高二數(shù)學直線的方向向量與直線的向量方程知識精講一. 本周教學內(nèi)容：3.2.1 直線的方向向量與直線的向量方程3.2.2 平面的法向量與平面的向量表示二. 教學目的：1、掌握用向量表示直線的方法及確定點在直線上的位置的方法；會用向量的方法證明線線平行、線面平行、面面平行；能通過向量計算求證兩條直線垂直或求兩條直線所成的角。2、（1）理解平面的法向量的概念，并會求平面的法向量；（2）了解平面法向量的應(yīng)用，并能用法向量論證相關(guān)的立體幾何問題；（3）掌握正射影的概念，并能作出簡單圖形F在某一平面內(nèi)的正射影F0，并說出其圖形的形狀；（4）掌握三垂線定理及其逆定理，并能應(yīng)用此定理解題。三. 教學重點、難點 重點：（1）直線的方向向量，平行關(guān)系的論證，用向量運算求證兩條直線垂直或求兩條直線所成的角。（2）平面法向量的概念及其應(yīng)用，正射影的概念，三垂線定理及逆定理；難點：（1）直線的方向向量，平面的共面向量的選取及其表示。 （2）對平面法向量的理解及靈活運用，三垂線定理的證明思路及三垂線定理的應(yīng)用。四. 知識分析321 直線的方向向量與直線的向量方程1、思考：如何確定空間中的點的位置？分析：確定平面內(nèi)點的位置，通常采用兩個方法“平面直角坐標系”或“該點相對于某一已知點的方向及距離”。那么，空間內(nèi)呢？我們也可以用“該點的空間直角坐標系（x，y，z）”或“在空間中該點相對于某一已知點的方向及距離”來描述。注意：兩個詞“方向”、“距離”，給我們什么啟示？結(jié)論：在空間我們可以用向量確定空間一點的位置或點的集合。【位置向量】 已知向量，在空間固定一個基點O，再作向量，則點A在空間的位置就被向量所惟一確定了。這時，我們稱這個向量為位置向量。注：“基點”是必需的；相對于確定的基點來說，空間內(nèi)的點與向量有了一一對應(yīng)關(guān)系。2、思考：如何確定空間中的直線？分析：在平面內(nèi)確定直線通常采用的是“點向”和“兩點”，那么空間中呢？探究：通過實際觀察，在空間中我們?nèi)耘f可以采用“點向”或“兩點”來確定直線。問題是如何操作呢？方案：求軌跡的一般步驟（1）點向：過點A，且平行于向量 設(shè)P為直線上任一點，則有，故存在，使 ，這樣直線上每一個點P都與惟一的一個實數(shù)t相對應(yīng)，向量方程就是過A且方向向量為的直線的參數(shù)方程，每一個確定的t都對應(yīng)著一個點Pl。這個方程也可以表示成（直線的點向式參數(shù)方程）這個方程的幾何意義如圖1所示。（2）兩點：過點A和點B （可以看成過點A，方向向量為） 這樣，我們可得方程（兩點式） 這個方程的幾何意義如圖2所示。探究：觀察到方程中的系數(shù)滿足1 t t 1, 這與點A , P , B三點共線有關(guān)系嗎？（1）若令t0或1，則點P在直線AB的什么位置？（2）若令t或2，則點P在直線AB的什么位置？（t時得出線段AB中點的向量表達式）（3）若令t或3，則點P在直線AB的什么位置？（4）若令t1，則點P在直線AB的什么位置？【應(yīng)用基礎(chǔ)】1、怎樣用向量的方法證明線線平行？分析：設(shè)直線l1的方向向量為，直線l2的方向向量為，則由向量共線的條件得：（或l1與l2重合）2、怎樣用向量的方法證明線線垂直？分析：設(shè)直線l1的方向向量為，直線l2的方向向量為，則有（3、怎樣用向量的方法求兩直線的夾角？分析：考慮到兩向量夾角與兩直線夾角定義的區(qū)別,有 4、怎樣用向量的方法證明線面平行？分析：已知兩個不共線向量，與平面共面，一條直線l方向向量為，則由共面向量定理，可得：l/或l在內(nèi)存在兩個實數(shù)x，y，使另外，如果A，B，C三點不共線，則點M在平面ABC內(nèi)的充分必要條件是，存在一對實數(shù)x，y，使向量表達式成立。322 平面的法向量與平面的向量表示1、平面法向量的定義：已知平面，如果向量的基線與平面垂直，則就叫做平面的一個法向量或說向量與平面正交。2、平面法向量的性質(zhì)：平面的一個法向量垂直于與平面共面的所有向量；一個平面的所有法向量共線（或平行）3、怎樣求平面的法向量？首先我們利用向量的方法證明線面垂直判定定理，證明中一定要注意共面向量定理的應(yīng)用。【線面垂直判定定理】如果一條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面已知a, b是平面內(nèi)的兩條相交直線，且直線na，nb（如圖）求證：n.證明：設(shè)m是內(nèi)的任一條直線。在n，a，b，m上分別取非零向量。因為a與b相交，由共面向量定理可知，存在惟一的數(shù)對(x，y)，使，由已知條件，可推知.因此，得nm.因為直線n垂直于平面內(nèi)的任一直線，所以直線n垂直于平面。線面垂直判定定理啟發(fā)我們，如果已知兩個不共線向量，與平面共面，那么我們只要找到一個向量與向量，都垂直，則向量就是平面的一個法向量。舉例如下： 例1. 已知點A（a，0，0），B（0，b，0），C（0，0，c），其中abc0，如圖所示，求平面ABC的一個法向量。解：由已知可得（0，b，0）（a，0，0）（a，b，c），（0，0，c）（a，0，0）（a，0，c）。設(shè)平面ABC的一個法向量為，則由，解得不妨令，則因此，可取（bc，ac，ab）為平面ABC的一個法向量。4、借助平面的法向量判斷兩平面的平行與垂直 設(shè)分別是平面的法向量，則有或與重合5、平面的向量表示探究：我們知道，在空間中過一點有且只有一個平面與已知直線垂直，那么過一點有幾個平面與已知向量垂直呢？（結(jié)論：有且只有一個）問題：過點A與向量垂直的平面該如何表示呢？分析：我們不妨仿照求曲線方程的一般步驟，用“求平面方程的一般步驟”來試試。過程：設(shè)點M為平面上任一點，則向量于是就應(yīng)有。這個式子就是平面的一個向量表示式，我們也可以把它看成是平面的一個向量方程。6、三垂線定理已知平面和一點A，過點A作平面的垂線l與平面相交于點，則就是點A在平面內(nèi)的正射影，以下簡稱射影由上述定義可知，平面內(nèi)的任一點在內(nèi)的射影都是它自身圖形F上所有的點在平面內(nèi)的射影所成的集合，叫做圖形F在平面內(nèi)的射影（如圖）如果一條直線AB和平面相交于點B，但不和平面垂直，那么直線AB叫做這個平面的斜線斜線和平面的交點B叫做斜足，斜線上一點A與斜足B之間的線段叫做斜線段AB【三垂線定理】如果在平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，則它也和這條斜線垂直已知：AB，AC分別是平面的垂線和斜線，BC是AC在平面內(nèi)的射影，求證：證明：取向量，因為所以.又因為,所以因此, 得.類似地可以證明：【三垂線定理的逆定理】如果平面內(nèi)的一條直線和這個平面的一條斜線垂直，則它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直想一想，如果在三垂線定理中，已知條件改為：直線l / 平面，并且直線l垂直于斜線AC在平面內(nèi)的射影BC，直線l是否還垂直于斜線AC？注意：三垂線定理與它的逆定理的區(qū)別。例1. 如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，且底面ABCD,PD與底面成30角，E為垂足。（1）求證：（2）求異面直線AE與CD所成角的大小。解析：以A為原點，AB、AD、AP所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz，如圖，則A(0，0，0)、B(a，0，0)、C(a，a，0)、D(0，2a，0)。底面ABCD，是PD與底面ABCD所成的角。過E作EFAD于F，那么在RtAEF中，于是（1）（2）設(shè)與的夾角為，則即AE與CD所成角的大小為。點評：恰當?shù)亟⒖臻g直角坐標系，準確地求出各相關(guān)點的坐標，采用向量的數(shù)量積運算是解決本題的關(guān)鍵。例2. 如圖，已知四邊形ABCD的四個頂點A、B、C、D不共面，而AEEB，BFFC，CGGD，DHHA，（1）用向量證明：E、F、G、H四點共面；（2）用向量證明：BD/面EFGH；（3）設(shè)M是EG和FH的交點，求證：對空間任一點O有解析：證明：（1）連結(jié)BG則由共面向量定理推論知：E、F、G、H四點共面。（2）EH/BD又面EFGH，BD面EFGH。BD/面EFGH。（3）連OM、OA、OB、OC、OD、OE、OG。由（2）知同理EG、FH交于一點M且被M平分點評：注意證明線面平行的向量方法。例3. 已知三個非零向量，且p，q，r不全為零，求證：、共面。解析：（1）若共面，設(shè)該平面為。考慮到，同理共面。（2）若不共面，則向量 所以p, q , r 不全為零，不妨設(shè)r0，則，于是、共面。點評：證明三向量共面的理論是共面向量定理，簡記為其中一個向量可用其余兩個向量線性表示出來，如（2），難點是發(fā)現(xiàn)例4. 正方體AC1的棱長為1，求平面ADB1的一個法向量。解析：建立如圖所示坐標系。從而A(1，0，0)，B(0，0，0)，C(1，1，1)，D(1，1，0)那么設(shè)是平面ADB1的法向量，那么解得：x 0 , y z，不妨令z 1，得點評：給z賦不同的值，就可得到不同的法向量，一個平面的法向量不惟一，但這些法向量都共線。 1. 已知：a（2，4，x），b（2，y，2），若，且ab，則x+y（ ）A. 3或1B. 3或1C. 3D. 1 2. 正方體中，分別為上的點，且，則與所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 3. 平行六面體中，則（ ）A. B. C. D. 4. 在下列各對向量中，互相垂直的一對為（ ）A. B. 與C. D. 5. 在下列各結(jié)論中，不正確的是（ ）A. 兩非零向量垂直的充要條件為B. 若向量，則C. 已知是兩非零向量，則D. 是的充要條件 6. 已知向量，若，設(shè)，則與x軸正方向夾角的余弦值為（ ）A. B. C. D. 7. 兩個非零向量平行的充要條件是（ ）A. B. C. 存在非零實數(shù)k，使D. 存在非零實數(shù)k，使 8. 已知（1，2，3），（3，0，1），（），給出下列等式：；其中正確的個數(shù)是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 9. 已知a、b為兩條不同直線，、為兩個不同的平面，且a，b，則下列命題中假命題是（ ）A. 若/b，則/B. 若，則bC. 若a、b相交，則，相交D. 若、相交，則a，b也相交 10. 若x、y、z表示不同的直線或平面，命題“若xy，xz，則y/z”針對下面說法：x、y、z都表示平面。x、y、z都表示直線。x表示直線，y、z表示平面。x表示平面，y、z表示直線。其中正確命題的個數(shù)有（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 11. 已知a（2，1，3），b（4，2，x），且ab，則x_。 12. “直線l垂直于a內(nèi)的無數(shù)條直線”是“l(fā)a”的_。 13. 已知A（1，0，3），B（1，2，1），B（0，2，1），則平面ABC的一個單位法向量為_。 14. 已知點A（1，1，1），平面，且點A在平面內(nèi)，則點M（x，y，z）在平面內(nèi)的條件為_。 15. 已知：M、N分別為正方體的棱BB1和B1C1的中點。求：（1）MN與CD所成的角；（2）MN與AD所成的角。 16. 正三棱柱，所有棱長都為2，P為上一點。（1）求證：不可能與平面垂直；（2）當時求AP的長。 17. 已知P是正方形ABCD平面外一點，M、N分別是PA、BD上的點，且PM：MABN：ND5：8，求證：直線MN/平面PBC。 18. 已知：PA矩形ABCD，M、N分別為AB、PC中點。（1）求證：MN/平面PAD；（2）求證：MNCD；（3）若PDA45，求證MN平面PCD。參考答案 1. A2. A3. A4. C5. D 6. A7. D8. A9. D10. C 11. 12. 必要不充分條件 13. （0，） 14. 15. 解：（1）由正方體的性質(zhì)可知：CD面BC1，CDMN。即CD與MN成90的角。（2）AD/BC，MN與BC所成的角即為AD與MN所成的角，顯然為45 16. 證明：（1）取AC中點O，連BO，則BOAC，又BOAA1，BO面AC1，而點P在棱AA1上，故PB不可能與面AC1垂直