一 緒論 1 研究對象動力學是研究物體機械運動狀態的變化與作用于物體上的力之間的關系的一門學科 將物體的運動和力加以統一考慮 研究機械運動所具有的普遍規律 動力學基本方程 1 2 動力學與靜力學 運動學之間的關系靜力學 只研究物體的力系的合成與平衡問題 不考慮其運動 即不考慮力系的不平衡狀態 運動學 只研究物體作機械運動的幾何特征 只考慮了運動 不考慮引起物體機械運動狀態發生變化的原因 即不考慮物體的受力狀況 動力學 既研究物體上受力的情況 也需考慮其運動 靜力學和運動學都是動力學的基礎 2 事實上 各種物體之間的機械運動狀態的變化與物體的的存在著極為密切的聯系而不可分離 所以單純只研究受力和研究運動都不能對機械運動作出合理的研究 必須同時將力與運動聯系起來 加以統一研究 所以學習動力學就更具有重要性 3 3 兩類基本問題 1 已知運動求力 主要是指求約束反力 例如 曲柄滑塊機構 其運動規律可以求得 或者首先設計出來 故作用在滑塊上的蒸汽壓力應按一定的要求變化 2 已知力求運動如發射炮彈 飛機航行等受力已知 但發射炮彈要控制彈道曲線 飛機航行要控制運行的軌跡等 這就要求控制運動 4 又如起重機吊重 起步與制動時 作加速運動 運行過程中作勻速運動 所以在起步和制動過程中 要考慮由加速和減速引起的力 鋼繩是否能承受這個力 這就是已知運動要求力的問題 5 4 質點 質點系 1 質點 在所討論的問題中 其大小及形狀可以忽略不計 但要求考慮質量的點稱為質點 2 質點系 在運動中 相互靠一定的聯系而聯接在一起的一群質點 如曲柄連桿機構中 曲柄 連桿及滑塊都個為一質點 整體為一質點系 6 二 動力學基本方程 1 動力學基本定律第一定律 牛頓第一定律 慣性定律 任何物體都保持其靜止的和勻速直線運動的狀態 直至它受到其它物體的作用而被迫改變這種狀態時為止 這里所說的物體應理解為沒有轉動或其轉動可以不計的平動物體 即質點 7 慣性 任何物體在不受力作用時都有保持其運動狀態不變的屬性 物體的運動這一運動屬性稱為慣性 第一定律正是指出了這種屬性 所以又叫慣性定律 慣性運動 物體的勻速直線運動就稱為慣性運動 8 慣性坐標系 研究機械運動首先應建立參照坐標系 物體運動的狀況是隨所選的參照坐標系的不同而不同的 因此必然會出現這樣一種現象 即對某一參考系而言是作慣性運動的物體對另一參照系來說卻作變速運動 但物體及其所受的力并不因為所選的參照系的不同而改變 所以 第一定律能否成立與所選的參照系密切相關 9 慣性坐標系 凡第一定律 慣性定律 在其中能成立的參照系稱為慣性坐標系 工程實際中 所遇到的大多數的動力學問題 都可以把固結在地球表面坐標系看作是慣性坐標系 研究人造地球衛星或行星的運動時 則應分別選取地心或日心原點 且坐標軸在空間方向保持不變的坐標系作為慣性坐標系 10 同時 第一定律也表明了外力是物體獲得加速度的外部原因 第二定律 即使物體所獲得的加速度的大小與它所受的外力成正比 而與物體的質量成反比 加速度方向與外力的方向相同 11 第二定律闡明了物體的質量 加速度與它所受的力三者之間的關系 即為動力學基本方程 12 從上式可以看出 當物體在某個力的作用下獲得大小為一個單位的加速度時 則此物體的質量在數值上就與該力相等 所以 質量在數值上等于該物體獲得一個單位加速度時所需加的力 m的物理意義 13 可以看出 當 從 因此 質量小的物體慣性小 容易改變原來的運動狀態 質量大的物體慣性大 不易改變原來的運動狀態 所以 物體的質量反映了物體的慣性 即質量是物體慣性的量度 14 質量的單位 國際單位 Kg基本單位與導出單位 基本單位 在國際單位制 SI 中 質量的單位是千克 Kg 長度的單位是米 m 時間的單位是秒 s 導出單位 力的單位屬于導出單位 使質量為1Kg的物體獲得1米 s2的加速度所需加的力被取作為力的單位 稱為1牛頓 簡稱牛 符號為N 即 15 工程單位制 工程單位制中力的單位是基本單位 質量的單位為導出單位 規定為 質量為1Kg的物體置于北緯45度的海平面時該物體的所受的重力值取作為力的單位 稱為1公斤 力 或者說 將能使質量為1Kg的物體所受的重力值 取作為力的單位 稱為1公斤 力 即 1Kg 力 1Kg 9 8m s2 9 8N 上式為國際單位制及工程單位制中 力的兩種不同單位 公斤力與牛 之間的轉換關系式 16 在工程單位制中 質量的單位為 1工程質量單位 將在1公斤 力 的作用下能獲得1m s2的加速度的物體所具有的質量稱為1質量的單位 1工程質量單位 1公斤 力 秒2 米 9 8N s2 m 9 8Kg 該式為質量的兩種不同單位的換算關系 采用工程單位制時 如已知受力物體的重量p 以公斤為單位 則其質量為p g 17 牛頓第二定律的適用范圍 牛頓第二定律適合于慣性坐標系 18 附 精密儀器工業中 絕對單位制為厘米克秒制基本單位 用cm表示長度 g表示質量 s表示時間 導出單位 用達因 dyne 表示 1dyne 1g 1cm s2即 一克質量的物體獲得1cm s2的加速度時 作用于物體上的力為1dyne 19 第三定律 作用與反作用定律當甲物體以一力作用于乙物體時 則乙物體必對甲物體有一反作用力 作用力與反作用力等值 反向 共線 且分別作用于甲乙物體之上 該定律對于靜力和動力都適合 20 質點運動微分方程 DE 運動DE 指一個方程 該方程直接由牛頓第二定律導出 方程中包含了確定質點的變量對時間的變化率 即稱為質點運動微分方程 方程有多種形式 21 1 矢量形式的運動DE 22 3 直角坐標形式的運動DE 將矢量形式的運動DE各項所表達的直角坐標軸上進行投影 得到投影形式的DE 直角坐標形式的質點運動微分方程 組 23 特殊形式 質點沿平面曲線運動 質點沿直線運動 力系在y z方向上均平衡 24 4 自然軸 坐標 形式的運動DE若已知質點運動的軌跡 則可將矢量形式的運動微分方程兩端的投影到自然坐標軸 25 n b分別為軌跡的切線 法線及次法線軸 得 26 特殊情形 1 如果質點沿平面曲線運動 那么曲線上的點的密切面都在該平面上 2 如果質點作直線運動 則只要第一式 利用以上三種形式的直線運動微分方程 原則上就能解決有關質點運動學的所以問題 至于在具體應用時宜選取什么形式的運動微分方程 則需要根據具體的問題而定 27 質點動力學的問題分為兩類 第一類問題 微分問題 已知質點的運動 即已知質點的運動方程 或已知質點在某瞬時的速度或加速度 求作用于質點的未知力 第二類問題 積分問題 已知質點所受的力 求質點的運動方程或速度 兩類問題常常不能截然分開 常常在一個問題中就包含著這兩類問題 28 質點動力學第一類問題已知質點的運動 求作用在質點的力 如果已知質點的運動方程 求它們對時間的導數 于是由質點的運動微分方程即可求出作用在質點上的力 所以 這類問題可以歸結為微分問題 29 自由質點與非自由質點 自由質點 運動時不受約束的質點 如人造衛星 炮彈等 其運動由主動力和運動的起始條件決定的 非自由質點 運動時受到約束的質點 非自由質點的運動不僅決定于主動力和運動的起始條件 而且還與約束的性質有關 如自由質點或非自由質點的運動情況已知 要求出它所受的力 這類問題屬于第一類問題 30 解題方法 1 明確研究對象 畫出受力圖選取適當的坐標系 分析運動和受力 根據問題的已知條件建立適當的運動微分方程 31 由簡單的導數運算 可求得加速度 再建立運動微分方程 解出微分方程各未知力 即得需求的結果 將各力代入微分方程求解 32 例 汽車的質量m 1500kg 以勻速v 36km h在一段向上彎曲的圓弧路面上行駛 已知圓弧半徑R 100m 求汽車所受路面對它的法向反力的最大值 解 1 研究汽車 受力分析如圖 33 3 建立運動微分方程求解 由牛頓第二定律得出 2 速度分析如圖 勻速運動 34 汽車運動的軌跡為一段圓弧 故選取自然坐標形式的運動微分方程 故有 35 汽車作勻速運動 由上列方程得 36 當汽車達到最低點B時 且 將 代入得 37 由以上得計算可以看出 汽車在圓弧路面上行駛時 所受路面法向反力FN由兩部分組成 第一部分汽車靜止于任一點A處時由車重所引起的法向反力 稱為靜反力 第二部分是汽車因受路面的限制 而被迫改變運動方向而沿圓弧運動所需的向心力 也屬法向反力 稱為動反力 38 路面對汽車的法向反力等于靜反力與動反力之和 當法向反力達到其最大值 即汽車在B點處 時 其法向反力與法向靜反力的比值為 稱為動荷系數 表示物體按照已知條件運動時 所受的最大法向動反力是法向靜反力的倍數 動力學的問題中 因為動反力經常出現 所以應給予足夠重視 39 例2質量為1kg的重物M 系于長L 0 3m的線上 線的上端固定在天花板上的O點 重物在水平面內作勻速圓周運動而使懸線與鉛垂線間的夾角恒為60度 試求重物運動的速度和線上的張力 40 4 建立運動微分方程并求解因M點的軌跡已知為圓周 故可采用自然坐標形式的運動微分方程 41 由第1式知 v 常量 由第3式得 將TF值代入第2式得 即重物的速度為2 1m s 又懸線上的張力應與重物所受的拉力大小相等 其值為19 6kN 42 例套管A重FP 因受細繩牽引 而沿垂直桿向上滑動 細繩過小滑輪B而繞在鼓輪上 滑輪與桿的水平距離為L 當鼓輪勻角速轉動時 輪緣上各點速度的大小v 如不計滑輪半徑和摩擦 求以距離x表示的細繩的拉力 解 1 取套管A為研究對象 2 受力分析 重力FP 細繩拉力FT 桿對套管的約束反力FN 43 3 建立如圖坐標系 4 A點的運動微分方程 需要先找出A點的運動方程x f t 再求2階導數 代入 1 中求解 44 設初瞬時 t 0 套管位于A0 A0至滑輪B的一段繩長為一定值S0 又在瞬時t套管位于A A至滑輪B的一段繩長為S 則S S0就是在從初瞬時到瞬時t所繞在鼓輪上的繩長 它等于初瞬時繩上位于鼓輪邊緣處的點在同一時間t內所過的弧長 故有 由圖中幾何關系得 套管A的運動方程 45 將運動方程等式兩端對時間t求導 得 導管A的速度與坐標之間的關系 A點的加速度為 46 以x表示的繩的拉力 由于v0 L x均為正 而 均為負 說明套管A沿鉛垂桿加速上升 將值代入得 47 小結 解動力學第一問題 步驟如下 1 分析質點的受力情況 對于非自由質點 除了主動力外還受到約束反力的作用 一般來說 約束反力是未知力 但其作用線和指向往往可根據約束的性質決定 根據受力情況準確的畫出質點的脫離體及受力圖 48 2 分析質點的運動情況 按題意給出的運動條件 分析質點的軌跡 速度和加速度 并由此確定所采用的微分方程的形式 3 列出運動微分方程 并將已知條件代入以求出未知力 49 4 質點動力學第二類問題質點動力學的第二類問題為已知作用于質點上的力 需要求出質點的速度和運動方程等 這類問題恰于第一類問題相反 可歸結為對運動微分方程的積分問題 50 例如 若已知質點所受的力在坐標軸上的投影x y z和F Fn 要求出質點的運動規律 則必須對于運動DE 積分 并根據運動的初始條件以確定積分常量 51 由于力可以是多種多樣的各種函數 因此解決這類問題沒有統一的方法 要根據力的類型而決定 又由于積分問題比微分問題困難 不是所有的函數都可求得積分的解析解 還可能采用數值解 或者采用計算機進行數值解 52 1 可將通常遇到的力分為以下幾類 1 常力 如地面附近的物體所受的重力 均勻靜電場中運動的帶電質點所受的電場力等 2 力是質點坐標 即位置 的函數 如彈性力 萬有引力以及兩帶電物體間的靜電力等 3 力是質點速度的函數 介質 氣體或帶電體 中的運動物體所受的介質阻力等 53 4 力是時間的函數 機器啟動或停止過程中馬達的牽引力 帶電質點在變電場 電流隨時間而變化 中所受的力 工程結構所受的地震力等等 54 在實際問題中 質點往往受到多個不同類的力的同時作用 例如 空中飛行的炮彈同時受到重力和介質阻力的作用 而如果是飛行中的飛機 則除重力與介質阻力外還會受到噴氣推進力等等的作用 質點所受的力復雜 又不同類 微分方程中包括了幾種不同類型的函數 象這類問題 就找不到解析解 只能采用近似解 55 2 例題力是常力和力是質點坐標的函數例 一長為L 質量不計的細繩上端固定于O點 下端系一質量為m的小球并可在沿鉛垂平面內擺動 如圖 已知當繩的擺角為 0 小球的速度為v0 試求小球在任意位置時的速度 56 解 1 研究對象 小球A 2 受力分析 重力mg 繩的約束反力FT 3 運動分析 小球作已知的圓周運動 半徑為L 任一瞬時小球的速度沿該位置的切線方向 57 因其運動軌跡已知為一圓弧運動 所以建立自然坐標形式的運動微分方程 4 建立運動微分方程 58 兩端積分得 小球在任一位置時的速度 59 例由地球表面上任意一點沿鉛垂方向向上發射物體 如圖 試求此物體射出后不致返回地球所需的發射速度 60 解 1 研究質點M 2 M點受萬有引力的作用 由牛頓定律知物體所受地球引力的大小為 是引力常數 M是物體的質量 r是物體到地心的距離 61 以地心為坐標原點 x軸鉛垂向上 則物體在任一位置時所受的引力F在x軸上的投影為 的確定 當物體位于地面時 它所受地心引力為重力 因而有 62 3 運動分析 M直線運動 4 建立直角坐標形式的運動微分方程 63 采用分離變量求解微分方程 代入上式得 64 設發射速度為v0 物體在空中任意位置時的速度為v 則 故得 65 當物體的坐標x趨近無窮大時 它所受到的地球引力應趨近于0 這時 即使物體的速度v已減到0 物體也不會返回地球 于是由上式可得上拋物體一去不返的最小發射速度為 地球