第4課時 排列組合綜合題基礎過關1解排列組合題中常用的方法有直接法、間接法、兩個原理、元素位置分析法、捆綁法、插空法、 枚舉法、隔板法、對稱法；常用的數學思想主要有分類討論、思想轉化、化歸思想、對應思想.2解排列組合綜合題一般要遵循以下的兩個原則(1)按元素性質進行分類(2)按事情發生的過程進行分步.3處理排列組合綜合性問題時一般方法是先取(選)后排，但有時也可以邊取(選)邊排.4對于有多個約束條件的問題，先應該深入分析每個約束條件，再綜合考慮如何分類或分步，但對于綜合性較強的問題則需要交叉使用兩個原理來解決問題.典型例題例1. 五個人站成一排，求在下列條件下的不同排法種數：（1）甲必須在排頭；（2）甲必須在排頭，并且乙在排尾；（3）甲、乙必須在兩端；（4）甲不在排頭，并且乙不在排尾；（5）甲、乙不在兩端；（6）甲在乙前；（7）甲在乙前，并且乙在丙前；（8）甲、乙相鄰；（9）甲、乙相鄰，但是與丙不相鄰；（10）甲、乙、丙不全相鄰解析：（1）特殊元素是甲，特殊位置是排頭；首先排“排頭”有種，再排其它4個位置有種，所以共有：=24種（2）甲必須在排頭，并且乙在排尾的排法種數：=6種（3）首先排兩端有種，再排中間有種，所以甲、乙必須在兩端排法種數為：=12種（4）甲不在排頭，并且乙不在排尾排法種數為：2+=78種（5）因為兩端位置符合條件的排法有種，中間位置符合條件的排法有種，所以甲、乙不在兩端排法種數為=36種（6）因為甲、乙共有2！種順序，所以甲在乙前排法種數為：2！=60種（7）因為甲、乙、丙共有3！種順序，所以甲在乙前，并且乙在丙前排法種數為：3！=20種（8）把甲、乙看成一個人來排有種，而甲、乙也存在順序變化，所以甲、乙相鄰排法種數為=48種（9）首先排甲、乙、丙外的兩個有，從而產生3個空，把甲、乙看成一個人與丙插入這3個空中的兩個有，而甲、乙也存在順序變化，所以甲、乙相鄰，但是與丙不相鄰排法種數為=24種（10）因為甲、乙、丙相鄰有，所以甲、乙、丙不全相鄰排法種數為=84種變式訓練1：某棟樓從二樓到三樓共10級，上樓只許一步上一級或兩級，若規定從二樓到三樓用8步走完，則不同的上樓方法有（ ）A45種B36種 C28種D25種解：C. 8步走10級，則其中有兩步走兩級，有6步走一級一步走兩級記為a，一步走一級記為b，所求轉化為2個a和6個b排成一排，有多少種排法故上樓的方法有C28種；或用插排法例2. (1) 某校從8名教師中選派4名教師同時去4個遠地區支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能事去或同不去，則不同的選派方案菜有多少處？(2) 5名乒乓選手的球隊中，有2名老隊員和3名新隊員，現從中選出3名隊員排成1、2、3號參加團體比賽，則入選的3名隊員中至少有一名老隊員，且1、2號中至少有1名新隊員的排法有多少種？解：（1）分類：第一為甲丙都去，第二類不去共有種（2）分類：第一類兩名老隊員都去，第二類去一名老隊員共有種變式訓練2：某班新年聯歡會原定的六個節目已安排成節目單，開演前又增加了三個新節目，如果將這三個節目插入原來的節目單中，那么不同的插法種數是（ ）A504B210 C336D120 解：A504 故選A 例3. 已知直線ax+by+c=0中的系數a，b，c是從集合-3，-2，-1，0，1，2，3中取出的三個不同的元素，且該直線的傾斜角為銳角，請問這樣的直線有多少條？解：首先把決定“直線條數”的特征性質，轉化為對“a，b，c”的情況討論。設直線的傾斜角為，并且為銳角。則tan=0,不妨設ab,那么b0當c0時,則a有3種取法,b有3種取法,c有4種取法,并且其中任意兩條直線不重合,所以這樣的直線有334=36條當c=0時, a有3種取法,b有3種取法, 其中直線:3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0重合,所以這樣的直線有33-2=7條故符合條件的直線有7+36=43條變式訓練3：將5名大學生畢業生分配到某公司所屬的三個部門中去，要求每個部門至少分配一人，則不同的分配方案共有_種.解： 例4. 從集合1，2，3，20中任選3個不同的數，使這3個數成等差數列，這樣的等差數列可以有多少個？解：a，b，c a，b，c成等差數列 要么同為奇數，要么同為偶數，故滿足題設的等差數列共有AA180(個)變式訓練4：某賽季足球比賽中的計分規則是：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，一球 隊打完15場，積33分，若不考慮順序，該隊勝負平的情況共有多少種？解：設該隊勝負平的情況是：勝x場，負y場，則平15(xy)場，依題意有：x9 。故有3種情況，即勝、負、平的場數是：9，0，6；10，2，3；11，4，0小結歸納1排列組合應用題的背景豐富無特定的模式和規律可循，背景陌生時，必須認真