難點(diǎn) 38 分類(lèi)討論思想 分類(lèi)討論思想就是根據(jù)所研究對(duì)象的性質(zhì)差異，分各種不同的情況予以分析解決 于考查學(xué)生的知識(shí)面、分類(lèi)思想和技巧；同時(shí)方式多樣，具有較高的邏輯性及很強(qiáng)的綜合性，樹(shù)立分類(lèi)討論思想，應(yīng)注重理解和掌握分類(lèi)的原則、方法與技巧、做到“確定對(duì)象的全體，明確分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，分層別類(lèi)不重復(fù)、不遺漏的分析討論 .” 1.（）若函數(shù)514121)1(31)( 23 . 2.（）設(shè)函數(shù) f(x)= x a +1， x R. (1)判斷函數(shù) f(x)的奇偶性； (2)求函數(shù) f(x)的最小值 . 例 1已知 首項(xiàng)為 2，公比為21的等比數(shù)列， （ 1）用 n+1; （ 2）是否存在自然數(shù) c和 k，使得 21 cS 命題意圖：本題主要考查等比數(shù)列、不等式知識(shí)以及探索和論證存在性問(wèn)題的能力，屬級(jí)題目 . 知識(shí)依托：解決本題依據(jù)不等式的分析法轉(zhuǎn)化，放縮、解簡(jiǎn)單的分式不 等式；數(shù)列的基本性質(zhì) . 錯(cuò)解分析：第 2 問(wèn)中不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)，不能確定出 223. 技巧與方法：本題屬于探索性題型，是高考試題的熱點(diǎn)題型 問(wèn)的解法時(shí)，采取優(yōu)化結(jié)論的策略，并靈活運(yùn)用分類(lèi)討論的思想：即對(duì)雙參數(shù) k,c 輪流分類(lèi)討論，從而獲得答案 . 解：（ 1）由 (1得 221)2 11(4 11 S ， (n N*) （ 2）要使 21 cS 要 0)223(因?yàn)?4)211(4 212)223( (k N*) 故只要232 c k N*） 因?yàn)?(k N*) 所以232232=1. 又 4，故要使成立， 或 3. 當(dāng) c=2 時(shí)，因?yàn)?，所以當(dāng) k=1時(shí)， c 而不成立 . 當(dāng) k 2 時(shí)，因?yàn)?25223 2，由 (k N*)得 23223 2 故當(dāng) k 2 時(shí)，232 c，從而不成立 . 當(dāng) c=3 時(shí)，因?yàn)?， ， 所以當(dāng) k=1， k=2 時(shí)， c 因?yàn)?413223 3，又23223 2 所以當(dāng) k 3 時(shí)，232 c，從而成立 . 綜上所述，不存在自然數(shù) c,k,使 21 cS 例 2給出定點(diǎn) A（ a,0)（ a 0）和直線 l： x= 1， B 是直線 角平分線交 的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類(lèi)型與 命題意圖：本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡，直線與圓錐曲線的基本知識(shí)，分類(lèi)討論的思想方法 解法較多，考查推理能力和綜合運(yùn)用解析幾何知識(shí)解題的能力 級(jí)題目 . 知識(shí)依托：求動(dòng)點(diǎn)軌跡的基本方法步驟 曲線、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的基本特點(diǎn) . 錯(cuò)解分析：本題易錯(cuò)點(diǎn)為考生不能巧妙借助題意條件，構(gòu)建動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系式和分類(lèi)討論軌跡方程表示曲線類(lèi)型 . 技巧與方法：精心思考，發(fā)散思維、多途徑、多角度的由題設(shè)條件出發(fā)，探尋動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系式 解法一：依題意，記 B（ 1， b)， (b R），則直線 方程分別為 y=0 和 y= 設(shè)點(diǎn) C(x,y)，則有 0 x a， 由 點(diǎn) A、 根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得 y =21| 依題設(shè)，點(diǎn) 有 )(1 由 x a 0，得ax )1( 將式代入式，得 (1 a)21+a)=0 若 y 0，則 (1 a)21+a)(0 x a) 若 y=0 則 b=0, ，點(diǎn) 0， 0）滿(mǎn)足 上式 . 綜上，得點(diǎn) （ 1 a） 21+a)(0 x a) (i)當(dāng) a=1 時(shí)，軌跡方程化為 y2=x(0 x 1) 此時(shí)方程表示拋物線弧段； ( a 1，軌跡方程化為 )0(11)1()1(22222 所以當(dāng) 0 a 1 時(shí)，方程表示橢圓弧段； 當(dāng) a 1 時(shí)，方程表示雙曲線一支的弧段 . 解法二：如圖，設(shè) D 是 l 與 x 軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) C 作 E 是垂足 . （ i）當(dāng) 0 時(shí)， 設(shè)點(diǎn) C(x,y)，則 0 x a， y 0 由 )1(| | . 2 C O A 2t a n1 t a t a n ( B O D t a n)t a n ( |)1(| |t a n D )1(|1|22 整理，得 (1 a)21+a)(0 x a) ( =0 時(shí)， ，則點(diǎn) 0,0)，滿(mǎn)足上式 . 綜合 (i)、 (得點(diǎn) (1 a)21+a)(0 x a) 以下同解法一 . 解法三：設(shè) C(x,y)、 B( 1,b)，則 y= 線 )(1 當(dāng) b 0 時(shí)， , 直線 k=y=22 12t a n1 t a a n 又 b b=212 )(1 由、消去 b，得 )(1 2)1( 2 又代入，有 )(12)1(22 整理，得 (a 1)(1+a) 當(dāng) b=0 時(shí)，即 B 點(diǎn)在 C(0,0)滿(mǎn)足上式： a 1 時(shí)，式變?yōu)?11)1()1(22222 a 1 時(shí)，表示橢圓弧段； 當(dāng) a 1 時(shí)，表示雙曲線一支的弧段； 當(dāng) a=1 時(shí)，表示拋物線弧段 . 分類(lèi)討論思想就是依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)問(wèn)題分類(lèi)、求解，要特別注意分類(lèi)必須滿(mǎn)足互斥、無(wú)漏、最簡(jiǎn)的原則 如絕對(duì)值、直線的斜率、指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)、直線與平面的夾角等定義包含了分類(lèi) . 如等比數(shù)列的前 限的計(jì)算、圓錐曲線的統(tǒng)一定義中圖形的分類(lèi)等 . 如排列、組合、概率中較 常見(jiàn)，但不明顯、有些應(yīng)用問(wèn)題也需分類(lèi)討論 . 在學(xué)習(xí)中也要注意優(yōu)化策略，有時(shí)利用轉(zhuǎn)化策略，如反證法、補(bǔ)集法、變更多元法、數(shù)形結(jié)合法等簡(jiǎn)化甚至避開(kāi)討論 . 一、選擇題 1.（）已知 122 中 a R，則 ) 0 2 或 a 2 C. 2 a 2 2 或 a 2 2.（）四面體的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共 10 個(gè)點(diǎn)，在其中取 4 個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有 ( ) 二、填空題 3.（）已知線段 平面 外， A、 B 兩點(diǎn)到平面 的距離分別為 1和 3，則線段 的距離為 . 4.（）已知集合 A=x 3x+2=0,B=x a 1)=0， C=x x2=0，且 A B=A， A C=C，則 ， . 三、解答題 5.（）已知集合 A=x x2+px+q=0， B=x =0,A, A B , A B= 2.求 p、 6.（）已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn) Q（ 2， 0）和圓 C： x2+，動(dòng)點(diǎn) 的切線長(zhǎng)與 比等于常數(shù) ( 0) 的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線 . 7.( )已知函數(shù) y=f(x)的圖象是自原點(diǎn)出發(fā)的一條折線 .當(dāng) n y n+1(n=0,1,2, )時(shí)，該圖象是斜率為 中 正常數(shù) b 1），設(shè)數(shù)列 f(n(n=1,2, )定義 . （ 1）求 （ 2）計(jì)算 （ 3）求 f(x)的表達(dá)式，并寫(xiě)出其定義域 . 8.（）已知 a 0 時(shí)，函數(shù) f(x)= 1）當(dāng) b 0 時(shí)，若對(duì)任意 x R 都有 f(x) 1，證明 a 2b; （ 2）當(dāng) b 1 時(shí)，證明：對(duì)任意 x 0,1 , f(x) 1 的充要條件是 b 1 a 2 b ； （ 3）當(dāng) 0 b 1 時(shí)，討論：對(duì)任 意 x 0,1 , f(x) 1 的充要條件 . 參 考 答 案 難點(diǎn)磁場(chǎng) f(x)=(a 1)x2+1=0 有解 . 當(dāng) a 1=0 時(shí)，滿(mǎn)足 .當(dāng) a 1 0 時(shí)，只需 =(a 1) 0. 答案：2 522 52 a或 a=1 (1)當(dāng) a=0 時(shí)，函數(shù) f( x)=( x)2+ x +1=f(x)，此時(shí) f(x)為偶函數(shù) . 當(dāng) a 0 時(shí)， f(a)=,f( a)= a + a) f(a),f( a) f(a) 此時(shí)函數(shù) f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù) . （ 2）當(dāng) x 數(shù) f(x)=x+a+1=(x21)2+a+43若 a21，則函數(shù) f(x)在 ( ,a上單調(diào)遞減 . 從而函數(shù) f(x)在（ ,a 上的最小值為 f(a)= 若 a21，則函數(shù) f(x)在（ ,a 上的最小值為 f(21)=43+a，且 f(21) f(a). 當(dāng) x 數(shù) f(x)=x2+x a+1=(x+21)2 a+43若 a 21，則函數(shù) f(x)在 a,+上的最小值為 f(21)=43 a，且 f(21) f(a)； 若 a 21，則函數(shù) f(x)在 a,+ )單調(diào)遞增 . 從而函數(shù) f(x)在 a,+上的最小值為 f(a)=. 綜上，當(dāng) a 21時(shí)，函數(shù) f(x)的最小值為43 a； 當(dāng) 21 a21時(shí)，函數(shù) f(x)的最小值是 ； 當(dāng) a21時(shí)，函數(shù) f(x)的最小值是 a+43. 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、 a=2、 a 2 和 a 2 三種情況分別驗(yàn)證 . 答案： C 取 4 個(gè)點(diǎn)共 C 410=210 種取法 1）每個(gè)面上有 6 個(gè)點(diǎn)，則有 4 0 種取共面的取法；（ 2）相比較 的 4 個(gè)中點(diǎn)共 3 種；（ 3）一條棱上的 3 點(diǎn)與對(duì)棱的中點(diǎn)共 6 種 . 答案： C 二、 線段 答案： 1 或 2 A=1,2,B=x (x 1)(x 1+a)=0, 由 A B=A 可得 1 a=1 或 1 a=2； 由 A C=C，可知 C=1或 . 答案： 2 或 3 3 或（ 2 2 ， 2 2 ） 三、 A， q=0 的根 . 若 ，則 A= 2,0，從而 p=2,q=0,B=21. 此時(shí) A B= 與已知矛盾，故 0. 將方程 q=0 兩邊除以 01)1()1(020 即01x 滿(mǎn)足 B 中的方程，故01x B. A B = 2,則 2 A,且 2 B . 設(shè) A= 2,則 B=01,21 x ，且 2（否則 A B= ） . 若 21，則01x 2 B,與 2 B 矛盾 . 又由 A B , 1x ，即 1. 即 A= 2,1或 A= 2, 1. 故方程 x2+px+q=0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 2， 1 或 2， 1 2)1()2(3)12(21)2(1)12( 圖，設(shè) 于 N，則動(dòng)點(diǎn) M 組成的集合是P=M = , 0. =1, 2= 2 2= 2 1 設(shè)動(dòng)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (x,y)， 則 2222 )2(1 即（ 1)(x2+ 4 2x+(4 2+1)=0. 經(jīng)檢驗(yàn)，坐標(biāo)適合這個(gè)方程的點(diǎn) 都屬于集合 P，故方程為所求的軌跡方程 . （ 1）當(dāng) =1 時(shí)，方程為 x=45，它是垂直于 5， 0）的直線； （ 2）當(dāng) 1 時(shí)，方程化為：2222222)1(31)12( 它是以 )0,12( 22 為圓心，|1|3122 為半徑的圓 . 1）依題意 f(0)=0，又由 f(1，當(dāng) 0 y 1，函數(shù) y=f(x)的圖象是斜率為 的線段，故由 10 )0()(11 x 又由 f(2，當(dāng) 1 y 2 時(shí)，函數(shù) y=f(x)的圖象是斜率為 由 1212 )()(即 x1=+，由函數(shù) y=f(x)圖象中第 1，故得 111 )()( f(n,f(1)=n 1 1=(b1)n 1,n=1,2, 由此知數(shù)列 1為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為 1，公比為因 b 1，得 1) =1+ +1)1(1 11 )1( 1 （ 2）由（ 1）知，當(dāng) b 1 時(shí)，11)1( b 1， n , （ 3）由（ 1）知，當(dāng) 0 y 1 時(shí)， y=x，即當(dāng) 0 x 1 時(shí)， f(x)=x; 當(dāng) n y n+1，即 x 由（ 1）可知 f(x)=n+bn(x n=1,2, ),由（ 2）知 當(dāng) b 1 時(shí)， y=f(x)的定義域?yàn)?0,1 當(dāng) 0 b 1 時(shí)， y=f(x)的定義域?yàn)?0,+ ). 8.(1)證明：依設(shè)，對(duì)任意 x R，都有 f(x) 1 )2()(22 )2(2 1 a 0,b 0 a 2 b . （ 2）證明：必要性： 對(duì)任意 x 0,1， f(x) 1 1 f(x），據(jù)此可以推出 1 f(1) 即 a b 1， a b 1 對(duì)任意 x 0,1， f(x) 1 f(x) 1. 因?yàn)?b 1，可以推出 f( 1 即 a 1 1， a 2 b , b 1 a 2 b 充分性： 因?yàn)?b 1， a b 1，對(duì)任意 x 0,1 . 可以推出 b(x x