數列基礎知識點和方法歸納 1. 等差數列的定義與性質定義：（為常數），等差中項：成等差數列前項和性質：是等差數列（1）若，則（2）數列仍為等差數列，仍為等差數列，公差為；（3）若三個成等差數列，可設為（4）若是等差數列，且前項和分別為，則（5）為等差數列（為常數，是關于的常數項為0的二次函數）的最值可求二次函數的最值；或者求出中的正、負分界項，即：當，解不等式組可得達到最大值時的值. 當，由可得達到最小值時的值. (6)項數為偶數的等差數列，有，.（7）項數為奇數的等差數列，有， ，.2. 等比數列的定義與性質定義：（為常數，），.等比中項：成等比數列，或.前項和：（要注意?。┬再|：是等比數列（1）若，則（2）仍為等比數列,公比為.注意：由求時應注意什么？時，；時，.3求數列通項公式的常用方法（1）求差（商）法如：數列，求解 時， 時， 得：，練習數列滿足，求注意到，代入得；又，是等比數列，時，（2）疊乘法 如：數列中，求解 ，又，.（3）等差型遞推公式由，求，用迭加法時，兩邊相加得練習數列中，求（）（4）等比型遞推公式（為常數，）可轉化為等比數列，設令，是首項為為公比的等比數列，（5）倒數法如：，求由已知得：，為等差數列，公差為，(附：公式法、利用、累加法、累乘法.構造等差或等比或、待定系數法、對數變換法、迭代法、數學歸納法、換元法)4. 求數列前n項和的常用方法(1) 裂項法把數列各項拆成兩項或多項之和，使之出現成對互為相反數的項. 如：是公差為的等差數列，求解：由練習求和：（2）錯位相減法若為等差數列，為等比數列，求數列（差比數列）前項和，可由，求，其中為的公比. 如： 時，時，（3）倒序相加法把數列的各項順序倒寫，再與原來順序的數列相加. 相加練習已知，則 由原式(附：a.用倒序相加法求數列的前n項和如果一個數列an，與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到一個常數列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。我們在學知識時，不但要知其果，更要索其因，知識的得出過程是知識的源頭，也是研究同一類知識的工具，例如：等差數列前n項和公式的推導，用的就是“倒序相加法”。b.用公式法求數列的前n項和對等差數列、等比數列，求前n項和Sn可直接用等差、等比數列的前n項和公式進行求解。運用公式求解的注意事項：首先要注意公式的應用范圍，確定公式適用于這個數列之后，再計算。c.用裂項相消法求數列的前n項和裂項相消法是將數列的一項拆成兩項或多項，使得前后項相抵消，留下有限項，從而求出數列的前n項和。d.用錯位相減法求數列的前n項和錯位相減法是一種常用的數列求和方法，應用于等比數列與等差數列相乘的形式。即若在數列anbn中，an成等差數列，bn成等比數列，在和式的兩邊同乘以公比，再與原式錯位相減整理后即可以求出前n項和。e.用迭加法求數列的前n項和迭加法主要應用于數列an滿足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差數列或等比數列的條件下，可把這個式子變成an+1-an=f(n)，代入各項，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，經過整理，可求出an ，從而求出Sn。f.用分組求和法求數列的前n項和所謂分組求和法就是對一類既不是等差數列，也不是等比數列的數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并。g.用構造法求數列的前n項和所謂構造法就是先根據數列的結構及特征進行分析，找出數列的通項的特征，構造出我們熟知的基本數列的通項的特征形式，從而求出數列的前n項和。)【優選整合】人教A版高中數學 高三二輪（理）專題09 等差數列與等比數列 測試1. 已知是等差數列，且a11，a44，則a10()A. B. C. D. 【答案】A【解析】設的公差為,由題意,即，得，故本題選2. 正項等比數列an中，若a2a1816，則log2a10()A. 2 B. 4C. 8 D. 16【答案】A3. 已知等差數列an滿足a11，an2an6，則a11等于()A. 31 B. 32C. 61 D. 62【答案】A【解析】等差數列an滿足a11，an2an6，4. 已知遞增的等比數列an的公比為q，其前n項和Sn0，則()A. a10,0q1 B. a11C. a10,0q0，q1【答案】A【解析】Sn0，a1an，且|an|an1|，則anan10，則q(0,1)，a10,0q1.故選A.5. 將正奇數排成如下三列：135791113 15 17則2 007在()A. 第334行，第1列 B. 第334行，第2列C. 第335行，第2列 D. 第335行，第3列【答案】C【解析】設每行第一個數組成一個數列an，則an1(n1)66n5，因為a3352 005，所以2007在第335行的第2列6. 已知數列an滿足an1an2，a15，則|a1|a2|a6|()A. 9 B. 15C. 18 D. 30【答案】C【解析】由an1an2可得數列an是等差數列，公差d2，又a15，所以an2n7，所以|a1|a2|a3|a4|a5|a6|53113518.7. 已知數列an是首項為1，公差為d(dN*)的等差數列，若81是該數列中的一項，則公差不可能是()A. 2 B. 3C. 4 D. 5【答案】B【解析】數列an是首項為1，公差為d(dN*)的等差數列，an1(n1)d，81是該數列中的一項，811(n1)d，n1，d，nN*，d是80的因數，故d不可能是3.故選B.點睛：本題的難點主要在解題思路，本題化簡之后得到811(n1)d，所以也可以把下面的選項的答案代入檢驗，看n是否是正整數.8. 一個等比數列an的前三項的積為2，最后三項的積為4，且所有項的積為64，則該數列有()A. 13項 B. 12項C. 11項 D. 10項【答案】B【解析】設首項為a1，共有n項，公比為q.前三項之積為aq32，最后三項之積為aq3n64，兩式相乘得aq3(n1)8，即aqn12，又a1a1qa1q2a1qn164，a64，則(aqn1)n642，2n642，n12，故選B.9. 我國古代數學名著算法統宗中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈()A. 1盞 B. 3盞C. 5盞 D. 9盞【答案】B【解析】設塔的頂層共有燈盞，則各層的燈數構成一個首項為，公比為2的等比數列，結合等比數列的求和公式有：，解得，即塔的頂層共有燈3盞，故選B點睛:用數列知識解相關的實際問題，關鍵是列出相關信息，合理建立數學模型數列模型，判斷是等差數列還是等比數列模型；求解時要明確目標，即搞清是求和、求通項、還是解遞推關系問題，所求結論對應的是解方程問題、解不等式問題、還是最值問題，然后將經過數學推理與計算得出的結果放回到實際問題中，進行檢驗，最終得出結論10. 等差數列an的前n項和為Sn，且a10，若存在自然數m3，使得amSm，則當nm時，Sn與an的大小關系是()A. Snan B. SnanC. Snan D. 大小不能確定【答案】C【解析】若a10，存在自然數m3，使得amSm，則d0，若d0，數列是遞減數列，則Smam，不存在amSm.由于a10，d0，當m3時，有amSm，因此am0，Sm0，又SnSmam1an，顯然Snan.故選C.11. 設等差數列an的前n項和為Sn，若1a54，2a63，則S6的取值范圍是_【答案】12,42【解析】由題知1a14d4,2a15d3，則S66a115d15(a14d)9(a15d)，再由不等式的性質知S612,42故填12,42.點睛：本題是一道易錯題，如果根據1a54，2a63分別求出的范圍，再求S66a115d的范圍，實際上是錯誤的.這里涉及到不等式取等的問題，可以利用線性規劃的知識，也可以利用解答中的整體代入的方法.12. 在等差數列an中，若a1320，a2013，則a2 014_.【答案】1981【解析】由題意知，等差數列的公差d1，a2 014a20(201420)d1319941981.故填-1981.13. 設Sn是等差數列an(nN*)的前n項和，且a11，a47，則S5_.【答案】25【解析】設數列的公差為d，則3da4a16，得d2，所以S551225.故填25.14. 已知數列an的前n項和為Sn，a11，Sn2ann(nN*)，則an_.【答案】12n【解析】因為Sn2ann， 所以Sn12an1n1，可得an12an1，即an112(an1)，又因為a11，所以數列an1是以2為首項，2為公比的等比數列，所以an1(2)2n12n，所以an12n.15. 已知數列an的前n項和為Sn，且Sn2n1(nN*)(1)求數列an的通項公式；(2)設bnlog4an1，求bn的前n項和Tn.【答案】（1）an2n1(nN*)；（2）.【解析】試題分析：（1）第（1）問，一般利用項和公式求通項. (2)第（2）問，先化簡bnlog4an1，得到，再利用等差數列求和公式求和.試題解析：(1)當n2時，anSnSn12n1，當n1時，a1211，滿足an2n1，數列an的通項公式為an2n1(nN*)(2)由(1)得，bnlog4an1，則bn1bn，數列bn是首項為1，公差d的等差數列，Tnnb1d.16. 已知等差數列an 和等比數列bn滿足a1b11，a2a410，b2b4a5.(1)求an的通項公式；(2)求和：b1b3b5b2n1.【答案】（1）an2n1；（2）.【解析】試題分析：（1）第（1）問，一般先求數列an的基本量，再求數列的通項.(2)第（2）問，先求數列bn的通項，再利用等比數列的求和公式求和.試題解析：(1)設等差數列an的公差為d.因為a2a410，所以2a14d10，解得d2，所以an2n1.(2)設等比數列bn的公比為q，因為b2b4a5，所以b1qb1q39，解得q23，所以b2n1b1q2n23n1.從而b1b3b5b2n113323n1.17. 已知數列an滿足：an1and(nN*)，前n項和記為Sn，a14，S321.(1)求數列an的通項公式；(2)設數列bn滿足b1，bn1bn2an，求數列bn的通項公式【答案】（1