2016 年高考數學理試題分類匯編 數列 一、選擇題 1、（ 2016 年上海高考） 已知無窮等比數列 q ，前 n 項和為 得 ） （ A） 1 （ B） 1 （ C） 1 （ D） 1 【答案】 B 2、（ 2016 年全國 I 高考） 已知等差數列 9 項的和為 27， 10=8a ，則 100=a （ A） 100 （ B） 99 （ C） 98 （ D） 97 【答案】 C 3、（ 2016 年全國 考） 定義 “ 規(guī)范 01 數列 ” 下： 有 2m 項，其中 m 項為 0， m 項為 1，且對任意 2，12, , , ka a 的個數不少于 1 的個數 .若 m=4，則不同的“規(guī)范 01 數列”共有 （ A） 18 個 （ B） 16 個 （ C） 14 個 （ D） 12 個 【答案】 C 4、（ 2016 年浙江高考） 如圖，點列 別在某銳角的兩邊上，且1 1 2 2,n n n n n A A A A n *N， 1 1 2 2,n n n n n B B B B n *N，（ P Q P Q 表 示 點 與 不 重 合） . 若1n n n n n n B S A B B ， 為 的 面 積 ， 則A B 2 C D 2【答案】 A 二、填空題 1、（ 2016 年北京高考） 已知 n 項和，若1 6a ，350，則6= 【答案】 6 2、（ 2016 年上海高考） 無窮數列 k 個不 同的數組成，n 項和 3,2 k 的最大值為 _. 【答案】 4 3、（ 2016 年全國 I 高考） 設等比數列 科 網滿足 a1+0， a2+，則 最大值為 . 【答 案】 64 4、（ 2016 年浙江高考） 設數列 前 n 項和為 2=4， =2， n N*，則 ， . 【答案】 1 121 三、解答題 1、（ 2016 年北京高考） 設數列 A：1a，2a, )n ( 2 )的每個正整數 k 都有ka稱 n 是數列 A 的一個 “ G 時刻 ” )(數列 A 的所有 “ G 時刻 ” 組成的集合 . （ 1）對數列 A： 2， 1， 3，寫出 )(所有元素； （ 2）證明：若數列 A 中存在a，則 )(； （ 3）證明：若數列 A 滿足1（ n=2,3, ,N ） ,則 )(元素個數不小于 如果 m 則對任何ii ,1. 從而 )(且1 ii 又因為(的最大元素，所以 2、（ 2016 年山東高考） 已知數列 n 項和 n， 1.n n na b b （ ）求數列 （ ） 令 1( 1) .( 2 )求數列 n 項和 【解析】 ( )因為數列 n 項和 3 2 ， 所以 111a ，當 2n 時， 56)1(8)1(383 221 又 56 n 也成立，所以 56 又因為 公差為 d ，則 21 當 1n 時， 112 1 ；當 2n 時， 172 2 ， 解得 3d ，所以數列 32 ( )由 111 2)33()33()66()2()1( 于是 1432 2)33(2122926 nn ， 兩邊同乘以，得 2143 2)33(2)3(29262 ， 兩式相減，得 21432 2)33(23232326 222 2)33(21 )21(2323 nn n 222 232)33()21(2312 3、（ 2016 年上海高考） 若無窮數列 要 *( , )a p q N，必有11，則稱 . （ 1）若 ，且1 2 4 51 , 2 , 3 , 2a a a a ，6 7 8 21a a a ，求3a； （ 2）若無窮數列 窮數列 51，5181，n n na b c判斷 ，并說明理由； （ 3）設 知 *1 s i n ( )n n na b a n N 對任意1, ”的充要條件為“ . 【解析】 試題分析：（ 1）根據已知條件，得到6 7 8 3 32a a a a ，結合6 7 8 21a a a 求解 （ 2）根據 0 ， 3，寫出通項公式，從而可得 52 0 1 9 3 nn n na b c n 通過計算1582，2 48a ，6 3043a ，26即知 （ 3）從充分性、必要性兩方面加以證明，其中必要性用反證法證明 試題解析：（ 1）因為52所以63743，852 于是6 7 8 3 32a a a a ，又因為6 7 8 21a a a ，解得3 16a （ 2） 0 ， 3， 所以 1 2 0 1 2 0 1 9nb n n ， 1 518 1 33 52 0 1 9 3 nn n na b c n 1582，但2 48a ，6 3043a ，26 所以 （ 3） 證 充分性： 當 1s b a 對任意給定的1a，只要則由11s i n s i a b a ，必有11 充分性得證 必要性： 用反證法證明假設 存在 k ， 使得12 kb b b b ，而1 下面證明存在滿足1 s n na b a 的 得1 2 1ka a a ，但21 設 s i nf x x x b ，取 m ，使得 ，則 0f m m b ， 0f m m b ，故存在 c 使得 0 取1因為1 s b a （ 1 ），所以21s i na b c c a ， 依此類推，得1 2 1ka a a c 但2 1 1 1s i n s i n s i nk k k ka b a b c b c ，即21 所以 ，矛盾 必要 性得證 綜上，“對任意1a， ”的充要條件為“ 4、（ 2016 年四川高考） 已知數列 首項為 1，前 n 項和，1 1，其中q0， * . （ I）若2322 , , 2a a a 成等差數列，求 (雙曲線 222 1的離心率為2 53e ，證明：12 1433ne e e . 【答案】（） 1= ）詳見解析 . 解析： （ ）由已知，1 2 11 , 1 ,n n n nS q S S q S+ + += + = +兩式相減得到21,1q a n+=?. 又由211S 得到21a 故1=對所有 1n 都成立 . 所以，數列 ，公比為 q 的等比數列 . 從而 1= 由2322 + 2a a a， ，成等比數列，可得322 =3 2即 22 =3 2,，則 ( 2 1)( 2 ) 0q + q -=， 由已知 , 0q ，故 =2q . 所以 1*2 ( )N. （ ）由（ ）可知， 1 所以雙曲線 22 2 1離心率 2 2 ( 1 )11 a q -= + = + . 由2 51 3+ =解得 43q=. 因為 2 ( 1 ) 2 ( 1 )1+ 所以 2 ( 1 ) 1 *1+ q k?N（ ）. 于是112 11+ 1qe e e q q + 鬃 ? + 鬃 ?= -， 故1 2 3 1433e e 鬃 ?. 5、（ 2016 年天津高考） 已知 項均為正數的 等 差 數列， 公差為 d ， 對任意的 ,是等 比 中項 . ( )設 2 2 *1 ,n n nc b b n N ，求證： 差 數列； ( )設 2 2*1 1, 1 ,n d T b n N ， 求證： 【解析】 221 1 2 1 12n n n n n n n nC b b a a a a d a 21 2 12 ( ) 2n n n d a a d 為定值 22 1 3 2 11( 1 )n kn k b C C C 21 ( 1 ) 42 d 21 2 ( 1 )n C d n n （ *） 由已知 2 2 21 2 1 2 3 1 2 2 12 2 ( ) 4C b b a a a a d a d a d d 將 21 4入（ *）式得 22 ( 1)nT d n n2111 1 12 ( 1 )d k k 212d，得證 6、（ 2016 年全國 考）n 項和，且17=1 2 8 記 = 中 x 表示不超過 x 的最大整數，如 0 0 9 = 1， （）求1 11 101b b b， ，； （）求數列 000 項和 【解析】 設 747 28， 44a， 4113， 1( 1)na a n d n lg 0 ， 11 11lg 1 1 ， 101 101 101lg 記和為 1000 1 2 1000T b b b 1 2 1000lg lg a a 當0 時，1 2 9 ， ， ，； 當1 l n時，10 11 99n ， ， ，； 當2 時，100 101 999 ， ， ，； 當時，1000n 10000 9 1 90 2 900 3 1 1893T 7、（ 2016 年全國 考） 已知數列 ，其中 0 （ I）證明 求其通項公式； （ 5 3132S ，求 【解析】 8、（ 2016 年浙江高考） 設數列 2nn ， n （ I）證明： 1122， n ； （ 32， n ，證明： 2， n （ 取 n ，由（ I）知，對于任意 ， 1 1 2 11 1 2 12 2 2 2 2 2 2 2n m n n n n m mn m n n n n m ma a a a a a a a 111 1 12 2 2n n m 112n， 故 11 222m nn 11 1 3 22 2 2 3224 從而對于任意 ，均有 9、 (2016江蘇省高考 ) 記 1, 2, 100U ， *na n N和，若,定義0若 12, kt t t ，定義+ kt t tS a a a = 1,3,66 3 66+TS a a *na n N是公比為 3 的等比數列，且當 = 2,430T. (1) 求數列 (2) 對任意正整數 1 100，若 1, 2, k ，求證：1； （ 3）設 D U S S ,求證：2C C D S. （ 1）由已知得1*1 3,a n N . 于是當2,4T時，2 4 1 1 13 27 30rS a a a a a . 又30130 30a ，即1a. 所以數列,nn n N. （ 2）因為1, 2, , ，3 0,n N ， 所以112 11 3 3 ( 3 1 ) 32k k a . 因此，1. （ 3）下面分三種情況證明 . 若 2C C D C D D D S S S S S . 若 是 的子集，則22C C