大學數學習題及答案一 填空題:1 一階微分方程的通解的圖像是 維空間上的一族曲線.2 二階線性齊次微分方程的兩個解 y1(x);y2(x)為方程的基本解組充分必要條件是_.3 方程的基本解組是_.4 一個不可延展解的存在區間一定是_區間.5 方程的常數解是_.6 方程 一個非零解為 x1(t) ,經過變換_7 若4(t)是線性方程組的基解矩陣, 則此方程組的任一解4(t)=_.8 一曲線上每一占切線的斜率為該點橫坐標的2倍,則此曲線方程為_.9 滿足_條件的解,稱為微分方程的特解.10 如果在微分方程中,自變量的個數只有一個我們稱這種微分方程為_.11 一階線性方程有積分因子( ).12 求解方程的解是( ).13已知(為恰當方程,則=_.14 ,由存在唯一性定理其解的存在區間是( ).15方程的通解是( ).16方程的階數為_.17若向量函數在區間D上線性相關,則它們的伏朗斯基行列式w (x)=_.18若P(X)是方程組的基本解方陣則該方程組的通解可表示為_.19方程所有常數解是_ 20方程的基本解組是_21方程滿足解的存在唯一性定理條件的區域是_22函數組在區間I上線性無關的_條件是它們的朗斯基行列式在區間I上不恒等于零23若是二階線性齊次微分方程的基本解組，則它們_共同零點二 單項選擇:1 方程滿足初值問題解存在且唯一定理條件的區域是( ).(A)上半平面 (B)平面 (C)下半平面 (D)除y 軸外的全平面2 方程( ) 奇解. (A) 有一個 (B) 有兩個 (C) 無 (D) 有無數個3 在下列函數中是微分方程的解的函數是( ).(A) (B) (C) (D)4 方程的一個特解形如( ). (A) (B) (C) (D)5 連續可微是保證方程解存在且唯一的( )條件（A）必要 （B）充分 (C) 充分必要 (D)必要非充分6 二階線性非齊次微分方程的所有解( ). (A)構成一個2維線性空間 (B)構成一個3維線性空間(C)不能構成一個線性空間 (D)構成一個無限維線性空間7 方程過點(0,0)有( ). (A) 無數個解 (B)只有一個解 (C)只有兩個解 (D)只有三個解 8 初值問題 x , 在區間,上的解是( ). (A) (B) (C) (D) 9 方程是( ). (A) 一階非線性方程 (B)一階線性方程 （C)超越方程 (D)二階線性方程10 方程的通解是( ). (A) (B) (C) (D)11 方程的一個基本解組是( ). (A) (B) (C) (D)12 若y1和y2是方程的兩個解,則 （e1,e2為任意常數）(A) 是該方程的通解 (B)是該方程的解 (C) 不一定是該方程的通解 (D)是該方程的特解13 方程過點(0,0)的解為,此解存在( ). (A) (B) (C) (D)14 方程是( ) . (A) 可分離變量方程 (B) 齊次方程 (C)全微分方程 (D) 線性非齊次方程15 微分方程的通解是( ).(A) (B) (C) (D)16 在下列函數中是微分方程的解的函數是( ).(A) (B) (C) (D)17 方程的一個數解形如( ). (A) (B) (C) (D)18 初值問題 在區間上的解是( ).(A) (B) (C) (D) 19方程的奇解是（ ）（A） （B） （C） （D） 20. 方程過點共有（ ）個解（A）一 （B）無數 （C）兩 （D）三21階線性齊次微分方程基本解組中解的個數恰好是（ ）個 （A） （B）-1 （C）+1 （D）+222一階線性非齊次微分方程組的任兩個非零解之差（ ） （A）不是其對應齊次微分方程組的解 （B）是非齊次微分方程組的解 （C）是其對應齊次微分方程組的解 （D）是非齊次微分方程組的通解23如果，都在平面上連續，那么方程的任一解的存在區間（ ） （A）必為 （B）必為 （C）必為 （D）將因解而定三 求下列方程的解:1 求下列方程的通解或通積分: (1) (2) (3) (4) (5)2 求方程的解 3 解方程:并求出滿足初始條件:當x=0時,y=2的特解4 求方程: 5求方程: 的通解6 求的通解.7 求解方程: 8 求方程: 的解9 求方程的通解10 求下列方程組的通解11求初值問題 的解的存在區間并求出第二次近似解12 求方程的通解 (1) (2) (3) (三種方法) (4)13 計算方程 的通解14計算方程 15 求下列常系數線性微分方程: 16 試求 x的基解矩陣17 試求矩陣 的特征值和對應的特征向量.18 試求矩陣 的特征值和特征向量19 解方程組 20求下列方程組的通解 四 名詞解釋 1微分方程 2常微分方程、偏微分方程 3變量分離方程 4伯努利方程 5條件 6 線性相關五 證明題1在方程中已知p(x);q(x)在上連續求證:該方程的任一非零解在xoy平面上不能與x軸相切.2 設x1(t)、x2(t)分別是非齊次性線方程 證明：x1(t)+x2(t)是方程的解。3設f (x)在0；+上連續且f (x)=0求證：方程的一切解y(x)；均有y (x)=04 在方程中p(x)、q(x)在（）上連續；求證：若p(x)恒不為零；則該方程的任一基本解組的朗斯基行列式w（x）是（）上的嚴格單調函數。5證明：x1(t)+x2(t)是方程的解。6證明：函數組（其中當時）在任意區間（a ,b）上線性無關。7在方程中，已知，在上連續，且求證：對任意和，滿足初值條件的解的存在區間必為8在方程中，已知，在上連續求證：該方程的任一非零解在平面上不能與x軸相切練習題答案一 填空題:1、 22、 線性無關（或：它們的朗斯基行列式不等于零）3、 ex ; xex4、 開5、 6、 7、 ,c為常數列向量8、 y=x2+c9、 初始10、常微分方程11、ep(x)dx12、x2+y2=c ; c為任意正常數13、/14、15、16、417、018、；其中c是確定的n維常數列向量19 2021，（或不含x 軸的上半平面） 22充分 23沒有 二 單項選擇 1、D 2、C 3、C 4、D 5、B 6、C 7、A 8、D 9、A 10、C 11、D 12、B 13、D 14、D 15、B 16、C 17、D 18、D 19D 20B 21A 22.C 23D三 求下列方程的解1 (1）解：當時，分離變量取不定積分，得 通積分為 1ny= Cex（2）解：令y= xu , 則代入原方程，得 分離變量，取不定積分，得 （） 通積分為：（3） 解： 方程兩端同乘以 y-5,得 令y -4= z ，則代入上式，得 通解為 原方程通解為 （4） 解： 因為 ， 所以原方程是全微分方程。 取（x0,y0）=（0，0）原方程的通積分為 即 （5） 解：原方程是克萊洛方程，通解為： y = cx+2c32 解：設則方程化為 ，積分后得y = ct 即 于是x=c1t5+c2t3+c3t2+c4t+c5 其中 c1 , c2 , c3 , c4 , c5為任意常數= = f1(t) + f2(t)故x1(t)+x2(t)為方程=f1(t)+f2 (t)的解。 3 解： 將變量分離，得到 兩邊積分，即得 因而，通解為 這里c是任意常數。以x=0 , y=1代入通解中以決定任意常數c，得到 c = -1 因而，所求特解為 4 解：以 及 代入，則原方程變為 即 將上式分離變量,即有 兩邊積分,得到 這里是任意函數,整理后,得到 令,得到 sinu = cx 5 解: 令z = y-1得 代入原方程得到 這是線性方程,求得它的通解為 代回原來的變量y , 得到 這就是原方程的通解。此外，方程還有解 y=0 。 6 解： 這里M =3x2+6xy2 .N = 6x2y+4y3 ，這時 因此方程是恰當方程。現在求u ，使它同時滿足如下兩個方程 由（1）對x 積分，得到 為了確定，將（3）對y求導數，并使它滿足（2），即得 于是 = 4y4 積分后可得 =y4 將代入（3），得到 u = x3 + 3x2y2 + y4 因此，方程的通解為 x3 + 3x2y2 + y4=c 這里c是任意常數 7 解： 特征方程即特征根i是重根，因此方程有四個實值解cost、tcost 、sint 、tsint 故通解為x = (c1+c2t)cost + (c3+c4t)sin 其中c1 ; c2 ; c3 ; c4為任意常數 8 解： 令 則方程化為： 積分后得y=ct 即于是 x=c1t5 + c2t3 + c3t2 + c4t1 + c5 其中c1 ; c2 c5 為任意常數 ，這就是原方程的通解。 9 解 對應齊次方程的特征方程為， 特征根為 齊次方程的通解為 y=C1+C2e5x 因為a=0 是特征根。所以，設非齊次方程的特解為 y1(x)=x（Ax2 + Bx + C） 代入原方程，比較系數確定出 A=， B= ，C= 原方程的通解為 10 解： 先解出齊次方程的通解 =C1 +C2 令非齊次方程特解為 =C1(t)+C2(t) 滿足 = 解得 積分，得 通解為 11 解： M=max=4 故解的存在區間為 2) q0(x)=0 q1(x)=0 q2(x)=0+ = 12 求方程的通解: 1) 解: 變形(1),將y看作自變量, x為未知函數 解齊線性方程, 通解為x = cy 令x = c (y)y. (2)微分得, 由(1)(2)知 ,積分得故(是任意常數) 2) 解: 令則, 于是 則原方程變為 即 將上式分離變量有 積分得為任意常數。整理令得 方程還有解tanu=0 即 sinu=0, 故通解為 sinu = cx (c為任意常數) 3）(三種方法) 解：法一，這里M=y-3x2 , N= - (4y-x )= 4-4y 因此此方程是恰當方程 現求 u使（1）， （2） 對（1）中x積分得 （3） 對（3）中y求導 積分得，代入（3）得 故通解為，c為任意常數 法二，重新組合得 ，即 于是通解為其中c是任意常數。 4） 解： 令則 對x求導得 積分得 于是方程通解為 （p=0）13 方程的通解 解： 齊次方程是 由于2i是特征方程單根 故所求特解應具形式 代入原方程 故通解為，其中c1c2為任意常數14 解：特征方程有重根 因此對應齊線性方程的通解為，其中c1,c2為任意常數。 因為不是特征根，現求形如的特征解， 代入原方程化簡 于是 故 故通解為其中c1,c2為任意常數 15 求下列常系數線性微分方程 對應的齊次方程為 特征方程為 特征根為 a不是特征根， 故原方程有形如y*=(ax+b) e 2x的特解代入原方程得 故原方程通解為，（為任意常數） 16 解：因為 = + 而且后面的兩個矩陣是可交換的 得到 t = E + t + 但是， = 所以，級數只有兩項。因此，基解矩陣就是 17 解： 特征方程為 因此，是A的二重特征值.為了尋求對應于的特征向量,考慮方程組 因此, 向量 是對應于特征值的特征向量,其中是任意常數. 18 解A特征方程為 特征根為 對應于1=3+5i的特征向量滿足 解得u = a 為任意常數 對應于特征向量滿足 解得 為任意常數 19 解:的特征方程為 1=1, 2=4為特征根,為方程組解a為任意常數. 為方程組解. 這樣為方程的解20解 方程組的特征方程為 即 特征根為 ， 對應的解為 其中是對應的特征向量的分量，滿足 可解得 同樣可算出對應的特征向量分量為 所以，原方程組的通解為 四 名詞解釋 1 聯系著自變量、未知函數及它的導數的關系式，稱之為微分方程。 2 如果在微分方程中，自變量的個數只有一個，稱這種微分方程的個數為兩個或兩個以上 的微分方程稱為偏微分方程。 3 形如 的方程，稱為變量分離方程，這里分別是x , y的連續函數。 4 形如 的方程，稱為伯努利方程，這里為x的連續函數，是常數 5 函數f (x , y)稱為在R上關于y滿足條件，如果存在常數L0,使得不等式對于所有都成立, L稱為常數. 6 定義在區間上的函數, 如果存在不全為零的常數c1 , c2 , . ck 使得恒等式對于所有都成立,稱這些函數是線性相關的. 五 1在方程中,已知p (x),q (x)在上連續,求證:該方程的任一非零解在平面上不能與x軸相切.證明：方程，設是它的任一非零解。 若p (x),q (x)在上連續，假設在平面上與軸相切。 則與方程有非零解矛盾。 故與x軸不相切。 2 由已知得 把x1(t)+x2(t)代入方程由左端得= 3 證明 設y = y(x)是方程任一解，滿足y (x 0) = y0 ，該解的表達式為 取極限 4 證明 設y1(x),y2(x)是方程的基本解組,則對任意,它們朗斯基行列式在上有定義,且.又由劉維爾公式 由于 ,于是對一切,有或故是上的嚴格單調函數 5答案略 6證明:已知函數組的行列式為W(x) = = 上述最后的行列式為范德蒙受行列式 它等于由題設知 由此行列式不為零.從而由性質知.已知的函數組在上線性無關證畢.7證明 由已知條件，該方程在整個 平面上滿足解的存在唯一及解的延展定理條件 顯然 是方程的兩個常數解 任取初值，其中,記過該點的解為，由上面分析可知，一方面可以向平面無窮遠處無限延展；另一方面又上方不能穿過，下方不能穿過，否則與惟一性矛盾故該解的存在區間必為 （10分）8證明 由已知條件可知，該方程滿足解的存在惟一及解的延展定理條件，且任一解的存在區間都是 顯然，該方程有零解 假設該方程的任一非零解在x軸上某點處與x軸相切，即有= 0，那么由解的惟一性及該方程有零解可知，這是因為零解也滿足初值條件= 0，于是由解的惟一性，有 這與是非零解矛盾一、計算（20分）1） 2）二、證明：（20分