 4：坐標系與參數方程（本小題滿分10分）在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為（t為參數），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為，若直線l與曲線C相交于A，B兩點，求AOB的面積選修4 - 5：不等式選講（本小題滿分10分）已知a，b，cR，若對一切實數a，b，c恒成立，求實數x的取值范圍【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟22（本小題滿分10分）PNEDCBAzyx如圖，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直線AB，且ABBP2，AD=AE=1，AEAB，且AEBP（1）求平面PCD與平面ABPE所成的二面角的余弦值；（2）線段PD上是否存在一點N，使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，試確定點N的位置；若不存在，請說明理由23（本小題滿分10分）在正整數集上定義函數，滿足，且（1）求證：；（2）是否存在實數a，b，使，對任意正整數n恒成立，并證明你的結論蘇州市2018屆高三調研測試數學試卷參考答案一、填空題（共70分）122345648789101811121314二、解答題（共90分）15. 解（1）2分4分當，即時，取得最小值0此時，取得最小值時自變量x的取值集合為7分（注：結果不寫集合形式扣1分）（2）因為，令，8分解得，10分又，令，令，所以函數在的單調增區間是和14分（注：如果寫成兩區間的并集，扣1分，其中寫對一個區間給2分）A1B1C1D1ABCDEFGHP16. 證明：（1）因為E，F是A1D1，B1C1的中點，所以，在正方體中，A1B1AB，（注：缺少A1B1AB扣1分）所以3分又平面ABHG，AB平面ABHG，（注：缺少AB平面ABHG不扣分）所以EF平面ABHG6分（2）在正方體ABCDA1B1C1D1中，CD 平面BB1C1C，又平面，所以8分設，BCH，所以，因為HBC+PHC=90，所以+PHC=90所以，即11分由，又，DC，CF平面CFED，所以平面CFED又平面ABHG，所以平面ABHG平面CFED14分 （注：缺少平面ABHG，此三分段不給分）17. 解（1）由題意，輪船航行的方位角為，所以，則， 4分（注：AP，BP寫對一個給2分）由A到P所用的時間為，由P到C所用的時間為，6分所以由A經P到C所用時間與的函數關系為8分函數的定義域為，其中銳角的正切值為. （2）由（1），令，解得，10分設0，使00減函數極小值增函數12分所以，當時函數f()取得最小值，此時BP=17.68 ，答：在BC上選擇距離B為17.68 處為登陸點，所用時間最少14分（注：結果保留根號，不扣分）18. 解（1）由題意，故，1分又橢圓上動點到一個焦點的距離的最小值為，所以，2分解得，所以，4分所以橢圓C的標準方程為.6分（2）當直線l的斜率為0時，令，則，此時以AB為直徑的圓的方程為7分當直線l的斜率不存在時，以AB為直徑的圓的方程為，8分聯立解得，即兩圓過點猜想以AB為直徑的圓恒過定點9分對一般情況證明如下：設過點的直線l的方程為與橢圓C交于,則整理得，所以12分（注：如果不猜想，直接寫出上面的聯立方程、韋達定理，正確的給3分）因為，所以所以存在以AB為直徑的圓恒過定點T，且定點T的坐標為16分19. 解（1）當時，由 則 -得，即，2分當時，由知，即，解得或（舍），所以，即數列為等差數列，且首項，所以數列的通項公式為.5分（注：不驗證扣1分）由知，所以，由題意可得對一切恒成立，記，則，所以，8分當時，當時，且，所以當時，取得最大值，所以實數的取值范圍為.11分（2）由題意，設（），兩邊取常用對數， 令，則數列是以為首項，為公差的等差數列，13分若為定值，令，則，即對恒成立，因為，問題等價于將代入，解得.因為，所以，所以，又故.16分20. 解（1）當時，當時，則，令，解得或（舍），所以時， 所以函數在區間上為減函數.2分當時，令，解得，當時，當時，所以函數在區間上為減函數，在區間上為增函數，且.4分綜上，函數的單調減區間為和，單調增區間為5分（注：將單調減區間為和寫出的扣1分）（2）設，則，所以，由題意，在區間上有解，等價于在區間上有解.6分記，則，7分令，因為，所以，故解得，當時，當時，所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，故函數在處取得最小值.9分要使方程在區間上有解，當且僅當，綜上，滿足題意的實數a的取值范圍為.10分（3）由題意，當時，此時函數在上單調遞增，由，可得，與條件矛盾，所以.11分令，解得，當時，當時，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增.若存在，則介于m，n之間，12分不妨設，因為在上單調遞減，在上單調遞增，且，所以當時，由，可得，故，又在上單調遞減，且，所以所以，同理14分即解得，所以.16分2018屆高三調研測試數學附加題參考答案21A 選修41 幾何證明選講證明 連PB，PC，因為分別為同弧BP上的圓周角和弦切角，所以.2分因為，所以PDBPFC，故.5分同理，又，所以PFBPEC，故.8分所以，即.10分21B 選修42 矩陣與變換解 矩陣的特征多項式為，2分令，解得，解得屬于1的一個特征向量為，屬于2的一個特征向量為5分令，即，所以解得7分所以10分21C 選修44 坐標系與參數方程解 由曲線C的極坐標方程是，得2sin2=2cos所以曲線C的直角坐標方程是y2=2x2分由直線l的參數方程 (t為參數)，得，所以直線l的普通方程為4分將直線l的參數方程代入曲線C的普通方程y2=2x，得，設A，B兩點對應的參數分別為t1，t2，所以，7分因為原點到直線的距離，所以AOB的面積是10分21D 選修45 不等式選講解 因為a，b，cR，由柯西不等式得，4分因為對一切實數a，b，c恒成立，所以當時，即；當時，不成立；當時，即；綜上，實數x的取值范圍為10分22. 解（1）因為平面ABCD平面ABEP，平面ABCD平面ABEPAB，BPAB，所以BP平面ABCD，又ABBC，所以直線BA，BP，BC兩兩垂直， 以B為原點，分別以BA，BP，BC為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則P（0，2，0），B（0，0，0），D（2，0，1），E（2，1，0），C（0，0，1），因為BC平面ABPE，所以為平面ABPE的一個法向量， 2分，設平面PCD的一個法向量為，則 即令，則，故，4分設平面PCD與平