精品文檔例1 路燈離地面高度為H，一個身高為h 的人，在燈下水平路面上以勻速度步行。如圖3-4所示。求當人與燈的水平距離為時，他的頭頂在地面上的影子移動的速度的大小。解: 建立如右下圖所示的坐標， 時刻頭頂影子的坐標為，設頭頂影子的坐標為，則由圖中看出有則有所以有;例2 如右圖所示，跨過滑輪C 的繩子，一端掛有重物B，另一端A被人拉著沿水平方向勻速運動，其速率 。A離地高度保持為h，h =1.5m。運動開始時，重物放在地面B0處，此時繩C在鉛直位置繃緊，滑輪離地高度H = 10m，滑輪半徑忽略不計，求： (1) 重物B上升的運動方程； (2) 重物B在時刻的速率和加速度； (3) 重物B到達C處所需的時間。 解：(1)物體在B0處時，滑輪左邊繩長為l0 = H-h，當重物的位移為y時，右邊繩長為因繩長為 由上式可得重物的運動方程為(SI)(2)重物B的速度和加速度為 (3)由知 當時，。此題解題思路是先求運動方程，即位移與時間的函數關系，再通過微分求質點運動的速度和加速度。例3 一質點在xy平面上運動，運動函數為x = 2t, y = 4t2-8(SI)。 (1) 求質點運動的軌道方程并畫出軌道曲線； (2) 求t1=1s和t2=2s時，質點的位置、速度和加速度。 解：(1) 在運動方程中消去t，可得軌道方程為，軌道曲線為一拋物線如右圖所示。 (2) 由可得: 在 t1=1s 時，在 t2=2s 時, 例4 質點由靜止開始作直線運動，初始加速度為a0，以后加速度均勻增加，每經過 秒增加a0，求經過 t 秒后質點的速度和位移。 解：本題可以通過積分法由質點運動加速度和初始條件，求解質點的速度和位移。 由題意可知，加速度和時間的關系為:根據直線運動加速度的定義因為t = 0 時，v0=0，故 根據直線運動速度的定義有因為t = 0 時，x0=0 ，則位移為例5 (1) 對于作勻速圓周運動的質點，試求直角坐標和單位矢量 i 和 j 表示其位置矢量r, 并由此導出速度v 和加速度a 的矢量表達式。 (2) 試證明加速度a的方向指向軌道圓周的中心。 解:(1)由右圖可知 式中，且根據題意是常數，所以，有 又因 所以 (2) 由上式可見，a與r方向相反，即a指向軌道圓周中心。 6 一張致密光盤(CD)音軌區域的內半徑 R = 2.2cm，外半徑為R = 5.6cm, 如右圖所示，徑向音軌密度N = 650條/mm。在CD唱機內，光盤每轉一圈，激光頭沿徑向向外移動一條音軌，激光束相對光盤是以的恒定速度運動的。這張光盤的全部放音時間是多少？激光束到達離盤心 r = 5.0cm 處時，光盤轉動的角速度和角加速度各是多少？解: (1) 以r表示激光束打到音軌上的點對光盤中心的徑矢，則在dr寬度內的音軌長度為2rNdr 。激光束劃過這樣長的音軌所用的時間為 dt = 2rNdr/v 。由此得光盤的全部放音時間為(2) 所求角速度為所求角加速度為 例3 兩個質量均為m 的質點，用一根長為 2a、質量可忽略不計的輕桿相聯，構成一個簡單的質點組。如圖5-4所示，兩質點繞固定軸 OZ以勻角速度 轉動，軸線通過桿的中點O與桿的夾角為 ，求質點組對O點的角動量大小及方向。解: 設兩質點A、B在圖示的位置，它們對O點的角動量的大小相等、方向相同（與OA和 mv 組成的平面垂直）。角動量的大小為例6 如圖5-7所示，兩物體質量分別為m1和m2，定滑輪的質量為m，半徑為r，可視作均勻圓盤。已知m2與桌面間的滑動摩擦系數為，求m1下落的加速度和兩段繩子中的張力各是多少？設繩子和滑輪間無相對滑動，滑動軸受的摩擦力忽略不計。 解： 對m1，由牛頓第二定律對m2，由牛頓第二定律 對滑輪，用轉動定律 又由運動學關系，設繩在滑輪上不打滑 聯立解以上諸方程，可得 例7 如圖5-8所示。兩個圓輪的半徑分別為R1和R2，質量分別為M1和M2。二者都可視為均勻圓柱體而且同軸固結在一起，可以繞一水平固定軸自由轉動。今在兩輪上各繞以細繩，繩端分別掛上質量是m1和m2的兩個物體。求在重力作用下，m2下落時輪的角加速度。解： 如圖示，由牛頓第二定律 對m1： 對m2： 對整個輪，由轉動定律 又由運動學關系聯立解以上諸式，即可得 例8 固定在一起的兩個同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水平對稱軸OO轉動，設大小圓柱體的半徑分別為 R 和 r，質量分別為 M 和 m，繞在兩柱體上的細繩分別與物體 m1 和物體 m2 相連，m1 和 m2 分別掛在圓柱體的兩側，如圖5-9（a）所示。設 R = 0.20m，r = 0.10m，m = 4kg，M = 10kg，m1= m2= 2kg，且開始時m1、m2離地均為h = 2m，求： （1）柱體轉動時的角加速度；（2）兩側細繩的張力；（3）m1經多長時間著地？ （4）設m1與地面作完全非彈性碰撞，m1著地后柱體的轉速如何變化？ 解： 設a1、a2分別為m1、m2的加速度，為柱體角加速度，方向如圖5-9(b)所示。 （1）m1、m2的平動方程和柱體的轉動方程如下：式中： ; ; ; ； 聯立（1）、（2）、（3）式，解得角加速度為 代入數據后得 （2） 由(1)式得 由(2)式得 （3）設m1著地時間為t，則 （4）m1 著地后靜止，這一側繩子松開。柱體繼續轉動，因只受另一側繩子拉力的阻力矩，柱體轉速將減小，m2減速上升。 討論: 如果只求柱體轉動的角加速度，可將柱體、m1、m2選做一個系統，系統受的合外力矩 ，則加速度 本題第二問還要求兩側細繩的張力，故采用本解法是必要的，即分別討論柱體的轉動、m1和 m2 的平動。 例9 一輕繩繞過一質量可以不計且軸光滑的滑輪，質量皆為m 的甲、乙二人分別抓住繩的兩端從同一高度靜止開始加速上爬，如圖5-10所示。 （1）二人是否同時達到頂點？以甲、乙二人為系統，在運動中系統的動量是否守恒？機械能是否守恒？系統對滑輪軸的角動量是否守恒？ （2）當甲相對繩的運動速度u是乙相對繩的速度2倍時，甲、乙二人的速度各是多少？ 解： （1）甲、乙二人受力情況相同，皆受繩的張力T，重力mg，二人的運動相同，因為 所以二人的加速度相同，二人的速度為因初速度v0 = 0，二人在任一時刻的速度相同，上升的高度相同，所以同時到達頂點。 以二人為系統，因二人是加速上升，所受合外力2(T-mg) 0，故系統的動量不守恒。以人和地球為系統，張力T對系統做功，因而系統的機械能不守恒。顯然人在上升中機械能在樣加。但甲、乙二人相對滑輪軸的合外力矩（M = TR -TR + mgR-mgR）等于零，系統對軸的角動量守恒。 （2）設甲的速度 、乙的速度為 ，從解（1）知二人的速度相等，即 ，這個結果也可用角動量守恒得到，因故 設繩子的牽連速度為v0，設滑輪左側繩子的v0向下，那么滑輪右側的v0一定向上，根據速度合成定理所以 則討論:由于人用力上爬時，人對繩子的拉力可能改變，因此繩對人的拉力也可能改變，但甲、乙二人受力情況總是相同，因此同一時刻甲、乙二人的加速度和速度皆相同，二人總是同時到達頂點。例12 一質量為M，半徑為R，并以角速度旋轉著的飛輪，某瞬時有一質量為 m 的碎片從飛輪飛出。假設碎片脫離圓盤時的瞬時速度方向正好豎直向上，如圖5-11所示。求余下圓盤的角速度、角動量。 解：破裂瞬間，系統對轉軸的合外力矩為零，系統角動量守恒得余下圓盤角速度不變。 余下圓盤的角動量例13 赤道上有一高樓，樓高h（圖5-12）。由于地球自轉，樓頂和樓根對地心參考系都有線速度。 （1）證明：樓頂和樓根的線速度之差為 ，其中 為地球自轉角速度。 （2）證明：一物體由樓頂自由下落時，由于地球自轉的影響，著地點將在樓根東側約 處。這就是落體偏東現象。計算 h = 30m 時，著地點偏東的距離。（此結果利用了物體下落時“水平”速度不變這一近似處理。實際上物體下落時應該是地球對自轉軸的角動量保持不變。利用這一點，并取樓高對地球半徑之比的一級近似，則可得更有為準確的結果 。） 證：（1）樓頂的線速度為 樓根的線速度為 。二者之差 。 （2）將樓所在處的地面局部視為向東以速度 平移，則落體下落時間為 而著地時偏東的距離為 以 代入上式可得 例15 一個內壁光滑的圓環型細管，正繞豎直光滑固定軸 OO自由轉動。管是剛性的，環半徑為R 。一質量為 m 的小球靜止于管內最高點A處，如圖5-14所示。由于微小擾動，小球向下滑動，試判決小球在管內下滑過程中，下列三種說法是否正確，并說明理由。 （a）地球、環管與小球系統的機械能不守恒。（b）小球的動量不守恒。 （c）小球對OO軸的角動量守恒。 辨析 （a）不正確。對小球、環管、地球系統，外力為零，外力的功當然為零，環管與小球間的正壓力 N 和 N是一對非保守內力。在小球下滑過程中，小球受管壁的壓力N（與管壁垂直）始終與小球相對管壁的速度方向（與管壁相切）垂直，所以這一對內力做功之和為零，而且與參考系的選擇無關。系統中只有保守內力（重力）做功，系統的機械能守恒。 （b）正確。小球在下滑過程中始終受到管壁的壓力和重力，而此二力的方向不同，所以合力不為零，使得小球的動量不斷變化。 （c）不正確。小球在下滑過程中受重力和管壁的壓力，重力和OO軸平行，重力的軸向力矩恒為零，但管壁對小球的壓力方向不通過OO軸，對OO軸有力矩，所以小球對OO的角動量在變化，角動量不守恒。例如小球在位置 A 對OO軸的角動量為零，在 B 處小球有垂直于環半徑的水平分速度，它對OO軸的角動量不再是零，到達最低點C 時，對OO軸的角動量又等于零。 例1 一條均勻鏈條，質量為m，總長為l，成直線狀放在桌面上，如圖6-8所示，設桌面與鏈條之間的摩擦系數系數為 。現已知鏈條下垂長度為a時鏈條開始下滑，試計算鏈條剛好全部離開桌面時的速率。 解：運用動能定理計算此題，鏈條下落過程有重力、摩擦力做功，根據動能定理 當鏈條下垂y再繼續下垂 時，重力功 為 全過程重力的功 桌面摩擦力在鏈條下滑時做的功為 代入動能定理 解出 例2在質量m、半徑R 的圓盤形定滑輪上跨一輕繩，在繩一端施一恒力 ，另一端系一質量m，邊長為L的立方體，開始時立方體上端面正好與密度為 的液面重合，并在繩子拉動下由靜止開始上升，如圖6-9。 求：(1) 當立方體一半露出液面時，滑輪與立方體間繩張力； (2) 立方體剛離開液面時的速度。 解：(1) 立方體與滑輪受力分別如圖6-10、圖6-11所示。 當立方體露出一半時浮力 對立方體，由牛頓第二定律 對滑輪，由轉動定律 又由角量與線量關系 解得 (2) 取立方體、滑輪、繩、地球為系統 做功的外力有 ， 無非保守內力做功 設立方體剛離開液面時速度為v，此時滑輪角速度為 ，有 由功能原理 解得： 例3在光滑水平桌面上放著一靜止的木塊，其質量為M，質量為m的子彈以水平速度 打擊木塊。設子彈在木塊中鉆行時受到恒定阻力 ，求子彈在木塊中鉆行的距離。 解：碰撞過程中，子彈在木塊中鉆行，因受阻力而減速，木塊則加速直至和子彈的速度相等為止。系統水平方向不受外力，動量守恒。取子彈前進方向為正，碰撞結束時子彈和木塊的共同速度為v，則有 對于木塊這個質點系，在碰撞過程中，它受的外力為 ，根據質心運動定理，質心對地的加速度 相對于木塊這個非慣性系，研究子彈的運動時，必須添加慣性力。在該系統中應用動能定理，有 子彈在木塊中鉆行的距離為 例4在一輛小車上固定裝有光滑弧形軌道，軌道下湍水平，小車質量為m，靜止放在光滑水平面上，今有一質量也為m，速度為v的鐵球，沿軌道下端水平射入并沿弧形軌道上升某一高度，然后下降離開小車(如圖6-12所示)。 (1) 鐵球離開小車時相對地面的速度多大？ (2) 鐵球沿弧面上升的最大高度h是多少？ 解：(1) 選鐵球與車為系統，對鐵球以 水平射入這一過程進行考察，因系統水平方向不受外力，故水平方向動量守恒。設鐵球離開小車時對地面的速度為 ，小車的速度為 ，則有 (1) 在上述過程中，只有重力做功，如果把地球選進系統，系統的機械能守恒，取軌道水平處為勢能零點 (2) 由式(1)、(2)可得 即鐵球離開小車時對地面速度為零。 (2) 當鐵球上升最大高度h時，它相對于小車的速度為零，因而它對地具有與小車相同的水平速度 ，上升過程中鐵球、小車與地球系統的機械能守恒，勢能零點取軌道水平處。 (3) 同一過程中鐵球與小車系統水平方向的動量守恒，于是 (4) 聯立(3)、(4)兩式可得 例5勁度系數為k的彈簧，一端固定于墻上，另一端與質量為m1的木塊A相接，A與質量為m2的木塊B用輕繩相連，整個系統放在光滑水平面上，如圖6-13所示，然后以不變的力F向右拉m2，使m2自平衡位置由靜止開始運動。求木塊A、B系統所受合外力為零時的速度，以及此過程中繩的拉力T對m1所做的功，恒力F對m2做的功。 解：設A、B系統合外力為零時的速度為v，彈簧的伸長量為x，則外力 (f為彈簧對A的拉力) 所以 對A、B組成的系統運用動能定理 A內力表示連結A、B的繩張力做的功，因繩不變形，物體A、B的位移相同，故 將 代入上式得 恒力F做功 以A為對象，運用動能定理 解得拉力的功 例6如圖6-14所示，質量為M，長為l的均勻細桿，可繞A端的水平軸自由轉動，當桿自由下垂時，有一質量為m的小球，在離桿下端的距離為a處垂直擊中細桿，并于碰撞后自由下落，而細桿在碰撞后的最大偏角 ，試小球擊中細桿前的速度。 解：球與桿碰撞瞬間，系統所受合外力矩為零，系統碰撞前后角動量守恒 (1) 桿擺動過程機械能守恒 (2) (3) 聯立(1)、(2)、(3)式，解得小球碰前速率為 例7一質量為M，半徑為R，并以角速度 旋轉著的飛輪，某瞬時有一質量為 m 的碎片從飛輪飛出。假設碎片脫離圓盤時的瞬時速度方向正好豎直向上，如圖6-15所示。(1) 問碎片能上升多高？ (2) 求余下圓盤的角速度、角動量和轉動動能。 解：(1) 碎片m的速率 ，碎片上升過程機械能守恒 解得 (2) 破裂瞬間，系統對轉軸的合外力矩為零，系統角動量守恒 得 余下圓盤角速度不變。 余下圓盤的角動量 余下圓盤的轉動動能 例8如圖6-16所示，從太陽系外飛入太陽系的一顆流星離太陽最近的距離為 ，這時它的速率為 。若不考慮其他行星的影響，試求這顆流星在進入太陽系之前的速率和它飛向太陽的瞄準距離。 解：對流星飛經太陽附近的過程，由機械能守恒可得 由此得流星進入太陽系之前的速率為 流星受太陽的引力總指向太陽，流星對太陽的角動量守恒 流星飛向太陽的瞄準距離為 例12mol氫氣在溫度為300K時體積為0.05m3。經過(1)等溫膨脹；或(3)等壓膨脹，最后體積都變為0.25m3。試分別計算這三種過程中氫氣對外做的功并說明它們為什么不同？在同一p-V圖上畫出這三個過程的過程曲線。解：(1) 絕熱膨脹： (2) 等溫膨脹(3) 等壓膨脹由于各過程的壓強不同，所以在體積變化相同的情況下，氣體對外做的功也不同，這在p-V圖(圖20-6)上看得很清楚：各過程曲線下的面積不同。 例2使一定質量的理想氣體的狀態按圖20-7中的曲線沿箭頭所示的方向發生變化，圖線的BC段是以軸和V軸為漸近線的雙曲線。(1) 已知氣體在狀態A時的溫度 ，求氣體在B，C和D狀態時的溫度。(2) 從A到D氣體對外做的功總共是多少？解：(1) AB為等壓過程： ，BC為等溫過程： ；CD為等壓過程： 。(2) 例3分別通過下列準靜態過程把標準狀態下0.014kg氮氣壓縮為原體積的一半。(1)等溫過程；(2)絕熱過程；(3)等壓過程。求：在這些過程中，氣體內能的改變，傳遞的熱量和外界對氣體所做的功。分析依題意氮氣可視為理想氣體，且 。等值、絕熱過程的功、熱量及內能增量的計算。解：已知, , (1) 等溫過程(放熱)(2) 絕熱過程由 得 (3) 等壓過程 所以 所以 (放熱)例4汽缸內有一種剛性雙原子分子的理想氣體，若使其絕熱膨脹后氣體的壓強減少一半，求變化前后氣體的內能之比。解：理想氣體的狀態方程和內能公式 可得 變化前 變化后 由絕熱過程方程 ,即 按題設 ，有 ，或 對剛性雙原子分子 所以 例5圖20-9為一循環過程的T-V曲線。該循環的工質為的理想氣體，其中 和 均已知且為常量。已知a點的溫度為 ，體積為V1，b點的體積為V2，ca為絕熱過程。求：(1) c點的溫度；(2) 循環的效率。解：(1) ca為絕熱過程， (2) ab為等溫過程，工質吸熱 bc為等容過程，工質放熱為循環過程的效率 例7一臺冰箱工作時，其冷凍室中的溫度為-10，室溫為15。若按理想卡諾致冷循環計算，則此致冷機每消耗 的功，可以從冷凍室中吸出多少熱量？解：由于所以J例1 人體一天大約向周圍環境散發 熱量，試估算由此產生的熵。設人體溫度為 ，忽略人進食時帶進體內的熵，環境溫度取為237K。解：將人和環境視為一個孤立系統，人體向周圍環境散熱可以設計為一個等溫過程，環境吸熱也可以設計為一個等溫過程，于是兩個過程的總熵為例2 已知在 時，1mol的冰溶解為1mol的水需要吸收6000J的熱量，求(1) 在 時這些水化為冰的熵變；(2) 在 時水的微觀狀態數與冰的微觀狀態數之比。解：(1) 的冰化為 的水為不可逆過程，為了計算其熵變，可設一可逆的等溫過程，于是熵變為(2) 由玻爾茲曼熵公式 可知，熵S與微觀狀態數有關，若已知兩狀態的熵變，就可求得微觀狀態數之比。由于 所以 1. 對于一個系統的熵變，有下面兩種說法，判斷其正誤。(1) 任一絕熱過程，熵變 ；(2) 任一可逆過程，熵變 。解答：(1) 說法錯誤。由克勞修斯熵公式可知，對可逆絕熱過程，熵變 ，但對不可逆絕熱過程 ，即 ，熵增加。(2) 說法同樣不正確。可逆的絕熱過程系統熵不變。但對非絕熱的可逆過程，吸熱時 ，放熱時 。2. 一杯熱水放在空氣中，最終杯中水的溫度與空氣完全相同，結果杯中水的熵減少，這是否與熵增加原理矛盾？解答：不矛盾。熵增加原理只對孤立絕熱系統成立。而杯中的水不是孤立的，也不是絕熱系統，因而其熵是可以減少的。若將杯中的水可、和空氣作為一個孤立系統，則系統達到平衡態時，總熵一定是增加的。3. 若一系統從某一初態分別沿可逆過程和不可逆過程到達同一終態，則不可逆過程的熵變大于可逆過程的熵變。解答：這種說法不對。因為熵是態函數，只要初、末狀態一定，熵的增量就一定，與過程無關。難點辨析1. 怎樣理解熵是態函數從可逆卡諾循環出發，對圖21-1所示的任一可逆循環過程有所以必有 仿照保守力做功與路徑無關引入了一個態函數那樣，可以引入一個態函數 ，即熵S是熱力學系統的狀態函數。2. 熵與內能的比較熵和內能雖然都是態函數，卻是兩個不同的概念，它們描述系統的不同性質，具有不同的物理意義。例如，理想氣體向真空膨脹的過程中，系統的內能不變，但熵卻要增加，我們還是根據熵的變化來判斷過程自發進行的方向的。另一方面，內能的變化是從量的方面顯示過程中的能量轉換，而熵的變化則是從質的方面顯示能量轉換的不可逆行。3. 怎樣計算不可逆過程的熵變對可逆過程，可以利用克勞修斯熵公式計算熵變，即對不可逆過程如何計算熵變呢？由于熵是態函數，因此，我們總可以在系統初、末態之間設計一個或幾個假想的可逆過程，并利用上述可逆過程熵變的計算方法來估算出對應的不可逆過程的總熵變。 例1 一段半徑為 a 的細圓弧，對圓心的張角為 ，其上均勻分布有正電荷 q ，如圖 8-10 所示，試以 a 、 q 、 表示出圓心 O 處的電場強度。 解：為了能正確描述 O 處的電場，應首先建立合適的坐標系 XOY ；然后正確地選擇電荷元 dq ，畫出 dq 在 O 點的電場 ，的大小 由圖找出相對于 Y 軸對稱的另一電荷元 ，其電場 如圖所示，由對稱性可知，圓弧在 O 處的電場的 X 分量一定相互抵消，合場強沿 -Y方向，大小為 由于 所以， 寫成矢量式為 例2 一個玻璃棒被彎成半徑為 R 的半圓形，沿其上半部分均勻分有電量 +Q ，沿其下半部分有電量 -Q ，如圖 8-11 所示，試求圓心 O 處的電場強度。 解一： 建立如圖 8-11所示坐標系，先把電荷均當作 +Q 考慮，取如圖所示電荷元 dq 它在 O 處產生的場強大小為 所以 積分時，考慮到下半部分為 -Q ，于是 所以，寫成矢量式 解二： 如圖 8-12 以 X 軸為對稱軸選兩個電荷元 dq 和 dq ，則由對稱性可知 例3 如圖 8-13 所示，一半徑為 R ，長度為 L 的均勻帶電圓柱面，總電量為 Q ，試求端面處軸線上 P 點的電場強度。解： 這個問題的關鍵是選擇合適的電荷元，電荷元的選取可充分利用已知的典型電荷分布的電場。對該問題，顯然選擇一個圓環做為電荷元最為恰當，如圖 8-14 所示，建立坐標系，圓環 dq 在 P 點的電場強度沿 X 軸正向。 特別注意利用帶電圓環軸線上的公式時，其中的 x 表示環心到場點的距離，對該問題，由于坐標原點不在所選的環心處，因此，要根據實際情況 來寫不心到場點的距離。顯然由圖可知， dq 環心到 P 點的距離為 ，由于圓柱面可看成許多同軸圓環組成每一圓軸在 P 點的電場均沿 x 軸正向，因此， P 點的總場 E 可直接對 dE 積分方向沿 x 軸正向。 例4 如圖 8-15 所示為一均勻帶電的球層，其電荷體密度為 ，球層內表面半徑為 ，外表面半徑為 ，設無窮遠處為電勢零點，求球層中半徑為 r 處的電勢。 解： r 處的電勢等于以 r 為半徑的球面以內的電荷在該處產生的電勢 和球面以外的電荷產生的電勢 之和，即 為計算以 r 為半徑的球面外電荷產生的電勢。在球面外取一 的薄層，其電量為 它對該薄層內任一點產生的電勢為 則 于是全部電荷在半徑為 r 處產生的電勢為 例5 如圖 8-16 所示，一內半徑為 a ，外半徑為 b 的金屬球殼，帶有電量 Q ，在球殼空腔內距離球心 r 處有一點電荷 q ，設無限遠處為電勢零點，試求： (1) 球殼內外表面上的電荷； (2) 球心 O 處，由球殼內表面上電荷產生的電勢； (3) 球心 O 點處的總電勢。 解：(1) 由靜電感應，金屬球殼的內表面上有感應電荷 ，外表面帶電荷 。 (2) 不論球殼內表面上的感應電荷是如何分布的，因為任一電荷元離 O 點的距離都是 a ，所以由這些電荷在 O 點產生的電勢為 (3) 球心 O 點處的總電勢為分布在球殼內外表面上的電荷和點電荷 q 在 O 點產生的電勢的代數和 例6 如圖 8-17 所示，一空氣平行板電容器，兩極板面積均為 S 。板間距離為 d (d 遠小于極板限度 ) ，在兩極板間平行地插入一面積也是 S ，厚度為 t ( d) 的金屬片，試求： (1) 電容 C 等于多少 ? (2) 金屬片放在兩極板間的位置對 C 值有無影響 ? 解： 如圖 8-18 所示，設極板上分別帶電量 和 ；金屬片與 A 板距離為 ，與 B 板距離為 ，金屬片與 A 板間場強為 金屬板與 B 板間場強為 金屬片內部場強為 則兩極板間的電勢差為 由此得 因 C 值僅與 d 、 t 有關，與 無關，故金屬片的安放位置對電容值無影響。 例7 現有一根單的電纜，電纜芯的半徑為 ，鉛包皮的內半徑為 ，其間充以相對電容率 的各向同性均勻電介質。求當電纜芯與鉛包皮間的電壓為 時，長為 的電纜中貯存的靜電能是多少? 解： 由高斯定理可求得 又 電場能量密度 靜電能例8 一電容為 C 的空氣平行板電容器，接上端電壓 V 為定值的電源充電。在電源保持連接的情況下，試求把兩個極板間距離增大至 n 倍時，外力所作的功。 解：因保持與電源連接，兩極板間電勢差保持不變，而電容值由 電容器儲存的電場能量由 在兩極板間距增大過程中，電容器上帶電量由 Q 減至 ，電源作功： 設在拉開極板過程中，外力作功為 A2 ，據功能原理 在拉開極板過程中，外力作正功。 第二篇 實物的運動規律第三章 運動的描述3.1 如圖所示，質點沿曲線路徑由a運動到b ，所經路程為sab，a、b位矢分別為 和 。討論下面三個積分的量值及意義。 ； ； 3.2 質點在平面內運動。矢徑 ，速度 ，分別指出下列四種情況中質點作何種特征的運動。 3.3 設質點的運動方程為 ， 。在計算質點的速度和加速度時，有人先求出 ，然后根據 及 從而求出結果，又有人先計算出速度和加速度的分量，再合成求出結果，即： 及 。你認為這兩種方法中哪一種方法正確？兩者的差別何在？3.4 質點沿圓周運動且速率隨時間均勻增大， 三者的大小是否隨時間改變？總加速度 與速度 之間的夾角如何隨時間改變？ 3.5 一質點作直線運動，其速度與時間的關系曲線如圖所示。圖中過A點的切線AC的斜率表示什么？割線AB的斜率表示什么？曲線下面積 表示什么？3.6 行星軌道為橢圓，已知任一時刻行星的加速度方向都指向橢圓的一個焦點（太陽所在處）。分析行星通過圖中M、N兩位置時，它的速率分別是正在增大還是減小？ 3.7 一斜拋物體初速度為 ，拋射角為 ，它的軌跡在拋出點和最高點的曲率半徑各是多大？3.8 已知質點沿螺旋線自內向外運動，質點位置的自然坐標與時間的一次方成正比。試問質點的切向加速度和法向加速度的大小是否變化？3.9 如圖所示，一輛汽車以 在雨中行駛，車后的一捆行李伸出車外的長度為 ，距車頂的距離為 。若雨滴下落的速度 與豎直方向成 角，什么條件下行李才不會被淋濕？3.10 一架飛機從A處向北飛到B處，然后又向南飛回A。已知飛機相對于空氣的速度為 ，且速率 常量，空氣相對于地面的速度為 ，設AB的距離為L。試證明： 若 ，則來回飛行的時間為： 若 的方向由南向北，則來回飛行的時間為： 若 的方向為由東向西，則來回飛行的時間為： 第四章 動量 動量守恒定律4.1 為什么有了 、 這兩個物理量還要引入 這個物理量？4.2 沖量的方向是否與沖力的方向相同？4.3 有人說，因為內力不改變系統的總動量，所以無論系統內各質點有無內力的作用，只要外力相同，各質點的運動情況就相同，這話對嗎？4.4 忽略其它所有外力，考慮一個物體和地球組成的系統，當物體自由下落時，這一系統動量守恒嗎？這時還能把地球作為參考系來計算系統的總動量嗎？4.5 兩個質量相同的物體從同一高度自由下落，與水平地面相碰，一個反彈回來，另一個卻貼在地上，問哪一個物體給地面的沖量大？4.6 一人躺在地上，身上壓一塊重石板，另一個人用重錘猛擊石板，但見石板碎裂，而下面的人毫無損傷，這是為什么？4.7 用一根細線吊一個質量為5kg的重物，重物下系一根同樣的細線。設細線最多能經受70N拉力。現在突然用力向下拉一下下面的線，并設此力最大值為50N，則重物上、下所系的線是否會斷？4.8 在水平冰面上以一定速度向東行駛的炮車，向東南方向斜上方發射一枚炮彈，如果忽略冰面的摩擦和空氣阻力，在此過程中，對于炮車和炮彈系統，下列哪種說法是正確的？ 總動量守恒; 總動量在炮身前進方向上的分量守恒，其它方向分量不守恒； 總動量在水平面上任意方向的分量守恒，豎直方向分量不守恒； 總動量在任意方向的分量均不守恒。第五章 角動量 角動量守恒定律5.1 平行于軸的力對軸的力矩一定是零，垂直于軸的力對軸的力矩一定不是零，這兩種說法都對嗎？5.2 一個有固定軸的剛體，受有兩個力作用，當這兩個力的矢量和為零時，它們對軸的合力矩也一定是零嗎？當這兩個力的合力矩為零時，它們的矢量和也一定為零嗎？舉例說明之。5.3 一個系統動量守恒和角動量守恒的條件有何不同？5.4 兩個半徑相同的輪子，質量相同，但一個輪子的質量聚集在邊緣附近，另一個輪子的質量分布比較均勻。試問： 如果它們的角動量相同,哪個輪子轉得快? 如果它們的角速度相同,哪個輪子的角動量大?5.5 有的矢量是相對于一定點(或軸)來確定的，有的矢量是與定點(或軸)的選擇無關的。請指出下列矢量各屬于哪一類： 位置矢量； 位移； 速度； 動量； 角動