此文檔收集于網絡，如有侵權請聯系網站刪除高數概念基礎知識因式分解公式：an-bn=(a-b)( an-1+an-2b+abn-2+bn-1) ( n為正偶數時)an-bn=(a+b)( an-1-an-2b+abn-2-bn-1) ( n為正奇數時)an+bn=(a+b)( an-1-an-2b+-abn-2+bn-1)二項式定理：(a+b)n=k=0nCnkakbn-k不等式：(1) a,b位實數，則2aba2+b2；aba+b；a-ba-b.(2) a1,a2,an0, 則 a1+a2+annna1a2an取整函數：x-1xx三角函數和差化積;積化和差(7)：sin+sin=2(sin+2)(cos-2) sincos=12(sin+2+cos-2)sin-sin=2(cos+2)(sin-2) coscos=12(cos+2+cos-2)cos+cos=2(cos+2)(cos-2) sinsin=-12(cos+2-cos-2)cos-cos=2(sin+2)(sin-2)重要三角公式1+tan2=sec2 1+cot2=csc2sin2=2sincos cos2=cos2-sin2=1-2sin2=2cos2-1tan=tantan1tantan cot=1cotcotcot+cottan2=1-cossin=sin1+cos=1-cos1+cos cot2=sin1-cos=1+cossin=1+cos1-cos萬能公式：u=tanx2-x0,0,當0|x- x0| 時，恒有|f(x)-A|0,0,當0(x- x0) 時，恒有|f(x)-A|0,0,當0( x0- x) 時，恒有|f(x)-A|0, X0,當|x|X時,恒有|f(x)-A|0, X0,當xX時,恒有|f(x)-A|0, X0,當-xX時,恒有|f(x)-A|0, N0,當nN時,恒有|Xn-A|0,使f(x)在U=x0x-x00,則存在x0的一個去心 鄰域，在該鄰域內恒有f(x)0. (戴帽)若存在x0的一個去心鄰域，在該鄰域內f(x)()0，且limxx0 f(x)=A()，則A0. 計算極限四則運算：設limxx0 f(x)=A(),limxx0 f(x)=B(),則 limxx0 fxgx=AB. limxx0 fxgx=AB. limxx0 f(x)g(x)=AB (B0).等價無窮小（9）sinx 1-cosx12x2 arcsinx ax-1lnax tanx 1+x-1x xarctanx ln(1+x)ex-1 limnnn=1 , limnna=1, (a0) ,limx0+xlnxk=0 ,limx+xk-x=0 (0,k0)limnna1n+a2n+amn=maxai=1,2,m;ai0 洛必達法則：“00”型：limxx0 f(x)=0, limxx0 g(x)=0; f(x),g(x)在x0的某去心領域內可導,且g(x)0 limx x0f(x)g(x)=A或為. 則limxx0 f(x)g(x)=limxx0 f(x)g(x) “”型：limxx0 f(x)=, limxx0 g(x)=; f(x),g(x)在x0的某去心領域內可導,且g(x)0 limxx0 f(x)g(x)=A或為. 則limxx0 f(x)g(x)=limxx0 f(x)g(x)注洛必達法則能不能用，用了再說.數列極限存在準則：1. 單調有界數列必收斂2.夾逼準則：如果函數f(x),g(x)及h(x)滿足下列條件：(1) g(x)f(x)h(x); (2)limg(x)=A,limh(x)=A,則limf(x)存在，且limf(x)=A.兩種典型放縮：maxuii=1nuinmaxui; nminuii=1nuinmaxui選取的依據是誰在和式中去決定性作用 海涅定理（歸結原則）：設f(x)在 (x0, )內有定義，則limxx0 f(x)=A存在對任何以x0為極限的數列xn（xnx0），極限limn f(xn)=A存在.連續的兩種定義：（1） limx0y=limx0fx0+x-fx0=0（2） limxx0fx=fx0間斷點：第一類：可去、跳躍；第二類：無窮、振蕩一元微分學定義導數定義式：f (x0)=dydxx=x0=limx0 fx0+x-f(x0)x=limxx0 fx-f(x0)x-x0微分定義式：若y=Ax+o(x),則dy=Ax.可導的判別:(1) 必要條件:若函數f(x)在點x0處可導,則f(x)在點x0處連續.(2) 充要條件:fx0存在 f+x0,f-x0都存在，且f+x0=f-x0.注通俗來說就是連續函數不一定可導；函數在一點可導且在該點連續，但在這點的某個鄰域未必連續；函數可導，則其導函數可能連續，也可能震蕩間斷.可微的判別：limx0y-Axx=0，則f(x)可微。（一元函數可微即可導）計算幾個不常見的求導公式：(arccos x)=-11-x2 (arccot x)=-11+x2萊布尼茨公式：(uv)(n)= Cn0u(n)v+ C1 nu(n-1)v+Cnnuv(n)常見初等函數n階導數：(ax)(n)=axlnna (1ax+b) (n)=-1nann!ax+bn+1 sin(ax+b)(n)=ansin(ax+b+n2) cos(ax+b)(n)=ancos(ax+b+n2) ln(ax+b) (n)=-1n-1ann-1!ax+bn (n1)構造輔助函數：要證fx+xfx=0,只要構造F(x)=f(x)x，證明Fx=0.十大定理最值定理：如果函數f(x)在閉區間a,b上連續，則mf(x)M,其中m,M分別為f(x)在a,b上的最小值和最大值.介值定理：如果函數f(x)在閉區間a,b上連續，m,M是f(x)在該區間上的最小值和最大值，則對任意的m,M,a,b,使得f=.零點定理：如果函數f(x)在閉區間a,b上連續，且滿足f(a)f(b)0,則y=f(x)在I上嚴格單調增加；若y=f(x)在區間I上有fx0,則y=f(x)在I上嚴格單調減少。零點問題（方程根問題）：零點定理（存在性）單調性（唯一性）幾何意義羅爾中值（構造輔助函數F=0）拉格朗日、柯西中值（即為定理方程的根）費馬定理（取原函數F(x)找極值f(x)=0）羅爾原話 若f(n)x=0至多k個根，則f(n-1)x=0至多k+1個根極值判定：（3）第一充分條件：設f(x)在x=x0處連續，在x0某去心領域 (x0,)可導 在x0的左鄰域fx0,則f(x0)是極小值在x0的左鄰域fx0,右鄰域fx0,則f(x0)是極大值 第二充分條件：設f(x)在x=x0處二階可導，且fx=0，fx00 若fx00,則fx在x0取得極小值 第三充分條件：設f(x)在x=x0處n階可導，且fmx0=0(m=1,2,n-1), fnx00 (n2)則n為偶數時 fnx00時,f(x)在x0取得極小值凹凸性判定：設f(x)在I上二階可導, 若在I上fx0,則fx在I上是凹的若在I上fx0,則fx在I上是凸的補充定義：設f(x)在(a,b)內連續，如果對(a,b)內任意兩點x1,x2,(0,1),有fx1+(1- ) x2f(x1)+(1- )f(x2),則稱f(x)在(a,b)內是凸的;則是凹的.拐點判定：（3）第一充分條件：設f(x)在點x=x0處連續,在點x=x0的某去心鄰域 (x0,)內二階導數存在,且在該點的左右鄰域內fx變號,則點(x0,f(x0)為曲線上的拐點.第二充分條件：設f(x)在x=x0處三階可導，且fx0=0,fx00,則（x0,f(x0)為拐點.第三充分條件：設f(x)在x=x0處n階可導，且f(m)x0=0 (m=2,n-1), f(n)x00(n2),則當n為奇數時，(x0,f(x0)為拐點.微分幾何應用曲率：y=y(x)在(x,y(x)處的曲率公式為k=y1+y232曲率半徑：R=1k曲率圓：X-2+Y-2=R2，=x-y1+y2y2，=y+1+y2y2一元積分學不定積分定義：設函數f(x)定義在某區間I上，若存在可導函數F(x),對于該區間上任一點都有Fx=fx成立，則稱F(x)在區間I上的一個原函數，稱fxdx=F(x)+C為f(x)在區間I上的不定積分。原函數存在定理：連續函數f(x)必有原函數F(x)；若間斷函數有原函數，也只能為振蕩間斷。定積分定義：設函數f(x)在區間a,b上有定義，若存在定積分，則定積分bafxdx的值為曲邊梯形的面積(x軸上方取正，下方取負。定積分的精確定義：bafxdx=limni=1nfa+b-anib-an.注任意切分，任意取高定積分存在(可積)定理：充分條件fx在區間a,b上連續 fx在區間a,b上有界，且只有有限個間斷點,則abfxdx存在.必要條件可積函數必有界.定積分的性質：(6)可拆性：無論a,b,c的大小，abfxdx=acfxx+cbfxdx保號性：若在a,b上f(x)g(x),則有bafxdxbagxdx特殊地，有abfxdxabfxdx.估值定理：設m,M分別是f(x)在a,b上的最小最大值，則有 m(b-a) abfxdxM(b-a)中值定理：設f(x)在閉區間a,b上連續，則在a,b上至少存在一點，使得abfxdx=f(b-a).axftt、fx、fx的奇偶,周期,有界,單調關系（1） 奇偶性 可導fx奇，則fx偶；可導fx偶，則fx奇可積fx奇，則Fx=0xftt偶axftt偶；可積fx偶，則Fx=0xftt奇 axftt不定（2） 周期性可導fx以T為周期，則fx以T為周期；可積fx以T為周期，則Fx=axftt以T為周期0Tfxx=0（3） 有界性若fx在有限區間(a,b)內有界，則fx在(a,b)內有界（4） 單調性無明確結論變限積分定義：當定積分的上限變化、下限變化或上下限都變化時，稱該積分為變限積分.變限積分的性質：(1) f(x)在a,b上可積，則F(x)= axftdt在a,b上連續.(2) f(x)在a,b上連續，則F(x)= axftdt在a,b上可導.(即只要變限積分F(x)= axftdt存在，就必然連續.)變限積分求導公式：Fx=x1x2xftt=f2x2x-f1(x)1x.(x為”求導變量”，t為”積分變量”)反常積分通俗理解：破壞積分區間a,b的有界性破壞f(x)在a,b上的有界性無窮區間上的反常積分的概念和斂散性：a+fxx=limb+abfxx若,則收斂 若不,則發散 -bfxx=lima-abfxx若,則收斂 若不,則發散-+fxx=-cfxx+c+fxx (=+)均收斂,則收斂否則,發散 無界函數的反常積分的概念和斂散性：若b是f(x)的唯一奇點,則abfxdx=lim0+ab-fxx若,則收斂 若不,則發散若c(a,b)是f(x)的唯一奇點，則abfxx=acfxx+cbfxx (=+)均收斂,則收斂否則,發散 計算基本積分公式：（24）湊微分：（復雜處理方法）換元法：（三角代換）（倒代換）（整體代換） 不定積分分部積分：（推廣）有理函數積分：N-L公式：（有原函數）分部積分：換元法： 定積分華氏(點火)公式： 區間再現公式：變限積分求導公式：積分幾何應用均值：設xa,b,函數y(x)在a,b上的平均值為y=1b-aabyxx平面曲線弧長 (1)平面光滑曲線L由y=yxaxb給出，則L=ab1+yx2x (2) 平面光滑曲線L由參數式x=x(t)y=y(t) ,t給出， 則L=xt2+yt2t (3)平面光滑曲線L由r=r給出， 則L=r2+r2 (4)平面光滑曲線L由=fr (arb)給出， 則 L=ab1+rfr2r平面圖形面積：(1) S=aby1x-y2xx (2) S=12r12-r22旋轉曲面面積：(1)曲線y=y(x)在區間a,b上的曲線弧段繞x軸旋轉一周所得到的旋轉曲面的面積 S=2abyx1+yx2x (2)曲線 x=x(t)y=y(t) (t,xt0)在區間,上的曲線弧段繞x軸旋轉一周得到的旋轉曲面的面積 S=2ytx2t+yt2t (3) 曲線y=y(x)在區間a,b上的曲線弧段繞y軸旋轉一周所得到的旋轉曲面的面積 S=2abx1+yx2x旋轉體體積： (1)曲線y=y(x)與x=a,x=b(ab)及x軸圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉一周所得到的旋轉體的體積 V=aby2xx (2) 曲線y=y1(x)0與y=y2x0及x=a,x=b(ab)所及x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周得到的旋轉體的體積 V=aby12x-y22xx (3)曲線y=y(x)與x=a,x=b(0ab)及x軸圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉一周所得到的旋轉體的體積 V=2abxyxx (4)曲線y=y1(x)與y=y2x及x=a,x=b(0ab)所圍成的圖形繞y軸旋轉一周所成的旋轉體的體積 V=2abxy1x-y2xx多元微分基本概念1.極限的存在性：若二元函數f(x,y)在x0,y0的去心領域內有定義，且(x,y)以任意方式(不考慮無定義點)趨于x0,y0時，f(x,y)均趨向于A，則limxx0yy0fx=A.2.連續性：如果limxx0yy0fx=fx0,y0，則稱f(x,y)在點x0,y0處連續.3.偏導數存在性：fxx0,y0=limx0fx0+x,y0-fx0,y0x fyx0,y0=limy0fx0,y0+y-fx0,y0y 2 14.可微：全增量z=fx0+x,y0+y-fx0,y0 5 4 線性增量z=Ax+By 3 6 若極限limx0y0z-Ax+Byx2+y2=0,則稱z=fx,y在x0,y0處可微.5.偏導數連續性 :用定義法求fxx0,y0, fyx0,y0 用公式法求fxx,y, fyx,y,并計算limxx0yy0fxx,y，limxx0yy0fyx,y 若=，則z=fx,y在x0,y0處的偏導數連續。6.fx,y0在x=x0處連續limxx0fx,y0存在; fx0,y在y=y0處連續limyy0fx0,y存在 計算多元函數微分遵循鏈式法則隱函數求導法 設函數Fx,y,z在P0x0,y0,z0的某鄰域內有連續偏導數，并且Fx0,y0,z0=0，Fzx0,y0,z00，則 Fx,y,z在點P0x0,y0,z0的某鄰域內恒能確定唯一的連續函數z=fx,y，且滿足 :z0=fx0,y0 ; Fx,y,fx,y0 ; z=fx,y有連續偏導數，且 zx=-Fxx,y,zFzx,y,z ; zy=-Fyx,y,zFzx,y,z 多元函數極值必要條件：設z=fx,y在點x0,y0處取得極值，且fx,y在點x0,y0處存在偏導數，則必有fxx0,y0=0, fyx0,y0=0充分條件：設z=fx,y在點x0,y0有二階連續偏導數，并設(x0,y0)是fx,y的駐點，記A=fxxx0,y0，B=fxyx0,y0,C=fyyx0,y0則=B2-AC0極值A0極小值0非極值 =0不能確定，方法失效條件極值：求 z=fx,y在條件x,y=0下的極值(1) 構造拉格朗日函數Fx,y,=fx,y+x,y (2) 構造方程組Fx=0Fy=0F=0 ，解出所有的(x,y)(3) 求備選點，其中最大值、最小值即為所求最值在某區域D上的最值：（1） 求出f(x,y)在D內所有可疑點處的函數值；（2） 求出f(x,y)在D的邊界上的最值；（3） 比較所有的函數值，得出最值常微分方程基礎概念1.未知函數是一元函數的是常微分方程，多元函數的是偏微分方程2.未知函數導數的最高階數為微分方程的階3.通解和特解通解中的獨立常數個數與階數相同，不含任意常數的解是特解4.線性微分方程：通解=全部解；非線性:通解全部解5.對于二階線性齊次方程，設y1x,y2x,y3x是該方程的解,則C1y1x+C2y2x+C3y3x也是該方程的解的充要條件是C1+C2+C3=0；對于二階線性非齊次方程，設y1x,y2x,y3x是該方程的解,則C1y1x+C2y2x+C3y3x也是該方程的解的充要條件是C1+C2+C3=1一階微分方程thorough adj. 徹底的；詳盡的變量可分離型：yx=fx