綜合與實踐：探尋神奇的幻方教學目標1綜合運用有理數混合運算、字母表示數及其運算，探索三階幻方的本質特征。2經歷觀察、猜想、歸納、類比等活動初步積累構造三階幻方的經驗。3進一步體驗合作交流、自主探究的學習方式。教學重點探索三階幻方的本質特征教學難點構造符合要求的三階幻方教法與學法指導:教法：情景體驗法、引導發現法。具體地，首先通過神話故事引入三階幻方，學生從圖形感受三階幻方的對稱美，然后設計一系列開放性的問題串引導學生獨立思考、大膽質疑、交流合作，從而引導學生借助有理數混合運算、字母表示數及其運算，揭示簡單的三階幻方的本質特征，最后讓學生應用歸納得到的本質特征嘗試構造滿足要求的三階幻方，初步獲取構造三階幻方的經驗。學法：小組討論、自主探究、合作交流教具準備：投影片教學過程：一、巧設情景，引入新課師語文課上我們學過很多古詩，大家能不能背一首？ 生能。背誦一首古詩。師其實，在數學中也有許多美妙古詩，今天老師就給大家帶來一首，請看：（出示投影片） 四海三山八仙洞，九龍王子一枝蓮。 二七六郎賞月半，周圍十五月團圓。學生先默讀這首詩，再齊聲讀這首詩。師要想解釋這首詩的意思，先讓我們先看看這首詩的來歷吧。（引入神話傳說）相傳三千多年前大禹治水的時候，有一只神龜出自洛水。龜背上刻有神奇的圖案。（出示投影片：龜背圖）圖2圖1 這個龜背圖很特別，用黑白圈來表示數，并用直線連接這9個數。你能說出它們分別代表哪些數嗎？學生回答。白色是單數，黑色是雙數。師這幅圖被稱為“洛書”，實際上是一個三階幻方，（即三行三列九個方格）如圖2（出示投影片2）。學生認識圖2。師由于洛書是9個數組成，故稱為“九宮”。我國的少數民族如：藏族和納西族都曾有“九宮圖”。這首詩就是當時贊美九宮圖的。九宮圖還有很多好聽的名字，如宋朝數學家楊輝曾給它起名“縱橫圖”，后來傳到外國，取名為“幻方”，意思是變幻莫測的方塊。幻方曾使大數學家歐拉、著名物理學家富蘭克林很感興趣。但是外國人研究幻方比我們的祖先晚了兩千多年。今天我們就來探尋神奇的幻方。教師板書課題。【 設計意圖：用一首古詩引入新課，可以激發學生強烈的求知欲；介紹神話故事和幻方的歷史，使學生對幻方簡單的了解，不僅有利于學生課余時間對幻方深入探究，還培養了學生民族自豪感。】二、明確任務 小組探究師同學們仔細觀察圖2的幻方，先獨立思考一下問題，然后小組討論你沒有解決的問題，10分鐘后，每個小組選派一名代表展示你們的答案，比一比哪一個小組完成的更好！教師出示學習任務。(投影片出示課本“議一議”)在如圖的三階幻方中：（1） 每行、每列、每條對角線上的三個數之和分別是多少？你能發現哪些相等的關系？ （2） 如果把和相等的每一組數分別連線，這些連線會構成一個怎樣的圖形？描述你得到的圖形有什么特點？ （3） 你能否改變幻方中數字的位置，使它們仍然滿足你剛才發現的那些相等關系？（4） 在你構造的幻方中，最核心的位置是什么？有沒有“成對”的數？（5） 你還有什么新的發現？ 學生對于1、2兩個問題可以獨立思考得到答案，問題3對于一般的學生只能得到12種答案，所以要發揮小組集體的力量來獲取更多的答案，為發現第4題的規律做準備。第5題也要求小組討論發現新規律。【設計意圖：學生根據教師布置的學習任務，通過獨立思考、小組討論、合作探究等形式，基本能掌握三階幻方的特點和構造三階幻方的方法，為下一步探究埋下伏筆。】三、展示交流 適時點撥師同學們討論時間到了，你們完成任務了嗎？學生自信地齊聲回答：完成了。師好，我們找小組的同學到黑板展示第1題，哪一個小組愿意帶頭？學生紛紛舉手，躍躍欲試。教師找一名學生展示答案。生1我們小組發現每行、每列、每條對角線上的三個數之和都等于15，所以它們都相等。師哪組同學到黑板連線一下，展示第2題。生2（畫圖如下）特點：“5”在中間，四個角上的數是偶數，其他位置的數是奇數。師你們小組畫出幾個符合條件的幻方？第x組同學展示你們的成果。生3到黑板畫幻方。其他小組同學觀察、思考、計算幻方是否符合條件。畫錯的其他同學訂正。他沒有想到的其他同學補充。師談談你是怎樣構造幻方的？生4我是把4和6會換，9和1互換，2和8互換，3和7互換構造的。師同學仔細看答案，你發現了什么現象？學生討論后回答。生5相當于外邊的數繞“5”轉圈圈。師很好，哪個小組的同學說一說第4題的答案呀？生6最核心位置的是正中間的那一個，有四對成對的數出現：4和6、3和7、2和8、1和9。師為什么“5”在正中間的位置呢？（估計大部分學生沒有認真思考這個問題，教師要引導學生從兩個方面思考）三個數的和等于15 的算式有哪些？生 這8個算式中“5”在四個算式中出現，它出現的次數最多，而中間位置的數字與4條線段關聯，因此最中間的數字必定是“5”。師我們能不能用字母表示數來解決這個問題呢/？我們不妨設這9個位置的數分別是a、b、c、d、e、f、g、h、i（如圖3），因為每行、每列、每條對角線三個數的和都等于15，你能寫出它們滿足的算式嗎？生寫出算式： 師我們最關心的數是中間位置的“e”，把含有“e”的算式找出來，然后相加。生，四式相加得： 即：因此最中間位置的數是5教師根據學生情況可以適當的點撥和講解。師最中間的位置很重要，所以詩中稱之為王子位。你能解釋開頭那首詩的意思了吧？學生解釋古詩的意思，特別是最后一句。師你還有什么新發現？讓學生大膽發言，教師要根據教學情況加以引導。【設計意圖：通過學生的展示交流，讓學生體驗綜合利用數學知識（有理數的運算和字母表示數）分析、抽象出幻方的特征，感受數學知識的內在聯系，加深了學生對三階幻方本質特征的了解和掌握，同時也有利于教師了解學情，進行二次備課，有的放矢，適時引導學生探究三階幻方本質特征。】四、構造幻方 方法共享活動一:三階幻方的構造師試將-2、-1、0、1、2、3、4、5、6填入到33的方格中，使得每行、每列、每條對角線上的三個數之和相等。學生根據剛才三階幻方的特點，實踐去構造滿足條件的幻方。師試將2、4、6、8、10、12、14、16、18填入到33的方格中，使得每行、每列、每條對角線上的三個數之和相等。【設計意圖：讓學生構造三階幻方是讓學生通過實踐來逐步顯現規律，教學中一定要留給學生充足的時間來操作、嘗試。】活動二：交流構造幻方的方法教師投影學生完成的作業，出示投影“想一想”，然后讓學生交流構造幻方的方法。師想一想：（1）你是怎樣解決上述問題的？（2）你認為怎樣的九個數可以滿足三階幻方？應怎樣把九個數填入幻方？結合你填好的幻方說說你的理由。（3）你還有什么新的猜想？生1回答（1）最中間的位置填入2，因為2在這9個數的中間，其余的8個數分成4組，-2和6、-1和5、0和4、1和3，第1組和第3組應該填在中間，其余兩組填在四個對角。生2回答（2）連線的九個數可以滿足三階幻方。等差數列的九個數可以滿足三階幻方。對于這兩個問題，教師要鼓勵學生大膽發言，讓更多的學生參與討論和交流，以便方法共享，經驗得到推廣。問題2的答案可能學生傾向于與原來的幻方對比是減去3、乘以2，這種類比、歸納、猜想的數學思想方法在教學中要注意滲透。【設計意圖：讓學生談談自己構造幻方的方法和道理，培養學生分享成功的經驗的良好學習習慣，在教學中要注意數學思想方法的滲透。】活動三、構造幻方方法介紹師同學們，我國宋代數學家楊輝是世界上第一個對幻方詳細研究的學者，并取得了豐碩成果，他總結出了“洛書”幻方的構造方法。（出示投影片）學生自學方法，教師簡單作解釋。師法國數學家梅齊利亞克創造了一種構造奇數幻方的方法-階梯法。口訣為“畫格輔助 九子斜排 送子回家 清除輔助”（出示投影）【設計意圖：通過這兩種方法的介紹，不是增加學生的負擔，相反是為了提高學生課余時間研究幻方的興趣，加深學生對構造幻方方法的深層探究，教師不可用時過多，只供學有能力的學生了解即可。】五、總結概括，整理知識1.本節課主要學習了什么知識？你有哪些收獲？學生回顧兩個目標：（1）幻方的特點：（2）構造幻方的方法2.這節課你的表現如何？今后還應怎樣努力？學生談談本節課學會哪些方面，還有哪些不足之處，結合解題過程出現的問題，今后如何改正這些錯誤。【設計意圖：讓學生梳理所學知識點，培養歸納概括能力和語言表達能力。評價自己的學習表現，有利于學生看到自己的優點和不足，以及今后改正的方向，同時也有助于學習習慣的培養。】六、布置作業1、（必做題）自行選取一組數構造一個三階幻方，使得每行、每列、每條對角線上的三個數之和都等于60.2、（選做題）用125這25個數構造一個五階幻方。【設計意圖：分層次作業的設置，為學生搭建不同高度的學習平臺，滿足不同層次學生學習數學的需要，鼓勵學有余力的學生課外自主探究。】板書設計探尋神奇的幻方一、幻方的特點： 二、幻方的構造 教學反思：本課是初中階段數學學學習中“綜合與探究”第一課，教學中首先以探尋三階幻方的本質特征為中