29 2反證法課題學習 中點四邊形 1 體會反證法的含義 重點 2 理解反證法是一種間接證明命題的方法 重點 3 掌握用反證法證明一個命題的方法與步驟 重點 難點 4 使學生了解中點四邊形的概念 并能探究一個四邊形的中點四邊形的形狀 重點 難點 1 反證法 1 概念 證明命題時 不是直接從題設推出結論 而是從命題結論的 出發 引出 從而證明命題成立的方法 2 證明命題的一般步驟 假設結論的反面是 的 通過邏輯推理 推出與公理 已證的定理 定義或已知條件相矛盾 由矛盾說明假設 從而得到 正確 反面 矛盾 正確 不成立 原結論 2 中點四邊形 1 概念 順次連結四邊形的各邊 所組成的四邊形 2 性質 中點四邊形的每條邊都是原四邊形對角線的一半 且與相應對角線平行 中點 打 或 1 用反證法證明 若 a b 則a b 時 應假設a b 2 順次連結兩條對角線相等的四邊形四邊的中點得到的四邊形是菱形 3 順次連結對角線垂直的四邊形各邊中點所得到的四邊形是正方形 4 順次連結平行四邊形各邊中點所得到的四邊形是矩形 知識點1反證法 例1 用反證法證明 四邊形中至少有一個角是鈍角或直角 思路點撥 根據題設與結論 寫出已知 求證 然后按反證法的步驟進行證明 自主解答 已知 四邊形ABCD 求證 四邊形ABCD中至少有一個角是鈍角或直角 證明 假設四邊形ABCD中沒有一個角是鈍角或直角 則 A 90 B 90 C 90 D 90 于是 A B C D 90 4 360 這與四邊形內角和是360 相矛盾 所以四邊形ABCD中至少有一個角是鈍角或直角 總結提升 適用反證法證明的命題的特點1 結論本身是以否定形式出現的一類命題 2 有關結論是以 至多 或 至少 的形式出現的一類命題 3 關于唯一性 存在性的問題 4 結論的反面是比原結論更具體更容易研究的命題 知識點2中點四邊形 例2 2013 恩施中考 如圖所示 在梯形ABCD中 AD BC AB CD E F G H分別為邊AB BC CD DA的中點 求證 四邊形EFGH為菱形 思路點撥 連結梯形的兩條對角線 利用等腰梯形的對角線相等及三角形中位線定理證明四邊形EFGH是菱形 自主解答 連結AC G H分別是DC AD的中點 同理可得EF AC GH EF 連結BD 同理可得EH FG 四邊形EFGH是平行四邊形 在梯形ABCD中 AB CD AC BD EH GH 四邊形EFGH是菱形 總結提升 用對角線判斷中點四邊形1 如果原四邊形的對角線既不相等也不垂直 則其中點四邊形為平行四邊形 2 如果原四邊形對角線互相垂直 則其中點四邊形為矩形 如菱形的中點四邊形是矩形 3 如果原四邊形對角線相等 則其中點四邊形為菱形 如矩形的中點四邊形是菱形 4 如果原四邊形對角線互相垂直且相等 則其中點四邊形為正方形 如正方形的中點四邊形是正方形 題組一 反證法1 用反證法證明 a b 時應假設 A a bB a bC a bD a b 解析 選D a b的大小關系有a b a b a b三種情況 因而a b的反面是a b 因此用反證法證明 a b 時 應假設a b 2 證明命題 任何偶數都是4的倍數 是假命題可舉反例的數字為 A 3B 4C 8D 6 解析 選D 因為3不是偶數 不符合條件 故錯誤 4是偶數 且能被4整除 故錯誤 8是偶數 且是4的2倍 故錯誤 6是偶數 但是不能被4整除 故選D 3 用反證法證明命題 如圖 如果AB CD AB EF 那么CD EF 證明的第一個步驟是 A 假定CD EFB 假定CD不平行于EFC 已知AB EFD 假定AB不平行于EF 解析 選B 用反證法證明命題 如果AB CD AB EF 那么CD EF 證明的第一步應是 從結論的反面出發 假設CD不平行于EF 4 已知 如圖 直線a b被c所截 1 2是同位角 且 1 2 求證 a不平行b 證明 假設 則 這與 相矛盾 所以 不成立 所以a不平行b 解析 假設a平行b 則 1 2 兩直線平行 同位角相等 這與 1 2相矛盾 所以假設不成立 所以a不平行b 答案 a平行b 1 2兩直線平行 同位角相等 1 2假設 5 用反證法證明同一三角形中至少有兩個銳角 證明時應假設 解析 同一三角形中至少有兩個銳角的反面是同一三角形中最多有一個銳角 答案 同一三角形中最多有一個銳角 題組二 中點四邊形1 2013 張家界中考 順次連結等腰梯形四邊中點所得的四邊形一定是 A 矩形B 正方形C 菱形D 直角梯形 解析 選C 如圖連結AC BD E F G H分別是AD AB BC CD的中點 EFBD GH BD EF GH 四邊形EFGH是平行四邊形 又 EF GF 四邊形EFGH是菱形 2 若順次連結四邊形ABCD各邊的中點所得四邊形是矩形 則四邊形ABCD一定是 A 矩形B 菱形C 對角線互相垂直的四邊形D 對角線相等的四邊形 解析 選C 順次連結任意四邊形ABCD各邊的中點所得四邊形一定是平行四邊形 若順次連結四邊形ABCD各邊的中點所得四邊形是矩形 則四邊形ABCD一定是對角線互相垂直的四邊形 3 2013 泉州中考 如圖 順次連結四邊形ABCD四邊的中點E F G H 則四邊形EFGH的形狀一定是 解析 連結BD 因為點E H分別是邊AB AD的中點 所以EH是 ABD的中位線 所以EH BD 同理 FG BD 所以EH FG 且EH FG 所以四邊形EFGH是平行四邊形 答案 平行四邊形 4 2013 珠海中考 如圖 正方形ABCD的邊長為1 順次連結正方形ABCD四邊的中點得到第一個正方形A1B1C1D1 又順次連結正方形A1B1C1D1四邊的中點得到第二個正方形A2B2C2D2 依次類推 則第六個正方形A6B6C6D6的周長是 解析 第一個正方形A1B1C1D1的周長為第二個正方形A2B2C2D2的周長為第六個正方形A6B6C6D6周長是答案 5 如圖 依次連結矩形ABCD各邊中點 得到四邊形EFGH 1 四邊形EFGH是 2 證明你的結論 解析 1 四邊形EFGH是菱形 2 連結BD AC 矩形ABCD中 E F G H分別是AB BC C