1 一 函數 極限 連續 一 函數 極限 連續 一 選擇題 一 選擇題 1 在區間 1 0 內 由 所給出的函數是單調上升的 A B C D 1 xy 2xxy 34 xy 25 xy 2 當時 函數 f x x sin x 是 x A 無窮大量 B 無窮小量 C 無界函數 D 有界函數 3 當 x 1 時 都是無窮小 則 f x 是的 3 1 1 1 xx x x xf x A 高階無窮小 B 低階無窮小 C 同階無窮小 D 等階無 窮小 4 x 0 是函數的 1 arctanf x x A 可去間斷點 B 跳躍間斷點 C 振蕩間斷點 D 無窮 間斷點 5 下列的正確結論是 A 若存在 則 f x 有界 limxf xx B 若在的某鄰域內 有且都存在 0 x g xf xh x lim 0 xg xx lim 0 xh xx 則也 存在 lim 0 xf xx C 若 f x 在閉區間 a b 上連續 且 f a f b N 時 總有 n xn 10 1 4 101 1 成立的最小 N 應是 4 n x 3 b 為有限數 則 a b 32 1 4 lim 1 x xaxx b x 4 設則 x a 是 f x 的第 類 間斷點 ax ax xf 5 且 f g x 在 R 上連續 則 n 0 0 sin xnx xnx xgxxf 三 三 計算題計算題 2 1 計算下列各式極限 1 2 xx x x sin 2cos1 lim 0 x x x x 1 1 ln 1 lim 0 3 4 11 lim 22 0 xx x x x x x cos1 1 sin lim 3 0 5 6 xx x 2cos3sinlim 0 xx x x sin cosln lim 0 2 確定常數 a b 使函數 在 x 1 處連續 1 1 1 11 arccos 2 xx xb xxa xf 四 證明 四 證明 設 f x 在閉區間 a b 上連續 且 a f x b 證明在 a b 內至少有一點 使 f 二 導數與微分 二 導數與微分 一 填空題一 填空題 1 設存在 則 0 fx t txftxf t lim 00 0 2 則 1 3 2 1 3 2 xx xx xf 1 f 3 設 則 dy x ey 2sin 4 設則 0 sin xxxy x dx dy 5 y f x 為方程 xsin y ye確定的隱函數 則 0 x 0 f 二 選擇題二 選擇題 1 則的值為 0 1ln 2 aaxf x 0 f A lna B lna C D aln 2 1 2 1 2 設曲線與直線相交于點 曲線過點處的切線方程為 2 1 x ey 1x PP A 2x y 2 0 B 2x y 1 0 C 2x y 3 0 D 2x y 3 0 3 設 處處可導 則 0 1 0 2 xxb xe xf ax A a b 1 B a 2 b 1 C a 0 b 1 D a 2 b 1 3 4 若 f x 在點 x 可微 則的值為 x dyy x 0 lim A 1 B 0 C 1 D 不確定 5 設 y f sin x f x 為可導函數 則 dy 的表達式為 A B sin fx dx cos fx dx C D sin cosfxx sin cosfxxdx 三 計算題 三 計算題 1 設對一切實數 x 有 f 1 x 2f x 且 求 0 0 f 1 f 2 若 g x 又 f x 在 x 0 處可導 求 0 0 0 1 cos 2 x x x x 0 x xgf dx d 3 求曲線在 t 0 處的切線方程 01 0 1 yte ttx y 4 f x 在 x a 處連續 求 sin xfaxx a 5 設 求 3 22 2 xyy uxx du dy 6 設 求 lnf xxx n fx 7 計算的近似值 3 9 02 三 中值定理與導數的應用 三 中值定理與導數的應用 一 填空題 一 填空題 1 函數 f x arctanx 在 0 1 上使拉格朗日中值定理結論成立的 2 若則 a b 0 1 lim sin22 ax x eb x 3 設 f x 有連續導數 且則 0 0 1f f ln 0 sin lim 0 xf fxf x 4 的極大值為 極小值為 xey x sin 5 的最大值為 最小值為 10 1 1 x x x arctgy 二 選擇題 二 選擇題 1 如果 a b 是方程 f x 0 的兩個根 函數 f x 在 a b 上滿足羅爾定理條件 那么方程 f x 0 在 a b 內 A 僅有一個根 B 至少有一個根 C 沒有根 D 以上結論都 不對 2 函數在區間 上 xxfsin 2 2 A 滿足羅爾定理的條件 且 0 B 滿足羅爾定理的條件 但無法求 4 C 不滿足羅爾定理的條件 但有能滿足該定理的結論 D 不滿足羅爾定理的條件 3 如果一個連續函數在閉區間上既有極大值 又有極小值 則 A 極大值一定是最大值 B 極小值一定是最小值 C 極大值一定比極小值大 D 極在值不一定是最大值 極小值不一定是 最小值 4 設 f x 在 a b 內可導 則是 f x 在 a b 內為減函數的 0fx A 充分條件 B 必要條件 C 充要條件 D 既非充分又非必 要條件 5 若 f x 在 a b 上兩次可導 且 則 f x 在 a b 內單調增加且是上凹的 A B 0 0 xfxf 0 0 xfxf C D 0 0 xfxf0 0 xfxf 三 計算題 三 計算題 1 求 22 0 11 1 lim sin x xx tan 0 2 lim x x x 2 求過曲線 y xe上的極大值點和拐點的連線的中點 并垂直于直線 x 0 的直線方程 x 四 應用題 四 應用題 1 通過研究一組學生的學習行為 心理學家發現接受能力 即學生掌握一個概念的 能力 依賴于在概念引人之前老師提出和描述問題所用的時間 講座開始時 學生的 興趣激增 分析結果表明 學生掌握概念的能力由下式給出 其中 G x 是接受能力的一種度量 x 是提出概念所 2 0 12 643G xxx 用的時間 單位 min a x 是何值時 學生接受能力增強或降低 b 第 10 分鐘時 學生的興趣是增長還是注意力下降 c 最難的概念應該在何時講授 d 一個概念需要 55 的接受能力 它適于對這組學生講授嗎 五 證明題 證明題 證明不等式 2 2 arctanln 1 xxx 四 不定積分 四 不定積分 一 選擇題 一 選擇題 1 設可微 則 xf f x A B C D xdf dxxfd dxxf dxxf 2 若 F x 是的一個原函數 則 cF x 的原函數 xf xf A 是 B 不是 C 不一定是 3 若則 cxFdxxf dxbaxf A B cbaxaF cbaxF a 1 5 C D cxF a 1 cxaF 4 設在 a b 上連續 則在 a b 內必有 xf xf A 導函數 B 原函數 C 極值 D 最大 值或最大值 5 下列函數對中是同一函數的原函數的有 22 11 sincos 24 與與Axx 2 ln lnln 與與Bxx 2 2 與與 xx Cee 1 tancot 2sin 與與 x Dx x 6 在積分曲線族中 過點的曲線方程是 xdxy3sin 1 6 cxDxCcxBxA 3cos 3cos 3 1 3cos 3 1 13cos 3 1 7 7 下列積分能用初等函數表出的是 A B C D 2 x edx 3 1 dx x ln dx x ln xdx x 8 8 已知一個函數的導數為 且 x 1 時 y 2 這個函數是 2yx A B C D 2 yxC 2 1 yx 2 2 x yC 1 yx 9 9 2 ln x dx x A B C D 11 ln xC xx 11 ln xC xx 11 ln xC xx 11 ln xC xx 1010 10 41 dx x A B C 9 11 9 41 C x 9 11 36 41 C x 9 11 36 41 C x D 11 11 36 41 C x 二 計算題二 計算題 1 2 3 dxxx 1ln 2 1tan 1tan x dx x dxxxf 3 3 5 6 7 7 3 2 1 xxx dx x dx 1 xx dx 2 arccosxxdx 6 三 三 求其中 dxxf xx xx x xf 12 101 0 1 五 定積分及其應用 五 定積分及其應用 一 填空題 一 填空題 1 設是連續函數 則 F x xfdttxfxF x 0 2 設是連續函數 則 xf dxxfxfxfxf 3 111 lim 12 n nnnn 4 設是連續函數 f 0 1 則 xf 3 sin 0 lim x dttf x x x 5 函數 在區間 a b 上的平均值為 xf x e ba 二 單項選擇題 二 單項選擇題 1 設存在 則在 a b 上 b a badxxf xf A 可導 B 連續 C 具有最大值和最小值 D 有界 2 設是以 T 為周期的連續函數 則 xf nta an dxxf n 1 lim A B C D Taf dxxf T 0 a dxxf 0 f a 3 設存在 則 I dxxfdxxf dx d dxxf dx d I 4 3 A B C D 0 f x2 f x2 f xC 4 在 ba ax dx p b a A P1 時收斂 P 1 時發散 D P 1 時收斂 P0 時 有 當 x 0 時 0 0 0 fxf0 xf0 0 0 fxf 有0 xf 故 1ln 2 0 2 xxarctgxxfx 即 四 不定積分 四 不定積分 答案答案 一 1 C 2 B 3 C 4 B 5 A 6 A 7 D 8 B 9 D 10 C 二 1 原式 222 2 ln 1 ln 1 1 1 x xxxdxxxxxC x 2 原式 cossin ln cossin cossin dxx xxC xx 3 原式 xdfxxfxfx dxxfxf xC 4 原式 1 3 111 ln 2 1 22 3 2 xx dxC xxxx 5 原式 2 2 0 2 2 0 2 x cx x x C x cx 6 原式 111 111 xx dxdx xxxxxx 111 11 dx xxxx 1 2 1 2ln 1 1 dxxxxC xx 7 原式 3 322 2 111 arccos 1 1 393 xxxxC 三 原式 2 2 0 01 2 1 1 2 xCx x xCx xCx 五 定積分及其應用 五 定積分及其應用 答案答案 一 1 2 0 3 ln2 4 5 dttfxxf x 0 6 1 ba ee ba 二 1 D 2 B 3 C 4 A 5 C 13 三 解 1 原式 15 544 1 41 22 2 0 dtttxu 2 原式 dx e x dx e x xx 1 sin 1 sin 2 4 0 0 4 2 8 2 sinsin 1 1 1 1 1 sin 1 sin 2 4 0 2 4 0 2 4 0 2 0 4 xdxxdx ee dx e x dt e t tx xxxt 3 原式 12 21ln 1 1ln 2 0 1 0 2 dx x x xx 4 原式 4cossin cos sin 2 0 tt tdx tax 四 解 1 原式 1 sec sin cos sin lim 2 0 xtgx xxtg x 2 222 00 2 sinsinsin nnn xdxxdxxdx 而 nn xdxsin 2 sin0 2 0 n sin 2 又 由夾擠定理知 0sinlim 1sin0 n b 0sinlim 2 0 xdx n n 此外 由的任意性知 sin0 2 2 xdx n 0sinlim 2 0 xdx n n 五 兩邊求導得即令 y 0 得 x 0 sin 2 xxey y sin 2y exxy 且由于 x 0 時 y 0 知 x 0 是 y y x 的極小點 0 0 yx時 代入方程得 注意 即 y y x 的極小值為 0 0 0 2 0 y t dte 0 0 0 2 ye t 六 解 對兩邊關于 x 求導得 由題設切點處有 22 4 aypx 4 2 p x y 1 4 2 p x 得 代入拋物線方程可得 另一方面 旋 2 4 p x切點 2 2 p y切點 4 2 2 p pa 轉體體積為 2 5 0 22 4 15 16 4 0 2 p a dx p x V a 3 2 3 4 52 4 4 2 2 4 4 5 15 16 4 4 2 4 5 15 16 4 p p pppa p pa dp da p dp dv A 令 得從而這時 時 0 dp dv 3 10 p 3 5 a 3 10 p0 dp dv 14 而時 故 V 取極大值 也是最大值 3 10 p0 dp dv 3 10 p 六 空間解析幾何 六 空間解析幾何 答案答案 一 1 2 1 3 3 4 3 6 33 6 3 3 1 114 2z 3y 1x 222 4 5 2xyz x5yz 22 二 1 B 2 A 3 A 4 C 5 C 6 D 7 B 三 1 解 令 得到直線 上一點 設0 x l 0 0 0 O 12 1 0 1 2 1 0 nn 的方向向量為 l 12 1012 210 ijk nnijk 故 的對稱式方程為 l 121 xyz 2 解 在上取一點 則兩平行平面間的距離為021z8y4x19 8 21 0 0 1 8 4 19 42 8 21 804019 d 222 3 解 所求直線方向向量同時垂直于及S 12 A A 13 A A 1213 4 1 43 3 416 12 13SA AA A 直線的對稱式方程為 13 3z 12 3y 16 4x 4 解 設所求平面方程為 分別將 A B 的坐標代入此方程 0AxByCzD 000ABCDBD 000ABCDCD 故平面方程為 0AxDyDzD 22 0 0 1 1 2 2 2 A DD AD AD 所以平面方程為 20DxDyDzD 210 xyz 四 解 cos60cos60cos45 10050 50 50 2FiJk 克厘米 1 3 3 2SPM 500WF S 七 多元函數微分學 七 多元函數微分學 答案答案 一 1 2 3 2 4xxy 2ln1 2dzdxdy 4 5 210 xyz 22222 0 x y zxyzxy 二 1 D 2 A 3 C 4 A 5 D 三 解 1 2 1 coscossinsin zxyyxy xyyxxyx 2 1 coscossinsin zxxyxy yyxxyxy 15 2 2 222 2 2 zxy xxy 222 22 2 zxy x yxy 2 222 2 2 zx