第二節 函數及其表示【知識結構完形】知識體系內容體系1函數的定義：一般地，設A、B是兩個非空的數集，如果按照某種確定的 對應關系 ，使對于集合A中的 任意一個數,在集合B中都有 唯一確定的數與之對應，那么就稱為從集合A到集合B的一個函數，記作其中叫做自變量，的取值范圍A叫做函數的 定義域；與的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的 值域。2映射的定義：一般地，設A、B是兩個非空集合，如果按照某一個確定的 對應關系，使對于集合A中的 任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱為從集合A到集合B的一個映射。3分段函數：在其定義域中，對于自變量 的不同取值范圍，對應關系不同的函數叫做分段函數。分段函數是用幾個不同的部分表示的一個 完整函數，分段函數中的分段是相對于定義域而言的，它的實質是將定義域分成幾段，各段的對應法則不完全一樣4相等函數：定義域相同，并且對應關系完全一致的兩個函數就稱為相等函數5映射是一種特殊的對應，而函數又是一種特殊的映射，其特殊性在于，在中，A、B必須是非空數集6是關于的函數，一般情況下是一個變量；的一個特殊值，表示當時的函數值，是一個常量7求函數解析式的常用方法：待定系數法、換元法、解方程組法考試說明：（1）通過豐富實例，進一步體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型，在此基礎上學習用集合與對應的語言來刻畫函數，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用（2）了解映射的概念（3）在實際情景中，會根據不同的需要選擇恰當的方法（如圖像法、列表法、解析法）表示函數（3）了解構成函數的要素，會求一些簡單函數的定義域（4）了解簡單的分段函數，并能簡單應用知識結構對應關系對應定義一一映射定義域值域列表法圖像法解析法函數及其表示映射函數的概念函數的表示法【復習指導】1近幾年的高考考查情況（1）從全國高考情況來看，本節知識是函數部分的基礎，主要以考查函數的定義域、解析式為主，以函數或分段函數為背景，結合方程、不等式等知識，考查學生處理綜合問題的能力，題型主要是選擇題和填空題，也有可能把定義一種新運算作為考查方式（2）觀察近幾年的山東高考題，這部分主要以分段函數為背景結合方程、不等式等知識，考查學生分類討論的思想和運算求解的能力2復習要求 本節需要1個課時；重點掌握的內容是函數的概念（函數的定義域、解析式）和分段函數復習時要準確把握函數的概念并能靈活應用.掌握一些求解析式的常用方法，并會使用解析式求函數值.主要掌握的方法是：換元法、湊配法、待定系數法等【直擊訓練】一、基礎題過關1（理）設集合A和B都是自然數集合N，映射把集合A中的元素映射到集合B中的元素，則在映射下，象11的原象是 （ ）A 2 B 3 C 4 D 5 1C 解析：由題意得故選C2（文理）函數的定義域為 （ ）A B C D2C解析：由選C3(理)函數滿足，則這樣的函數個數共有 （）A 1個 B 2個 C 3個 D 4個3C 解析：利用列舉法滿足條件的函數有如下三個： 選C2BCAyx1O345612344(文理)如圖，函數的圖象是折線段，其中的坐標分別為，則_ 40 解析：由圖知5（理）已知的解析式為_5解析：備選：1函數的圖象與直線交點的個數為（ ）A必有一個 B1個或2個 C至多一個 D可能2個以上C 解析：由函數的定義知選C2已知函數，則函數的定義域是（ ）A B C DC 解析：選C3已知函數的定義域為，則的定義域為 （ ） A B C DD 解析：由題意知選D4若 2 解析： 二、能力培養題型一：映射與函數的概念例1：（文理）已知函數，分別由下表給出123131123321則的解集為 （ ）A B C D 【解析】【答案】 C【點評】(1)本題主要考查函數的概念，解題時注意兩個問題：一是對應法則是什么？二是的含義；(2)函數的概念高考主要考查兩個問題：一是根據函數的三要素判斷兩個函數是否為同一個函數；二是考查對函數符號、映射概念、函數概念的理解。準確理解函數概念是解決函數概念問題的關鍵，函數是一種特殊的映射，對應法則、定義域、值域是構成一個函數的三要素變式：（） B解析：題型二：求函數的定義域問題例2： （1）求函數的定義域 （2）若函數的定義域為，求及的定義域【解析】（1）（2）函數的定義域為，.函數的定義域為.又由得，函數的定義域為.【點評】（1）函數的定義域是高考常考的一個重要知識點，求以解析式給出的函數定義域問題實際是轉化為一個解不等式或解不等式組問題；表達式未知的函數（我們也稱之為抽象函數）的定義域問題，除了注意函數定義域的定義外，還要注意對應關系所作用的對象的取值范圍是不變的；（2）求函數定義域應遵循以下幾條原則：分式的分母不為零；偶次根號下被開方式非負；在中底數；對數的真數大于0，底數大于0且不等于1；若是由幾部分構成的，則應采用交集法；實際問題結合變量的實際意義來確定，等等；（3）函數的定義域一般應用集合或區間形式表示，在用區間表示時，要弄清區間端點的歸屬問題變式1：(文理)已知函數，則的定義域是 解析： 變式2：（理）若函數f(x) = 的定義域為R，則的取值范圍為_題型三：求函數的解析式問題 例3：已知定義域為R的函數滿足 （I）若，求;又若，求; （II）設有且僅有一個實數，使得，求函數的解析表達式 【點評】本題主要考查抽象函數求值和求函數解析式問題：解題的主要方法是賦值法。變式：定義在上的函數滿足（），則_，=_. 【解析】令，令；令，再令得 變式2：題型四：分段函數例5：（文理）函數，若則的所有可能值為_【解析】【答案】【點評】（1）由于f(x)是分段函數，先求出f（2）的值，再根據x的范圍表示出f(a),從而求出a.（2）分段函數一直是函數命題的一個熱點，每年必考，多以選擇題和填空題的形式出現，也有時出現在解答題中，并和方程、不等式等知識聯系起來，綜合考查學生的各種能力。（）由于自變量在不同的取值范圍解析式不同，故分段函數把幾個基本初等函數綜合起來考查，也能很好地考查分類討論的思想。變式1：設（ ）A 0 B 1 C 2 D 3 解析f（f（1）f（2）1，選B變式2：已知是上的減函數，那么的取值范圍是 （ ）A B C D C 解析：依題意，有0a1且3a10，解得0a，又三、測試訓練1(理)對集合A=1，2，3，從A到A的映射的個數是 （ ） A 3 B 6 C 9 D 27 D 解析：因為對于A的每一個元素都有三種對應，而映射又可以有相同的象，故選D（文）集合映射滿足那么映射的個數是（ ） 4 5 6 7 D.解析：分兩類，一類是a,b,c皆與0對應，即，共一個；另一類是一一對應，共六個，兩類加在一起可知滿足條件的映射共有7個.2（文理）下列四組函數中,表示同一函數的是（ ） A B C DA 解析：、C、D定義域不同3（文理）設函數則關于x的方程解的個數為（ ）A1B2C3D4C 解析：4（文理）已知f()=，則f (x)=（ ） A (1)2 B(1)2 C21 D21C解析：5（理）函數的定義域是 （ ）A B C DB 解析：由，故選B.6(文理)已知則不等式5的解集是 解析：7（文理）若函數則_.7.解析：，.8（理）對定義域分別是、的函數、，規定：函數（1）若函數，寫出函數的解析式；（2）求問題（1）中函數的值域；（3）若，其中是常數，且，請設計一個定義域為的函數，及一個的值，使得，并予以證明【解析】（1）（2）當若其中等號當x=2時成立，若其中等號當x=0時成立，函數（3）解法一令則于是解法二令，則于是備選題1已知函數，則的值為（ ）A B C D1 D解析：2函數的定義域是 （ ）A. B. C. D. D 解析：由得 故選D3函數的定義域是 解析：4.已知二次函數f(x)同時滿足條件： (1) 對稱軸是x=1； (2) 的最大值為15；(3) 的兩根立方和等于17則f(x)的解析式是 解析：由題意設，5.設是R上的函數，且滿足并且對任意的實數都有，求=_. 解析：法1：由，設，得，所以法2：令，得即又將用代換到上式中得ABCD6. 在邊長為2的正方形ABCD的邊上有動點M，從點B開始，沿折線BCDA向A點運動，設M點運動的距離為x，ABM的面積為S（1）求函數S=的解析式、定義域和值域； （2）求ff(3)的值【解析】（1）當時，S=x；當時，S=2；當時，S=6-x； 定義域是（0，6），值域是（0，2） (2) 7.已知函數且a為常數）在區間上有意義，求實數a的取值范圍.解析：要使函數有意義，則有，而，即當時，函數的定義域為，又函數在區間上有意義，結合知.故實數a的取值范圍為. 說明：此題若改為“已知函數且a為常數）的定義域為，求實數a的值或其取值范圍”，結果會發生怎樣的變化呢？事實上，這時就只能，從而.【寬乘高】把直接或間接地調用自身的函數稱為遞歸函數。遞歸函數