二 雙線性變換法 脈沖響應不變法的主要缺點是頻譜交疊產生的混淆 這是從S平面到Z平面的標準變換z esT的多值對應關系導致的 為了克服這一缺點 設想變換分為兩步 第一步 將整個S平面壓縮到S1平面的一條橫帶里 第二步 通過標準變換關系將此橫帶變換到整個Z平面上去 由此建立S平面與Z平面一一對應的單值關系 消除多值性 也就消除了混淆現象 為了將S平面的j 軸壓縮到S1平面j 1軸上的 T到 T一段上 可通過以下的正切變換實現 這里C是待定常數 下面會講到用不同的方法確定C 可使模擬濾波器的頻率特性與數字源波器的頻率特性在不同頻率點有對應關系 經過這樣的頻率變換 當 由時 1由 T經過 變化到 T 即S平面的整個j 軸被壓縮到S1平面的2 T一段 通常取C 2 T 考慮z ej 再將S1平面通過標準變換關系映射到Z平面 即令 將這一關系解析擴展至整個S平面 則得到S平面到S1平面的映射關系 最后得S平面與Z平面的單值映射關系 雙線性變換法的主要優點是S平面與Z平面一一單值對應 S平面的虛軸 整個j 對應于Z平面單位圓的一周 S平面的 0處對應于Z平面的 0處 對應即數字濾波器的頻率響應終止于折疊頻率處 所以雙線性變換不存在混迭效應 現在我們看看 這一變換是否符合我們一開始提出的由模擬濾波器設計數字濾波器時 從S平面到Z平面映射變換的二個基本要求 當時 得 對單位圓 即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓 時 即s左半平面映射在單位圓內 s右半平面映射在單位圓外 因此穩定的模擬濾波器通過雙線性變換后 所得到的數字濾波器也是穩定的 如圖1 圖雙線性變換的頻率非線性關系 小結 1 與脈沖響應不變法相比 雙線性變換的主要優點 S平面與Z平面是單值的一一對應關系 靠頻率的嚴重非線性關系得到的 即整個j 軸單值的對應于單位圓一周 關系式為 可見 和 為非線性關系 如圖2 圖2雙線性變換的頻率非線性關系由圖中看到 在零頻率附近 接近于線性關系 進一步增加時 增長變得緩慢 終止于折疊頻率處 所以雙線性變換不會出現由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現象 2 雙線性變換缺點 與 成非線性關系 導致 a 數字濾波器的幅頻響應相對于模擬濾波器的幅頻響應有畸變 使數字濾波器與模擬濾波器在響應與頻率的對應關系上發生畸變 例如 一個模擬微分器 它的幅度與頻率是直線關系 但通過雙線性變換后 就不可能得到數字微分器 b 線性相位模擬濾波器經雙線性變換后 得到的數字濾波器為非線性相位 c 要求模擬濾波器的幅頻響應必須是分段恒定的 故雙線性變換只能用于設計低通 高通 帶通 帶阻等選頻濾波器 雖然雙線性變換有這樣的缺點 但它目前仍是使用得最普遍 最有成效的一種設計工具 這是因為大多數濾波器都具有分段常數的頻響特性 如低通 高通 帶通和帶阻等 它們在通帶內要求逼近一個衰減為零的常數特性 在阻帶部分要求逼近一個衰減為 的常數特性 這種特性的濾波器通過雙線性變換后 雖然頻率發生了非線性變化 但其幅頻特性仍保持分段常數的特性 例如 一個考爾型的模擬濾波器Ha s 雙線性變換后 得到的H z 在通帶與阻帶內都仍保持與原模擬濾波器相同的等起伏特性 只是通帶截止頻率 過渡帶的邊緣頻率 以及起伏的峰點 谷點頻率等臨界頻率點發生了非線性變化 即畸變 這種頻率點的畸變可以通過預畸來加以校正 預畸變 即將模擬濾波器的臨界頻率事先加以畸變 然后通過雙線性變換后正好映射到所需要的頻率上 利用關系式 將所要設計的數字濾波器臨界頻率點 變換成對應的模擬域頻率 利用此設計模擬濾波器 再通過雙線性變換 即可得到所需的數字濾波器 其臨界頻率正是 如圖所示 雙線性變換時頻率的預畸 計算H Z 雙線性變換比脈沖響應法的設計計算更直接和簡單 由于s與z之間的簡單代數關系 所以從模擬傳遞函數可直接通過代數置換得到數字濾波器的傳遞函數 置換過程 頻響 這些都比脈沖響應不變法的部分分式分解便捷得多 一般 當著眼于濾波器的時域瞬態響應時 采用脈沖響應不變法較好 而其他情況下 對于IIR的設計 大多采用雙線性變換 3 2常用模擬低通濾波器特性 為了方便學習數字濾波器 先討論幾種常用的模擬低通濾波器設計方法 高通 帶通 帶阻等模擬濾波器可利用變量變換方法 由低通濾波器變換得到 模擬濾波器的設計就是根據一組設計規范設計模擬系統函數Ha s 使其逼近某個理想濾波器特性 因果系統中式中ha t 為系統的沖激響應 是實函數 不難看出 定義振幅平方函數式中Ha s 模擬濾波器系統函數Ha j 濾波器的頻率響應 Ha j 濾波器的幅頻響應又S j 2 S2 A 2 A S2 S j 問題 由A S2 Ha S 對于給定的A S2 先在S復平面上標出A S2 的極點和零點 由 1 式知 A S2 的極點和零點總是 成對出現 且對稱于S平面的實軸和虛軸 選用A S2 的對稱極 零點的任一半作為Ha s 的極 零點 則可得到Ha s 為了保證Ha s 的穩定性 應選用A S2 在S左半平面的極點作為Ha s 的極點 零點可選用任一半 N為濾波器階數 如圖1 其幅度平方函數 特點 具有通帶內最大平坦的振幅特性 且隨f 幅頻特性單調 三種模擬低通濾波器的設計 1 巴特沃茲濾波器 Butterworth濾波器 巴特沃茲逼近 圖1巴特沃茲濾波器振幅平方函數 通帶 使信號通過的頻帶阻帶 抑制噪聲通過的頻帶過渡帶 通帶到阻帶間過渡的頻率范圍 c 通帶邊界頻率 過渡帶為零 阻帶 H j 0通帶內幅度 H j const H j 的相位是線性的 理想濾波器 圖1中 N增加 通帶和阻帶的近似性越好 過渡帶越陡 在過渡帶內 階次為 的巴特沃茲濾波器的幅度響應趨于斜率為 6NdB 倍頻程的漸近線 通帶內 分母 c1 c 2N 1 增加 A 2 快速減小 c 幅度衰減 相當于3dB衰減點 振幅平方函數的極點 令分母為零 得可見 Butterworth濾波器的振幅平方函數有2N個極點 它們均勻對稱地分布在 S c的圓周上 例 為N 3階BF振幅平方函數的極點分布 如圖 圖2三階A S2 的極點分布 考慮到系統的穩定性 知DF的系統函數是由S平面左半部分的極點 SP3 SP4 SP5 組成的 它們分別為 系統函數為 令 得歸一化的三階BF 如果要還原的話 則有 MATLAB設計模擬Butterworthfilter 例 設計滿足下列條件的模擬Butterworth低通濾波器fp 1kHz fs 5kHz Ap 1dB As 40dB Wp 2 pi 1000 Ws 2 pi 5000 Ap 1 As 40 N Wc buttord Wp Ws Ap As s num den butter N Wc s omega 0 200 12000 pi h freqs num den omega gain 20 log10 abs h plot omega 2 pi gain xlabel FrequencyinHz ylabel GainindB 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 50 40 30 20 10 0 FrequencyinHz G a i n i n d B N 4Ap 0 1098dBAs 40 0000dB 2 切比雪夫 chebyshev 濾波器 切比雪夫多項式逼近 特點 誤差值在規定的頻段上等幅變化 巴特沃茲濾波器在通帶內幅度特性是單調下降的 如果階次一定 則在靠近截止頻率處 幅度下降很多 或者說 為了使通常內的衰減足夠小 需要的階次 N 很高 為了克服這一缺點 采用切比雪夫多項式逼近所希望的 切比雪夫濾波器的在通帶范圍內是等幅起伏的 所以同樣的通帶衰減 其階數較巴特沃茲濾波器要小 可根據需要對通帶內允許的衰減量 波動范圍 提出要求 如要求波動范圍小于1db 振幅平方函數為 有效通帶截止頻率 與通帶波紋有關的參量 大 波紋大 0 1VN x N階切比雪夫多項式 定義為 如圖1 通帶內變化范圍1 c 隨 c 0 迅速趨于零 當 0時 N為偶數 min N為奇數 max 切比雪夫濾波器的振幅平方特性 給定通帶波紋值分貝數后 可求 有關參數的確定 a 通帶截止頻率 c 預先給定b 通帶波紋為 c 階數N 由阻帶的邊界條件確定 A事先給定 MATLAB設計模擬typeIChebyshevfilter 例 設計滿足下列條件的模擬CBI型低通濾波器 fp 1KHz fs 5kHz Ap 1dB As 40dB Wp 2 pi 1000 Ws 2 pi 5000 Ap 1 As 40 N Wc cheb1ord Wp Ws Ap As s num den cheby1 N Ap Wc s omega WpWs h freqs num den omega fprintf Ap 4f n 20 log10 abs h 1 fprintf As 4f n 20 log10 abs h 2 omega 0 200 12000 pi h freqs num den omega gain 20 log10 abs h plot omega 2 pi gain xlabel FrequencyinHz ylabel GainindB Ap 1 0000As 47 8467 3 橢圓濾波器 考爾濾波器 特點 幅值響應在通帶和阻帶內都是等波紋的 對于給定的階數和給定的波紋要求 橢圓濾波器能獲得較其它濾波器更窄的過渡帶寬 就這點而言 橢圓濾波器是最優的 其振幅平方函數為RN L 雅可比橢圓函數L 表示波紋性質的參量 N 5 的特性曲線可見 在歸一化通帶內 1 1 在 0 1 間振蕩 而超過 L后 在間振蕩 這一特點使濾波器同時在通帶和阻帶具有任意衰減量 下圖為典型的橢園濾波器振幅平方函數橢圓濾波器的振幅平方函數圖中 和A的定義同切比雪夫濾波器 r r 當 c r 和A確定后 階次N的確定方法為 式中 為第一類完全橢圓積分 MATLAB設計橢圓低通濾波器 N Wc ellipord Wp Ws Ap As s 確定橢圓濾