一元一次方程一元一次方程 教學重點 教學重點 1 一元一次方程和方程的解的概念 2 理解和應用等式的性質 3 找相等關系列一元一次方程 用合并 移項解一元一次方程 4 去括號法則在解方程中的熟練應用 5 利用 去分母 將方程作變形處理 6 建立方程解決實際問題 會解 ax b c 類型的一元一次方程 7 將實際問題抽象為方程 列方程解應用題 精例精析精例精析 例例 1 判斷下列各式中 哪些是方程 哪些是一元一次方程 1 1 2 3 2 3 0 1113 x152 2 xx 4 R2 5 6 0 x623 yx 例 2 已知是關于的一元一次方程 求的值 2 3 3 70kxkx x k 小小結結 正確 正確識別識別一元一次方程一元一次方程應應注意以下幾點 注意以下幾點 1 只含有一個未知數 只含有一個未知數 2 未知 未知 數的次數是數的次數是 1 若次數不是 若次數不是 1 的的項項 其系數必 其系數必須為須為 0 3 未知數的系數不 未知數的系數不為為 0 例例 3 解下列一元一次方程 1 2 4129xx 8 14 3 yy 小小結結 1 合并同 合并同類項類項 合并是指根據分配律 把含 合并是指根據分配律 把含的幾的幾項項合并成一個式子合并成一個式子 如 如 x 24 1 2 4 xxxxx 2 移 移項項 方程中的任何一 方程中的任何一項項 都可以在改 都可以在改變變符號后 從方程的一符號后 從方程的一邊邊移到另一移到另一邊邊 這類變這類變形叫做移形叫做移項項 這這個法個法則則叫做移叫做移項項法法則則 利用移 利用移項項求出方程解的方法叫做移求出方程解的方法叫做移 項項法法 移移項項的根據是等式的性的根據是等式的性質質 例例 4 解方程 1 2 3 2 1 21 xxx 23 4 1 2 5 10yyy 小小結結 去括號法 去括號法則則 括號外的因數是正數 括號外的因數是正數時時 去括號后各 去括號后各項項的符號與原括號內的符號與原括號內 相相應應各各項項的符號相同 括號外的因數是的符號相同 括號外的因數是負負數數時時 去括號后各 去括號后各項項的符號與原括號內的符號與原括號內 相相應應各各項項的符號相反 有多重括號的符號相反 有多重括號時時 要按照由內到外 或由外到內 的 要按照由內到外 或由外到內 的順順序依次序依次 去括號去括號 例 5 解方程 1 2 1 5 24 2 13 xx 6 1 5 0 3 2 0 4 xx 小小結結 去分母的方法 去分母的方法 對對于含有分數系數的方程 可以運用等式的性于含有分數系數的方程 可以運用等式的性質質 2 在方 在方 程的兩程的兩邊邊同乘以所有分母的最小公倍數 將方程化同乘以所有分母的最小公倍數 將方程化為為整系數的方程整系數的方程 這這種化種化簡簡的的 方法叫做去分母方法叫做去分母 例例 6 解方程 1 2 5 3 2 2 1 xx x2 1 25 1 25 0 1 xx 小小結結 1 在解方程 在解方程時時 應應注意注意觀觀察方程的特點 根據方程的特點 靈活把握求察方程的特點 根據方程的特點 靈活把握求 解的方法步解的方法步驟驟 2 求解 求解過過程中的步程中的步驟驟并不是固定不并不是固定不變變的 的 3 通 通過過解方程體解方程體驗轉驗轉化思想化思想 例例 7 學校新進一批教學設備 共由若干個小箱組成 讓七 1 班的學生去運 若 每人 8 箱 還余 36 箱 若每人 10 箱 還缺少 44 箱 問這批設備共有多少箱 這 個班有多少人 小小結結 列一元一次方程解 列一元一次方程解實際問題實際問題找等量關系是關找等量關系是關鍵鍵 注意抓住基本等量關注意抓住基本等量關 系 表示同一個量的兩個不同的式子相等 系 表示同一個量的兩個不同的式子相等 例 8 根據我省 十二五 鐵路規劃 連云港至徐州客運專線項目建成后 連云港 至徐州的最短客運時間將由現在的 2 小時 18 分鐘縮短為 36 分鐘 其速度每小 時將提高 260km 求提速后的火車速度 精確到 1km h 1 總結總結 解 解較簡單較簡單的一元一次方程的步的一元一次方程的步驟驟 移移項項 將常數 將常數項項放在等號的右放在等號的右邊邊 未知數的 未知數的項項放在等號的左放在等號的左邊邊 合并 將同合并 將同類項進類項進行合并 一般要逆用分配律 行合并 一般要逆用分配律 系數化系數化為為 1 用等式的性 用等式的性質質 2 化成 化成的形式的形式 xa 2 列方程解 列方程解應應用用題題的一般步的一般步驟驟 1 設設恰當的未知數恰當的未知數 并用 并用表示相關的量 表示相關的量 xx 2 根據相等關系列一元一次方程 根據相等關系列一元一次方程 3 解一元一次方程 解一元一次方程 4 作答 作答 3 去括號解方程 去括號解方程時時 一是 要注意不要漏乘 一是 要注意不要漏乘項項 二是 當括號外的因數是 二是 當括號外的因數是負負數數時時 要注意去掉括號后的各要注意去掉括號后的各項項都要都要變變號 號 中考直通中考直通車車 例 9 去年秋季以來 我市某鎮遭受百年一遇的特大干旱 為支援該鎮抗旱 上級 下撥專項抗旱資金 80 萬元用于打井 已知用這 80 萬元打灌溉用井和生活 用井共 58 口 每口灌溉用井和生活用井分別需要資金 4 萬元和 0 2 萬元 求 這兩種井各打多少口 小小結結 找等量關系是關 找等量關系是關鍵鍵 注意抓住基本等量關系 注意抓住基本等量關系 總總量 各部分量的和 量 各部分量的和 例 12 在長為 10m 寬為 8m 的矩形空地中 沿平行于矩形各邊的方向分割出三 個全等的小矩形花圃 其示意圖如圖所示 求小矩形花圃的長和寬 四 四 歸納歸納小小結結 1 解一元一次方程的一般步 解一元一次方程的一般步驟驟 去分母 注意方程中所有去分母 注意方程中所有項項都乘以最小公倍數都乘以最小公倍數 去括號 注意括號前的數和符號一起與括號內每去括號 注意括號前的數和符號一起與括號內每項項相乘相乘 移移項項 注意移的 注意移的項變項變號 未移的號 未移的項項不不變變 合并同合并同類項類項 注意未知 注意未知項項的系數相加作的系數相加作為為未知未知項項的系數 常數的系數 常數項項合并作合并作 常數常數項項 系數化系數化為為 1 方程兩 方程兩邊邊都除以未知都除以未知項項的系數或都乘以未知的系數或都乘以未知項項系數的倒數系數的倒數 注意 上述步注意 上述步驟驟不是一成不不是一成不變變的 要根據方程的特點 靈活的 要根據方程的特點 靈活處處理 如有理 如有時時可可 以先合并同以先合并同類項類項再移再移項項 2 解決 解決較較復復雜雜的一元一次方程的一元一次方程問題時問題時 要靈活運用分 要靈活運用分類類思想和整體代思想和整體代換換思想 思想 3 知 知識總結識總結 例例 13 某糧庫裝糧食 第一個倉庫是第二個倉庫存糧的 3 倍 如果從第一個倉庫 中取出 20 噸放入第二個倉庫中 第二個倉庫中的糧食是第一個中的 問每個倉 庫各有多少糧食 小小結結 在解答 在解答應應用用題時題時 若 若題題中出中出現現 幾倍幾倍 共 多 少 快 慢 提前 超 共 多 少 快 慢 提前 超過過 增 增 加 相差等含數量關系的句子 加 相差等含數量關系的句子 應應抓住它抓住它們進們進行分析 以使相等關系行分析 以使相等關系顯現顯現出來出來 例例 14 某種商品的標價是 650 元 打 8 折銷售 仍可獲得 4 的利潤 這種商品的 進價是多少 等式 等式的性質 方程 方程的解 一元一次方程 和它的解法 解方程 一元一次 方程的應用 小小結結 商品的利 商品的利潤潤率率問題問題常常見見數量關系 利數量關系 利潤潤率率 利 利潤潤 售價售價 100 售價進價 進價 進進價 注意事價 注意事項項 分清利 分清利潤潤與利與利潤潤率 打幾折就是按原價的百分之幾十后出售率 打幾折就是按原價的百分之幾十后出售 例例 15 儲戶到銀行存款 一段時間后 銀行要向儲戶支付存款利息 同時銀行還 將代扣由儲戶向國家繳納的利息稅 稅率為利息的 20 1 將 8500 元錢以一年期的定期儲蓄存入銀行 年利率為 2 2 到期支取時可 得到利息 元 扣除個人所得稅后實得 元 2 小明的父親將一筆資金按一年期的定期儲蓄存入銀行 年利率為 2 2 到期 支取時 扣除所得稅后得本金和利息共計 71232 元 問這筆資金是多少元 3 王紅的爸爸把一筆錢按三年期的定期儲蓄存入銀行 假設年利率為 3 到期 支取時扣除所得稅后實得利息為 432 元 問王紅的爸爸存入銀行的本金是多少 小小結結 利息 利息問題問題常用公式 利息常用公式 利息 本金本金 利率利率 期數 本息期數 本息 本金本金 利息 常利息 常見見數量數量 關系 利息稅關系 利息稅 利息利息 稅率 稅率 實實得利息得利息 利息 利息稅 利息 利息稅 注意月利率與年利率的區注意月利率與年利率的區別別 例 16 甲 乙兩地相距 162 千米 甲地有一輛貨車 速度為每小時 48 千米 乙地 有一輛客車 速度為每小時 60 千米 求 1 若兩車同時相向而行 多長時間可以相遇 2 若兩車同時背向而行 多長時間兩車相距 270 千米 3 若兩車相向而行 貨車先開 1 小時 再過多長時間可以相遇 小小結結 能利用示意 能利用示意圖圖作作為為建模策略 分析行程建模策略 分析行程問題問題中的等量關系列方程中的等量關系列方程 分析分析問題問題重在理重在理順順路程 路程 時間時間 速度三者的關系 抓住其中的一條 速度三者的關系 抓住其中的一條線線索路程 或索路程 或時時 間間或速度 找相等關系 或速度 找相等關系 這這是解是解題題的關的關鍵鍵 例例 17 修筑一條公路 甲工程隊單獨承包要 80 天完成 乙工程隊單獨承包要 120 天完成 1 現在由兩個工程隊合作承包 幾天可以完成 2 如果甲乙兩工 程隊合作了 30 天 因甲工作隊另有任務 剩下工作由乙工作隊完成 則修好這 條公路共需要幾天 小小結結 工程工程問題問題中要善于把握什么是中要善于把握什么是總總工作量 工作量 總總工作量可以看成工作量可以看成 1 工程 工程 問題問題中的等量關系一般是各部分完成的工作量之和等于中的等量關系一般是各部分完成的工作量之和等于總總工作量工作量 1 例例 18 如右圖 小杰 小麗分別在 400 米環形跑道上練習跑步與競走 小杰每分 鐘跑 320 米 小麗每分鐘走 120 米 兩人同時由同一點出發 問幾分鐘后 小麗 與小杰第一次相遇 小小結結 借助示意 借助示意圖圖和列表格分析和列表格分析問題問題 建立等量關系 建立等量關系 中考直通中考直通車車 例例 19 目前 自駕游 已成為人們出游的重要方式 五一 節 林老師駕轎車從舟山 出發 上高速公路途經舟山跨海大橋和杭州灣跨海大橋到嘉興下高速 其間 用了 4 5 小時 返回時平均速度提高了 10 千米 小時 比去時少用了半小時 回到舟山 1 求舟山與嘉興兩地間的高速公路路程 2 兩座跨海大橋的長度及過橋費見下表 省交通部門規定 轎車的高速公路通行費 元 的計算方法為 其y5 baxy 中 元 千米 為高速公路里程費 千米 為高速公路里程 不包括跨海大橋ax 長 元 為跨海大橋過橋費 若林老師從舟山到嘉興所花的高速公路通行費b 為 295 4 元 求轎車的高速公路里程費 a 大橋名 稱 舟山跨海大橋杭州灣跨海大橋 大橋長 度 48 千米36 千米 過橋費 100 元80 元 嘉嘉興興 舟山舟山 東東海海 小小結結 1 解決有關 解決有關圖圖表信息表信息問題問題 要充分利用 要充分利用圖圖表中的數據信息 表中的數據信息 2 利用方程 利用方程 解決解決實際問題時實際問題時 不 不僅僅可以求解 可以求解 還還要看解是否符合要看解是否符合實際實際意意義義 由此 可以利用 由此 可以利用 方程方程對對一些一些問題進問題進行推理判斷 行推理判斷 例例 20 某工程隊承包了某段全長 1755 米的過江隧道施工任務 甲 乙兩個組分 別從東 西兩端同時掘進 已知甲組比乙組平均每天多掘進 0 6 米 經過 5 天施工 兩組共掘進了 45 米 1 求甲 乙兩個組平均每天各掘進多少米 2 為加快進度 通過改進施工技術 在剩余的工程中 甲組平均每天能比原來多 掘進 0 2 米 乙組平均每天能比原來多掘進 0 3 米 按此施工進度 能夠比原來少 用多少天完成任務 小小結結 類別類別 行程 行程問題問題 工程 工程問題問題 類類似的量 行似的量 行駛駛路程 行路程 行駛駛速度 行速度 行駛時間駛時間 工作 工作總總量 工作效率 工作量 工作效率 工作時間時間 公式 公式 路程路程 速度速度 時間時間 工作量 工作量 工效工效 時間時間 一元一次方程一元一次方程 章末章末測試題測試題 基 基礎礎卷 卷 選擇題 每題 3 分 共 30 分 1 下面的等式中 是一元一次方程的為 A 3x 2y 0 B 3 m 10 C 2 x D a2 16 x 1 2 下列結論中 正確的是 A 由 5 x 13 可得 x 13 5 B 由 5 x 3 x 7 可得 5 x 3 x 7 C 由 9 x 4 可得 x D 由 5 x 8 2x 可得 5 x 2 x 8 4 9 3 下列方程中 解為 x 2 的方程是 A 3x x 3 B x 3 0 C 2x 6 D 5x 2 8 4 解方程時 去分母得 A 4 x 1 x 3 5x 1 B x 1 12x 5x 1 C 3 x 1 12x 4 5x 1 D 3 x 1 x 4 5x 1 5 若 y 1 與 3 2y 互為相反數 則 y 等于 3 1 A 2 B 2 C D 7 8 7 8 6 關于 y 的方程 3y 5 0 與 3y 3k 1 的解完全相同 則 k 的值為 A 2 B C 2 D 4 3 3 4 7 父親現年 32 歲 兒子現年 5 歲 x 年前 父親的年齡是兒子年齡的 10 倍 則 x 應 滿足的方程是 A 32 x 5 x B 32 x 10 5 x C 32 x 5 10 D 32 x 5 10 8 小華在某月的月歷中圈出幾個數 算出這三個數的和是 36 那么這個數陣的形 式可能是 A B C D 9 某商品的售價比原售價降低了 15 現售價是 34 元 那么原來的售價是 A 28 元 B 32 元 C 36 元 D 40 元 10 用 72cm 長的鐵絲做一個長方形的教具 要使寬為 15cm 那么長是 A 28 5cm B 42cm C 21cm D 33 5cm 二 填空題 每題 3 分 共 27 分 11 設某數為 x 若它的 3 倍比這個數本身大 2 則可列出方程 12 將方程 3x 7 5x 3 變形為 3x 5x 3 7 這個變形過程叫做 13 當 y 時 代數式與y 5 的值相等 4 1 14 若與互為倒數 則 x 3 1 15 三個連續奇數的和是 75 則這三個數分別是 16 一件商品的成本是 200 元 提高 30 后標價 然后打九折銷售 則這件商品的 利潤為 元 17 若 x 3 是關于 x 的方程 3x a 2x 5 的解 則 a 的值為 18 單項式 3ax 1b4與 9a2x 1b4是同類項 則 x 19 一只輪船在 A B 兩碼頭間航行 從 A 到 B 順流需 4 小時 已知 A B 間的路 程是 80 千米 水流速度是 2 千米 時 則從 B 返回 A 用 小時 三 解答題 共 43 分 20 每個 3 分 共 9 分 解方程 5x 2 7x 8 5 x 8 5 6 2x 7 21 3 分 一個數的與 4 的和等于最大的一位數 求這個數 6 5 22 5 分 把 500 元錢按照 3 年定期存教育儲蓄 如果到期可以得到本息和共 540 5 元 那么這 3 年定期教育儲蓄的年利率是多少 23 5 分 初一 2 班第一小組同學去蘋果園參加勞動 休息時工人師傅摘蘋果分 給同學 若每人 3 個還剩余 9 個 若每人 5 個還有一個人分 4 個 試問第一小組 有多少學生 共摘了多少個蘋果 24 5 分 一隊學生去校外進行軍事野營訓練 他們以 6 千米 時的速度行進 在他 們走了一段時間后 學校要將一個緊急通知傳給隊長 通訊員從學校出發 以 10 千米 時的速度按原路追上去 用了 15 分鐘追上了學生隊伍 問通訊員出發前 學生走了多少時間 25 5 分 某商店將某種品牌的 DVD 按進價提高 35 然后打出 八折酬賓 外 送 50 元出租車費 的廣告 結果每臺 DVD 仍可獲利 166 元 那么每臺 DVD 的進 價是多少元 26 11 分 下圖的數陣是由 77 個偶數排成 1 圖中平行四邊形框內的 4 個數有什么關系 2 在數陣圖中任意作一類似 1 中的平行四邊形框 設其中一個數為 x 那么 其他 3 個數怎樣表示 3 小紅說 4 個數的和是 415 你能求出這 4 個數嗎 4 小明說 4 個數的和是 420 存在這樣的 4 個數嗎 若存在 請求出這 4 個 數 一元一次方程一元一次方程 章末章末測試題測試題 提高卷 提高卷 選擇題 每題 3 分 共 30 分 1 下列說法中 正確的是 A 方程是等式 B 等式是方程 C 含有字母的式子是方程 D 不含字母的方程是等式 2 下列方程變形正確的是 A 由 3 x 1 5 x 2 0 得 2x 7 B 由 x 1 2x 3 得 x 2x 1 3 C 由 1 得 3x 2 1 D 由 2x 3 得 x 2 x 3 1 3 2 3 若代數式 3a4b2x與 0 2b3x 1a4能合成一項 則 x 的值是 A B 1 C D 0 2 1 3 1 4 如果 3kx 2 6k x 是關于 x 的一元一次方程 則 A k 是任意有理 數 B k 是不等于 0 的有理數 C k 是不等于的整數 D k 是不等于的數 3 1 3 1 5 若代數式的值是 2 則 x 的值是 A 0 75 B 1 75 C 1 5 D 3 5 6 某商品提價 10 后 欲恢復原價 則應降價 A 10 B 9 C D 11 100 9 100 7 某服裝商店同時賣出兩套服裝 每套均賣 168 元 以成本計算 其中一套盈利 20 另一套虧本 20 則這次服裝商店 A 不賺不賠 B 賺 37 2 元 C 賺 14 元 D 賠 14 元 8 一個三位數 3 個數位上的數字和是 15 百位上的數字比十位上的數字小 1 個 位上的數字比十位上的數字大 1 則這個三位數是 A 345 B 357 C 456 D 567 9 已知關于 x 的方程 ax 4 14x a 的解是 x 2 則 a 的值是 A 24 B 24 C 32 D 32 10 某人在 1999