13 1 4 正方形的性質和判定 講義 學生版 page 1 of 10 中考要求中考要求 中考考試要求層次板塊名稱 ABC 正方形會識別正方形掌握正方形的概念 性質和判定 會 用正方形的性質和判定解決簡單問題 會用正方形的知識解決有關 問題 知識點睛知識點睛 1 正方形的定義 有一組鄰邊相等 并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方 形 2 正方形的性質 正方形是特殊的平行四邊形 矩形 菱形 它具有前三者的所有性質 邊的性質 對邊平行 四條邊都相等 角的性質 四個角都是直角 對角線性質 兩條對角線互相垂直平分且相等 每條對角線平分一組對角 對稱性 正方形是中心對稱圖形 也是軸對稱圖形 平行四邊形 矩形 菱形和正方形的關系 如圖 3 正方形的判定 判定 有一組鄰邊相等的矩形是正方形 判定 有一個角是直角的菱形是正方形 教學目標教學目標 1 掌握正方形的定義和性質 弄清正方形與平行四邊形 菱形 矩形的關系 2 掌握正方形的判定方法并能在解題中選擇恰當的方法 3 提高學生分析問題及解決問題的能力 4 通過分析概念之間的聯系與區別 培養學生辨證唯物主義觀點 重 難點重 難點 重點 知曉正方形的性質和正方形的判定方法 難點 正方形知識的靈活應用 例題精講例題精講 正方形的性質正方形的性質 及判定及判定 13 1 4 正方形的性質和判定 講義 學生版 page 2 of 10 一 正方形的性質 鋪墊 正方形有 條對稱軸 例例 1 已知正方形的邊長是正方形的對角線 則 BDEFABCD BDEFABCD SS 正方形正方形 如圖 已知正方形的面積為 點在上 點在的延長線上 且ABCD256FCDECB 則的長為 20AEAFAF BE F E D C B A 如圖 在正方形中 為邊的中點 分別為 邊上的點 若 ABCDEABGFADBC1AG 則的長為 2BF 90GEF GF 例例 2 將個邊長都為的正方形按如圖所示擺放 點分別是正方形的中心 則個n1cm 12 n AAA n 正方形重疊形成的重疊部分的面積和為 A5 A4A3 A2 A1 例例 3 如圖 正方形的邊長為 以為圓心 長為半徑畫弧交對角線于點 連ABCD2cmBBCBDE 接 是上任意一點 于 于 則的值為 CEPCEPMBC MPNBD NPMPN P N M E D CB A 鋪墊 如圖 是正方形對角線上的一點 求證 EABCDBDAECE E D C B A 例例 4 如圖 為正方形對角線上一點 于 于 求證 PABCDPEBC EPFCD FAPEF 13 1 4 正方形的性質和判定 講義 學生版 page 3 of 10 F E P D C B A 鞏固鞏固 如圖所示 正方形對角線與相交于 且分別與交于ABCDACBDOMNABAOBO 試探討與之間的關系 寫出你所得到的結論的證明過程 MN BMCN M N CD O BA 鞏固鞏固 如圖 已知是正方形內的一點 且為等邊三角形 那么 PABCDABP DCP P D C BA 例例 5 已知正方形 在 上分別取 兩點 使 求證 ABCDADACEF2ED ADFC AC 是等腰直角三角形 BEF G EH D F CB A 例例 6 如圖 已知 分別是正方形的邊 上的點 分別與對角線相EFABCDBCCDAEAFBD 交于 若 則 MN50EAF CMECNF N M F E DC BA 例例 7 如圖 四邊形為正方形 以為邊向正方形外作正方形 與相交于點 ABCDABABECEBDF 則 AFD 13 1 4 正方形的性質和判定 講義 學生版 page 4 of 10 F E D CB A 例例 8 如圖 正方形中 在的延長線上取點 使 連結分ABCDADEFDEAD DFBD BF 別交 于 求證 是等腰三角形 CDCEHGGHD 3 1 4 2 FE G H C D B A 鞏固鞏固 如圖 過正方形頂點引 且 若與的延長線的交點為 求證AAEBD BEBD BEADF DFDE G F E B DA 例例 9 如圖所示 在正方形中 是內的兩條射線 ABCDAKANA BKAK BLAN 求證 DMAK DNAN KLMN KLMN K N M L DC B A 鞏固鞏固 如圖 正方形的邊在正方形的邊上 連接 求證 ABCDCDECGFCE BE DGBEDG GC FE D B A 例例 10 2007 年三帆中學期中考試 如圖 在正方形中 為邊上的一點 為ABCDECDF 延長線上的一點 求的度數 BCCECF 30FDC BEF B D C A E F 鞏固鞏固 已知 如圖 在正方形中 是上一點 延長到 使 連接并ABCDGCDBCECECG BG 延長交于 DEF 13 1 4 正方形的性質和判定 講義 學生版 page 5 of 10 1 求證 BCGDCE 2 將繞點順時針旋轉得到 判斷四邊形是什么特殊四邊形 并說明 DCE D90 DAE E BGD 理由 A B C D E F E G 例例 11 若正方形的邊長為 為邊上一點 為線段上一點 射線ABCD4EBC3BE MAE 交正方形的一邊于點 且 則的長為 BMFBFAE BM 例例 12 如圖 1 在正方形中 分別為邊 上的點 ABCDEFGHABBCCDDA 連接 交點為 HAEBFCGD EGFHO 如圖 2 連接 試判斷四邊形的形狀 并證明你的結論 EFFG GHHE EFGH 將正方形沿線段 剪開 再把得到的四個四邊形按圖 3 的方式拼接成一個ABCDEGHF 四邊形 若正方形的邊長為 則圖 3 中陰影部分的ABCD3cm1cmHAEBFCGD 面積為 2 cm 3 1 2 H DGC F EBA OH G F E DC BA 鞏固鞏固 如圖 正方形對角線相交于點 點 分別是 上的點 求證 ABCDOPQBCCDAQDP 1 2 OPOQ OPOQ B O D C A Q P 例例 13 如圖 正方形中 是邊上兩點 且于 求ABCDE F AB BC EFAEFC DGEF G 證 DGDA G F E C D B A 鞏固鞏固 如圖 點分別在正方形的邊上 已知的周長等于正方形周MN ABCDBC CD MCN ABCD 13 1 4 正方形的性質和判定 講義 學生版 page 6 of 10 長的一半 求的度數MAN N M DC B A 鞏固鞏固 如圖 設正方形的對角線 在延長線上取一點 使 與EF ABCDACDAGAGAD EG 交于 求證 正方形的邊長 DFHAH H E G C D FB A 例例 14 把正方形繞著點 按順時針方向旋轉得到正方形 邊與交于點ABCDAAEFGFGBC 如圖 試問線段與線段相等嗎 請先觀察猜想 然后再證明你的猜想 HHGHB G C H F E D B A 例例 15 如圖所示 在直角梯形中 是的垂直平分線 交ABCDADBC 90ADC lAD 于點 以腰為邊作正方形 作于點 求證 ADMABABFEEPl P22EPADCD l P M F E D CB A 二 正方形的判定 例例 16 四邊形的四個內角的平分線兩兩相交又形成一個四邊形 求證 ABCDEFGH 四邊形對角互補 EFGH 若四邊形為平行四邊形 則四邊形為矩形 ABCDEFGH 四邊形為長方形 則四邊形為正方形 ABCDEFGH 13 1 4 正方形的性質和判定 講義 學生版 page 7 of 10 H E F G D C B A 鞏固鞏固 如圖 已知平行四邊形中 對角線 交于點 是延長線上的點 且ABCDACBDOEBD 是等邊三角形 ACE 求證 四邊形是菱形 ABCD 若 求證 四邊形是正方形 2AEDEAD ABCD O E D C B A 鞏固鞏固 已知 如圖 在中 垂足為點 是外角的平ABC ABAC ADBC DANABC CAM 分線 垂足為點 CEAN E 求證 四邊形為矩形 ADCE 當滿足什么條件時 四邊形是一個正方形 并給出證明 ABC ADCE M E N C D B A 例例 17 如圖 點是矩形邊的中點 點是邊上一動點 MABCDAD2ABAD PBC 垂足分別為 求點運動到什么位置時 四邊形為正方PEMC PFBM EFPPEMF 形 P M FE D CB A 例例 18 如圖 是邊長為 的正方形 是內接于的正方形 ABCD1EFGHABCDAEa AFb 若 則 2 3 EFGH S ba 13 1 4 正方形的性質和判定 講義 學生版 page 8 of 10 H G F E D C B A 例例 19 如圖 在線段上 和都是正方形 面積分別為和 則ABGABCDDEFG 2 7cm 2 11cm 的面積為 CDE G F E D C BA 鞏固鞏固 如圖 在正方形中 點為正方形內的兩點 且ABCD 1 P P 則 11 PBPD PBABCBPPBP 1 BPP P1 P D C B A 例例 20 如圖 若在平行四邊形各邊上向平行四邊形的外側作正方形 求證 以四個正方形ABCD 中心為頂點組成一個正方形 P R Q S N M F E D C B A 例例 21 已知 以 AB 為一邊作正方形 ABCD 使 P D 兩點落在直線 AB 的2PA 4PB 兩側 1 如圖 當 APB 45 時 求 AB 及 PD 的長 2 當 APB 變化 且其它條件不變時 求 PD 的最大值 及相應 APB 的大小 13 1 4 正方形的性質和判定 講義 學生版 page 9 of 10 P D C B A 課后練習課后練習 1 如圖 正方形中 是對角線的交點 過點作 分別交于ABCDOAC BD OOEOF AB CD 若 則 E F 43AECF EF O F E D C B