高二數學解三角形全章教案正弦定理【教學目的】1.理解并掌握正弦定理，能初步運用正弦定理解斜三角形；2.理解用向量方法推導正弦定理的過程，進一步鞏固向量知識，體現向量的工具性。【教學重點】正弦定理的證明和理解【教學難點】正弦定理的證明【教學過程】一新課引入：初中學習了全等三角形只要根據已知條件就能判斷三角形是否全等。能否根據給定條件算出三角形的未知邊與未知角？這就是解三角形。解三角形有幾個重要定理，今天學習其中之一-正弦定理問題1.在直角三角形ABC中，對應邊依次為a,b,c，求證：=【猜想與推廣】正弦定理：在任一個三角形中，各邊和它所對角的正弦比相等，即 = =2R（R為ABC外接圓半徑）證明：2斜三角形中 證明一：（等積法）在任意斜ABC當中SABC= 兩邊同除以即得：=證明二：（外接圓法）如圖所示，同理 =2R，2R證明三：（向量法）過A作單位向量垂直于由+= 兩邊同乘以單位向量 得 (+)=則+=|cos90+|cos(90-C)=|cos(90-A) =同理，若過C作垂直于得： = =二正弦定理的應用 定理剖析，加深理解正弦定理：在一個三角形中，各邊與它所對角的正弦的比相等，即：從表達式的結構看，正弦定理所表達的邊與對角的正弦的比是嚴格的對邊與對角的正弦比。這種對應關系是嚴謹的，也是和諧的，它體現了數學的一種和諧美。從方程的觀點看，表達式中每一個等號所形成的等式中，含有四個量，顯然可“知三求一”。于是，正弦定理可解決兩類有關解三角形的問題：已知兩邊與任一邊，求其他兩邊和一角；已知兩邊與其中一邊的對角，求另一邊的對角，進而可求出其他的邊和角。例1 已知在解：由得 由得例2 在解：【比較例1，例2】體會：例3 解：，【變式】【探索】(*)例4 已知ABC，B為B的平分線，求證：ABBCAC四、課堂練習：1在ABC中，,則k為( )A2R BR C4R D(R為ABC外接圓半徑)2ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，則ABC為( )A直角三角形 B等腰直角三角形C等邊三角形 D等腰三角形(*)3在ABC中，求證：五、小結 正弦定理，兩種應用六、課后作業：1在中，已知，求2在中，已知，求3在ABC中，已知，求證：2b2a2c24在ABC中，已知試判斷ABC的形狀。(*)5.在中,內角A、B、C的對應三邊分別為,已知,若滿足對任意三角形都成立,求實數的取值范圍利用正弦定理解三角形時，解的問題的探討：已知a, b和A, 用正弦定理求B時的各種情況:若A為銳角時:若A為直角或鈍角時:【變式練習】1根據下列已知條件，判定有沒有解，若有解，判斷解的個數：，求，求，求，求，求，求(,只能為銳角,因此僅有一解.圖示,只能為銳角,因此僅有一解.圖示,即,僅有一解. 圖示即例2，先讓學生判斷，然后回憶對照。再次理解本題有兩解。即例3，先讓學生判斷，然后回憶對照。再次理解本題僅有一解。由改編，由圖知，本題無解)2已知A,B,C是的三個內角，求證：3在ABC中，A60，b1，其面積為，求的值（*）4. 在中，求證作業：1. 在中,已知,在分別為20, ,和5的情況下,求相應的角C.2在中，b=2a, B=A,求A3.在中，角所對的邊分別為若，求角(*)4.課本11頁B組 1112 余弦定理【教學目的】1.理解并掌握余弦定理及其證明； 2.能初步運用余弦定理解斜三角形；3.理解用向量方法推導證明余弦定理的過程，進一步鞏固向量知識，體現向量的工具性。【教學重點】余弦定理的證明和理解【教學難點】余弦定理的推導與證明【教學過程】一復習與新課引入：1正弦定理及其推導、證明: 2應用正弦定理可以解決： 3兩個三角形全等的判定定理有： 問題對于任意一個三角形來說，是否可以根據一個角和夾此角的兩邊，求出此角的對邊？推導 如圖在中，、的長分別為、即同理可證 ，二新課：1余弦定理 ：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍即 2余弦定理可以解決的問題利用余弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題：（1）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角（2）已知三邊，求三個角；【余弦定理變式】三、講解范例：例1在ABC中，已知a7，b10，c6，求A、B和C解： 0725， A44 08071， C36, B180(AC)100【變式1】：已知不變，結論換成判定的形狀。【變式2】：已知不變，結論換成求的面積。例2在ABC中，已知，求；已知，求；已知，,求,并判斷三角形的形狀。例 3 ABC三個頂點坐標為(6，5)、(2，8)、(4，1)，求A解法一： |AB| |BC| |AC| = A84解法二： (8，3)，(2，4) cosA=, A84四、課堂練習：1在ABC中，若a2b2+c2，則ABC為；若a2=b2+c2，則ABC為 ；若a2b2+c2且b2a2+c2且c2a2+b2，則ABC為 2在ABC中，sinA=2cosBsinC，則三角形為 3在ABC中，BC=3，AB=2，且，A= 參考答案： 1鈍角三角形，直角三角形，銳角三角形2等腰三角形 3 120五、小結 余弦定理及其應用六、課后作業：課本1011頁： 2，3【補充】1在ABC中，證明：（a2b2c2）tanA（a2b2c2）tanB02在ABC中，已知sinBsinCcos2，試判斷此三角形的類型課題 正弦定理、余弦定理4【教學目的】1.正確運用正弦定理、余弦定理解斜三角形； 2.會利用計算器解決斜三角形計算問題；3.通過解斜三角形培養學生用方程的思想理解有關問題,并培養學生解題的優化意識. 【教學重點】正確運用正弦定理、余弦定理解斜三角形【教學難點】正弦定理、余弦定理運用求解中的技巧的應用和準確的計算【教學過程】一復習：說出正弦定理、余弦定理的內容和它們各自的作用；二知識應用例1在ABC中，已知sin2Bsin2Csin2AsinAsinC，求B的度數例2在ABC中，已知2cosBsinCsinA，試判定ABC的形狀例3在ABC中已知a2bcosC，求證：ABC為等腰三角形例4在中，（1）若，求. （2）若 ,求A例5聲速為米/秒,在相距的A,B兩處,聽到一爆炸聲的時間差為6秒,且記錄顯示B處的聲強是A處的4倍.若聲速,聲強與距離的平方成反比,試確定爆炸點P到AB的中點M的距離.三小結（1）內角和定理及變換有:. （2）邊角轉換的常用定理有:正弦定理、余弦定理、射影定理（）.四作業1課本24頁 14，2課本24頁 153中,已知,判斷的形狀.4在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為、b、c，且.求的值；12 應用舉例（一）教學目的：1會在各種應用問題中，抽象或構造出三角形，標出已知量、未知量，確定解三角形的方法；2搞清利用解斜三角形可解決的各類應用問題的基本圖形和基本等量關系；3理解各種應用問題中的有關名詞、術語，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；4通過解三角形的應用的學習，提高解決實際問題的能力教學重點：實際問題向數學問題的轉化及解斜三角形的方法教學難點：實際問題向數學問題轉化思路的確定授課類型：新授課課時安排：1課時教 具：多媒體、實物投影儀教學方法：啟發式在教學中引導學生分析題意，分清已知與所求，根據題意畫出示意圖，并啟發學生在解三角形時正確選用正、余弦定理教學過程：一、復習引入：1正弦定理：2余弦定理： ，3解三角形的知識在測量、航海、幾何、物理學等方面都有非常廣泛的應用，如果我們抽去每個應用題中與生產生活實際所聯系的外殼，就暴露出解三角形問題的本質，這就要提高分析問題和解決問題的能力及化實際問題為抽象的數學問題的能力下面，我們將舉例來說明解斜三角形在實際中的一些應用二、講解范例：例1課本12頁例1例2課本12頁例2例3 自動卸貨汽車的車箱采用液壓結構，設計時需要計算油泵頂桿BC的長度已知車箱的最大仰角為60，油泵頂點B與車箱支點A之間的距離為195，AB與水平線之間的夾角為620，AC長為140，計算BC的長(保留三個有效數字)(油泵頂桿BC約長189)例4某漁船在航行中不幸遇險，發出求救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁船在方位角為45、距離A為10海里的C處，并測得漁船正沿方位角為105的方向，以9海里的速度向某小島B靠攏，我海軍艦艇立即以21海里的速度前去營救，試問艦艇應按照怎樣的航向前進?并求出靠近漁船所用的時間(艦艇方位角為6647，小時即40分鐘)例5課本17頁例6三、小結 通過本節學習，要求大家在了解解斜三角形知識在實際中的應用的同時，掌握由實際問題向數學問題的轉化，并提高解三角形問題及實際應用題的能力四、作業1. 課本14頁練習 12. 課本22頁 1、2(*)3課本22頁312 應用舉例（二）教學目的：1進一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明確解斜三角形知識在實際中有著廣泛的應用；2熟練掌握實際問題向解斜三角形類型的轉化；3通過解斜三角形的應用的教學，繼續提高運用所學知識解決實際問題的能力教學重點：1實際問題向數學問題的轉化；2解斜三角形的方法教學難點：實際問題向數學問題轉化思路的確定授課類型：新授課課時安排：1課時教 具：多媒體、實物投影儀教學方法：自學輔導法在上一節學習的基礎上，引導學生根據上節所總結的轉化方法及解三角形的類型，自己嘗試求解應用題在解題的關鍵環節，教師應給予及時的啟發或點撥，以真正使學生解題能力得到鍛煉教學過程：一、復習引入：上一節，我們一起學習了解三角形問題在實際中的應用，了解了一些把實際問題轉化為解三角形問題的方法，掌握了一定的解三角形的方法與技巧這一節，繼續給出幾個例題，要求大家嘗試用上一節所學的方法加以解決二、講解范例： 例1課本15頁例3例2課本15頁例4例3課本16頁例5例3 據氣象臺預報，距S島300 的A處有一臺風中心形成，并以每小時30的速度向北偏西30的方向移動，在距臺風中心270 以內的地區將受到臺風的影響問：S島是否受其影響?若受到影響，從現在起經過多少小時S島開始受到臺風的影響?持續時間多久?說明理由例4：海中有一小島B，周圍38海里有暗礁，軍艦由西向東航行到A，望見島在北75東，航行8海里到C，望見島B在北6O東，若此艦不改變航向繼續前進，有無觸礁危險?三課堂練習1直線AB外有一點C，ABC6O，AB2OO，汽車以8O 速度由A向B行駛，同時摩托車以5O公里的時速由B向C行駛，問運動開始幾小時后，兩車的距離最小（答案：約13小時）2一貨輪航行到M處，測得燈塔S在貨輪的北偏東15相距20里處，隨后貨輪按北偏西30的方向航行，半小時后，又測得燈塔在貨輪的北偏東45，求貨輪的速度四小結五作業1 課本17頁 32 課本22頁4 3 課本23頁 5、7，應用舉例（三）教學目的：1進一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明確解斜三角形知識在實際中有著廣泛的應用；2熟練掌握實際問題向解斜三角形類型的轉化；3通過解斜三角形的應用的教學，繼續提高運用所學知識解決實際問題的能力教學重點：1實際問題向數學問題的轉化；2解斜三角形的方法教學難點：實際問題向數學問題轉化思路的確定授課類型：新授課一 正、余弦定理的應用回顧：（1）解三角形 （2）證明三角恒等式 （3）解決實際問題二應用舉例1 課本23頁102 課本23頁113據氣象臺預報，距S島300 的正東方向的A處有一臺風中心形成，并以每小時30的速度向北偏西30的方向移動，在距臺風中心270 以內的地區將受到臺風的影響問：（1）S島是否受其影響?（2）若受到影響，從現在起經過多少小時S島開始受到臺風的影響?持續時間多久?說明理由分析：設B為臺風中心，則B為AB邊上動點，SB也隨之變化S島是否受臺風影響可轉化為SB27O這一不等式是否有解的判斷，則需表示SB，可設臺風中心經過小時到達B點，則在ABS中，由余弦定理