高中數學必修 3 第二章教案 1 2 . 1 . 1 簡 單 隨 機 抽 樣 一、三維目標： 1、知識與技能： 正確理解隨機抽樣的概念，掌握抽簽法、隨機數表法的一般步驟； 2、過程與方法： （ 1）能夠從現實生活或其他學科中提出具有一定價值的統計問題； （ 2）在解決統計問題的過程中，學會用簡單隨機抽樣的方法從總體中抽取樣本。 3、情感態度與價值觀： 通過對現實生活和其他學科中統計問題的提出，體會數學知識與現實世界及各學科知識之間的聯系，認識數學的重要性。 二、重點與難點： 正確理解簡單隨機抽樣的概念，掌握抽簽法及隨機數法的步驟，并能靈活應用相關知識從總體中抽取樣本 。 三、教學設想： 假設你作為一名食品衛生工作人員，要對某食品店內的一批小包裝餅干進行衛生達標檢驗，你準備怎樣做？ 顯然，你只能從中抽取一定數量的餅干作為檢驗的樣本。（為什么？）那么，應當怎樣獲取樣本呢？ 【探究新知】 一、簡單隨機抽樣的概念 一般地，設一個總體含有 N 個個體，從中逐個不放回地抽取 n N） ,如果每次抽取時總體內的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣，這樣抽取的樣本，叫做簡單隨機樣本。 【說明】 簡單隨機抽樣必須具備下列特點： （ 1）簡單隨機抽樣要求被抽取 的樣本的總體個數 N 是有限的。 （ 2）簡單隨機樣本數 。 （ 3）簡單隨機樣本是從總體中逐個抽取的。 （ 4）簡單隨機抽樣是一種不放回的抽樣。 （ 5）簡單隨機抽樣的每個個體入樣的可能性均為 n/N。 思考？ 下列抽樣的方式是否屬于簡單隨機抽樣？為什么？ （ 1）從無限多個個體中抽取 50 個個體作為樣本。 （ 2）箱子里共有 100 個零件，從中選出 10 個零件進行質量檢驗，在抽樣操作中，從中任意取出一個零件進行質量檢驗后，再把它放回箱子。 二、抽簽法和隨機數法 1、抽簽法的定義。 一般地，抽簽法就是把總 體中的 N 個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容器中，攪拌均勻后，每次從中抽取一個號簽，連續抽取 得到一個容量為 n 的樣本。 高中數學必修 3 第二章教案 2 【說明】 抽簽法的一般步驟： （ 1）將總體的個體編號。 （ 2）連續抽簽獲取樣本號碼。 思考？ 你認為抽簽法有什么優點和缺點：當總體中的個體數很多時，用抽簽法方便嗎？ 2、隨機數法的定義： 利用隨機數表、隨機數骰子或計算機產生的隨機數進行抽樣，叫隨機數表法，這里僅介紹隨機數表法。 怎樣利用隨機數表產生樣本呢？下面通過例子來說明，假設我們要考察某公司生產的 500 克袋裝牛奶的質量是 否達標，現從 800 袋牛奶中抽取 60 袋進行檢驗，利用隨機數表抽取樣本時，可以按照下面的步驟進行。 第一步，先將 800 袋牛奶編號，可以編為 000， 001， 799。 第二步，在隨機數表中任選一個數，例如選出第 8 行第 7 列的數 7（為了便于說明，下面摘取了附表 1 的第 6 行至第 10 行）。 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28 第三步，從選定的數 7 開始向右讀（讀數的方向也可以是向左、向上、向下等），得到一個三位數 785，由于 785 799，說明號碼 785 在總體內，將它取出；繼續向右讀，得到 916，由于 916 799，將它去掉，按照這種方法繼續向右讀，又取出 567， 199， 507，依次下去，直到樣本的 60 個號碼全部取出，這樣我們就得到一個容量為 60 的樣本。 【說明】 隨機數表法的步驟： （ 1）將總體的個體編號。 （ 2）在隨機數表中選擇開始數字。 （ 3）讀數獲取樣本號碼。 【 例題精析 】 例 1：人們打橋牌時，將洗好的撲克牌隨機確定一張 為起始牌，這時按次序搬牌時，對任何一家來說，都是從 52 張牌中抽取 13 張牌，問這種抽樣方法是否是簡單隨機抽樣？ 高中數學必修 3 第二章教案 3 分析 簡單隨機抽樣的實質是逐個地從總體中隨機抽取樣本，而這里只是隨機確定了起始張，其他各張牌雖然是逐張起牌，但是各張在誰手里已被確定，所以不是簡單隨機抽樣。 例 2：某車間工人加工一種軸 100 件，為了了解這種軸的直徑，要從中抽取 10 件軸在同一條件下測量，如何采用簡單隨機抽樣的方法抽取樣本？ 分析 簡單隨機抽樣一般采用兩種方法：抽簽法和隨機數表法。 解法 1：（抽簽法）將 100 件軸編號為 1， 2， ， 100，并做好大小、形狀相同的號簽，分別寫上這 100 個數，將這些號簽放在一起，進行均勻攪拌，接著連續抽取 10 個號簽，然后測量這個 10 個號簽對應的軸的直徑。 解法 2：（隨機數表法）將 100 件軸編號為 00， 01， 99，在隨機數表中選定一個起始位置，如取第 21 行第 1 個數開始，選取 10 個為 68， 34， 30， 13，70， 55， 74， 77， 40， 44，這 10 件即為所要抽取的樣本。 【課堂練習】 P 【 課堂小結 】 1、簡單隨機抽樣是一種最簡單、最基本的抽樣方法，簡單隨機抽樣有兩種選取個體的方法：放回和不放回， 我們在抽樣調查中用的是不放回抽樣，常用的簡單隨機抽樣方法有抽簽法和隨機數法。 2、抽簽法的優點是簡單易行，缺點是當總體的容量非常大時，費時、費力，又不方便，如果標號的簽攪拌得不均勻，會導致抽樣不公平，隨機數表法的優點與抽簽法相同，缺點上當總體容量較大時，仍然不是很方便，但是比抽簽法公平，因此這兩種方法只適合總體容量較少的抽樣類型。 3、簡單隨機抽樣每個個體入樣的可能性都相等，均為 n/N，但是這里一定要將每個個體入樣的可能性、第 n 次每個個體入樣的可能性、特定的個體在第 免 在解題中出現錯誤。 【評價 設計 】 1、為了了解全校 240 名學生的身高情況，從中抽取 40 名學生進行測量，下列說法正確的是 A總體是 240 B、個體是每一個學生 C、樣本是 40 名學生 D、樣本容量是 40 2、為了正確所加工一批零件的長度，抽測了其中 200 個零件的長度，在這個問題中， 200 個零件的長度是 （ ） A、總體 B、個體是每一個學生 C、總體的一個樣本 D、樣本容量 3、一個總體中共有 200 個個體，用簡單隨機抽樣的方法從中抽取一個容量為 20 的樣本，則某一特定個體被抽到的可能性是 。 4、從 3 名男生、 2 名女生中隨機抽取 2 人，檢查數學成績，則抽到的均為女生的可能性是 。 高中數學必修 3 第二章教案 4 統抽樣 一、三維目標： 1、知識與技能： （ 1）正確理解系統抽樣的概念； （ 2）掌握系統抽樣的一般步驟； （ 3）正確理解系統抽樣與簡單隨機抽樣的關系； 2、過程與方法： 通過對實際問題的探究，歸納應 用數學知識解決實際問題的方法，理解分類討論的數學方法， 3、情感態度與價值觀： 通過數學活動，感受數學對實際生活的需要，體會現實世界和數學知識的聯系。 二、重點與難點： 正確理解系統抽樣的概念，能夠靈活應用系統抽樣的方法解決統計問題。 三、教學設想： 【 創設情境 】 ：某學校為了了解高一年級學生對教師教學的意見，打算從高一年級 500 名學生中抽取 50 名進行調查，除了用簡單隨機抽樣獲取樣本外，你能否設計其他抽取樣本的方法？ 【探究新知】 一、 系統抽樣的定義： 一般地，要從容量為 N 的總體中抽取容量為 n 的樣本，可將總體分成 均衡的若干部分，然后按照預先制定的規則，從每一部分抽取一個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣的方法叫做系統抽樣。 【說明】 由系統抽樣的定義可知系統抽樣有以下特證： （ 1）當總體容量 N 較大時，采用系統抽樣。 （ 2）將總體分成均衡的若干部分指的是將總體分段，分段的間隔要求相等，因此，系統抽樣又稱等距抽樣，這時間隔一般為 k （ 3）預先制定的規則指的是：在第 1 段內采用簡單隨機抽樣確定一個起始編號，在此編號的基礎上加上分段間隔的整倍數即為抽樣編號。 思考？ （ 1）你能舉幾個系統抽樣的例子嗎？ （ 2）下列抽樣中不是系統抽樣的是 （ ） A、從標有 115 號的 15 號的 15 個小球中任選 3 個作為樣本，按從小號到 大號排序，隨機確定起點 i,以后為 i+5, i+10(超過 15 則從 1 再數起 )號入樣 B 工廠生產的產品，用傳關帶將產品送入包裝車間前，檢驗人員從傳送帶上每隔五分鐘抽一件產品檢驗 C、搞某一市場調查，規定在商場門口隨機抽一個人進行詢問，直到調查高中數學必修 3 第二章教案 5 到事先規定的調查人數為止 D、電影院調查觀眾的某一指標，通知每排（每排人數相等）座位號為 14的觀眾留下來座談 點撥 :（ 2） c 不是系統抽樣，因為事先不知道總體，抽樣方法不能保證每個個體按事先規定的概率入樣。 二、系統抽樣的一般步驟。 （ 1）采用隨機抽樣的方法將總體中的 N 個個編號。 （ 2）將整體按編號進行分段，確定分段間隔 k(k N,L k). （ 3）在第一段用簡單隨機抽樣確定起始個體的編號 L（ L N,L k）。 （ 4）按照一定的規則抽取樣本，通常是將起始編號 L 加上間隔 k 得到第 2個個體編號 L+K，再加上 K 得到第 3 個個體編號 L+2K，這樣繼續下去，直到獲取整個樣本。 【說明】 從系統抽樣的步驟可以看出，系統抽樣是把一個問 題劃分成若干部分分塊解決，從而把復雜問題簡單化，體現了數學轉化思想。 【 例題精析 】 例 1、某校高中三年級的 295 名學生已經編號為 1， 2， 295，為了了解學生的學習情況，要按 1： 5 的比例抽取一個樣本，用系統抽樣的方法進行抽取，并寫出過程。 分析 按 1： 5 分段，每段 5 人，共分 59 段，每段抽取一人，關鍵是確定第1 段的編號。 解：按照 1： 5 的比例，應該抽取的樣本容量為 295 5=59，我們把 259 名同學分成 59 組，每組 5 人，第一組是編號為 1 5 的 5 名學生，第 2 組是編號為6 10 的 5名學生，依次下去， 59 組是編號為 291 295 的 5 名學生。采用簡單隨機抽樣的方法，從第一組 5 名學生中抽出一名學生，不妨設編號為 k(1 k5)，那么抽取的學生編號為 k+5L(L=0,1,2,， 58)，得到 59 個個體作為樣本，如當 k=3 時的樣本編號為 3， 8， 13， 288， 293。 例 2、從憶編號為 1 50 的 50 枚最新研制的某種型號的導彈中隨機抽取 5枚來進行發射實驗，若采用每部分選取的號碼間隔一樣的系統抽樣方法，則所選取 5 枚導彈的編號可能是 A 5， 10， 15， 20， 25 B、 3， 13， 23， 33， 43 C 1， 2， 3， 4， 5 D、 2， 4， 6， 16， 32 分析 用系統抽樣的方法抽取至的導彈編號應該 k,k+d,k+2d,k+3d,k+4d,其中 d=50/5=10,k 是 1 到 10 中用簡單隨機抽樣方法得到的數，因此只有選項 選 B。 高中數學必修 3 第二章教案 6 【課堂練習】 練習 1. 2. 3 【 課堂小結 】 1、在抽樣過程中，當總體中個體較多時，可采用系統抽樣的方法進行抽樣，系統抽樣的步驟為： （ 1）采用隨機的方法將總體中個體編號； （ 2）將整體編號進行分段，確定分段間隔 k(k N)； （ 3）在第一段內采用簡單隨機抽樣的方法確定起始個體編號 L； （ 4）按照事先預定的規則抽取樣本。 2、在確定分段間隔 k 時應注意：分段間隔 k 為整數，當采用等可能剔除的方剔除部分個體，以獲得整數間隔 k。 【評價 設計 】 1、從 2005 個編號中抽取 20個號碼入樣，采用系統抽樣的方法，則抽樣的間隔為 （ ） A 99 B、 99， 5 C 100 D、 100， 5 2、從學號為 0 50的高一某班 50名學生中隨機選取 5名同學參加數學測試，采用系統抽樣的方法，則所選 5 名學生的學號可能是 （ ） A 1， 2， 3， 4， 5 B、 5， 16， 27， 38， 49 C 2, 4, 6, 8, 10 D、 4， 13， 22， 31， 40 3、采用系統抽樣從個體數為 83 的總體中抽取一個樣本容量 為 10 的樣本，那么每個個體人樣的可能性為 （ ） A 8 3 C 、某小禮堂有 25 排座位，每排 20個座位，一次心理學講座，禮堂中坐滿了學生，會后為了了解有關情況，留下座位號是 15的所有 25 名學生進行測試，這里運用的是 抽樣方法。 5、某單位的在崗工作為 624 人，為了調查工作上班時，從家到單位的路上平均所用的 時間，決定抽取 10%的工作調查這一情況，如何采用系統抽樣的方法完成這一抽樣？ 高中數學必修 3 第二章教案 7 分層抽樣 一、三維目標： 1、知識與技能： （ 1）正確理解分層抽樣的概念； （ 2）掌握分層抽樣的一般步驟； （ 3）區分簡單隨機抽樣、系統抽樣和分層抽樣，并選擇適當正確的方法進行抽樣。 2、過程與方法： 通過對現實生活中實際問題進行分層抽樣，感知應用數學知識解決實際問題的方法。 3、情感態度與價值觀： 通過對統計學知識的研究，感知數學知識中“ 估計 與“精確”性的矛盾統一，培養學生的辯證唯物主義的世界觀與價值觀。 二 、重點與難點： 正確理解分層抽樣的定義，靈活應用分層抽樣抽取樣本，并恰當的選擇三種抽樣方法解決現實生活中的抽樣問題。 三、教學設想： 【創設情景】 假設某地區有高中生 2400 人，初中生 10900 人，小學生 11000 人，此地 教育部門為了了解本地區中小學的近視情況及其形成原因，要從本地區的 小學生中抽取 1%的學生進行調查，你認為應當怎樣抽取樣本？ 【 探究新知 】 一、分層抽樣的定義。 一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后 按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣的方法叫分層抽樣。 【說明】 分層抽樣又稱類型抽樣，應用分層抽樣應遵循以下要求： （ 1）分層：將相似的個體歸人一類，即為一層，分層要求每層的各個個體互不交叉，即遵循不重復、不遺漏的原則。 （ 2）分層抽樣為保證每個個體等可能入樣，需遵循在各層中進行簡單隨機抽樣，每層樣本數量與每層個體數量的比與這層個體數量與總體容量的比相等。 二、分層抽樣的步驟： （ 1）分層：按某種特征將總體分成若干部分。 （ 2）按比例確定每層抽取個體的個 數。 （ 3）各層分別按簡單隨機抽樣的方法抽取。 （ 4）綜合每層抽樣，組成樣本。 【說明】 （ 1）分層需遵循不重復、不遺漏的原則。 （ 2）抽取比例由每層個體占總體的比例確定。 （ 3）各層抽樣按簡單隨機抽樣進行。 探究交流 （ 1）分層抽樣又稱類型抽樣，即將相似的個體歸入一類（層），然后每層抽取若干個體構成樣本，所以分層抽樣為保證每個個體等可能入樣，必須進行 （ ） A、每層等可能抽樣 高中數學必修 3 第二章教案 8 B、每層不等可能抽 樣 C、所有層按同一抽樣比等可能抽樣 （ 2）如果采用分層抽樣，從個體數為 N 的總體中抽取一個容量為 n 樣本，那么每個個體被抽到的可能性為 （ ） A （ 1）保證每個個體等可能入樣是簡單隨機抽樣、系統抽樣、分層抽 共同的 特征，為了保證這一點，分層時用同一抽樣比是必不可少的，故此選 C。 （ 2）根據每個個體都等可能入樣，所以其可能性本容量與總體容量 比，故此題選 C。 知識點 2 簡單隨機抽樣、系統抽樣、分層抽樣的比較 類 別 共同點 各自特點 聯 系 適 用 范 圍 簡 單 隨 機 抽 樣 （ 1）抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等 （ 2）每次抽出個體后不再將它放回，即不放回抽樣 從總體中逐個抽取 總體個數較少 將總體均分成幾部 分，按預先制定的規則在各部分抽取 在起始部分 樣時采用簡 隨機抽樣 總體個數較多 系 統 抽 樣 將總體分成幾層， 分層進行抽取 分層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成 分 層 抽 樣 【例選精析】 例 1、 某高中共有 900 人，其中高一年級 300 人，高二年級 200 人，高三年級400 人，現采用分層抽樣抽取容量為 45 的樣本，那么高一、高二、高三各年級抽取的人數分別為 ,25 5,15 ,30 0,20 分析 因為 300： 200： 400=3： 2： 4，于是將 45 分成 3： 2： 4 的三部分。設三部分各抽取的個體數分別為 3x,2x,4x,由 3x+2x+4x=45，得 x=5，故高一、高二、高三各年級抽取的人數分別為 15， 10， 20，故選 D。 例 2：一個地區共有 5 個鄉鎮，人口 3 萬人，其中人口比例為 3： 2： 5： 2： 3，從 3 萬人中抽取一個 300 人的樣本，分析某種疾病的發病率，已知這種疾病與不同的地理位置及水土有關，問應采取什么樣的方法？并寫出具體過程。 分析 采用分層抽樣的方法。 解：因為疾病與地理位置和水土均有關系，所以不同鄉鎮的發病情況差異明顯，因而采用分層 抽樣的方法，具體過程如下： （ 1）將 3 萬人分為 5 層，其中一個鄉鎮為一層。 （ 2）按照樣本容量的比例隨機抽取各鄉鎮應抽取的樣本。 高中數學必修 3 第二章教案 9 300 3/15=60（人）， 300 2/15=100（人）， 300 2/15=40（人）， 300 2/15=60（人），因此各鄉鎮抽取人數分別為 60人、 40人、 100 人、 40 人、 60 人。 （ 3）將 300 人組到一起，即得到一個樣本。 【課堂練習】 練習 1. 2. 3 【 課堂小結 】 1、分層抽樣是當總體由差異明顯的幾部分組成時采用的抽樣方法，進行分層抽樣時應注意以下幾點： （ 1）、分層抽樣中分多少層、如何分層要視具體情況而定，總的原則是，層內樣本的差異要小，面層之間的樣本差異要大，且互不重疊。 （ 2）為了保證每個個體等可能入樣，所有層應采用同一抽樣比等可能抽樣。 （ 3）在每層抽樣時，應采用簡單隨機抽樣或系統抽樣的方法進行抽樣。 2、分層抽樣的優點是：使樣本具有較強的代表性，并且抽樣過程中可綜合選用各種抽樣方法，因此分層抽樣是一種實用、操作性強、應用比較廣泛的抽樣方法。 【 評論設計 】 1、某單位有老年人 28 人，中年人 54 人，青年人 81 人，為了調查他們的身體情況，需從他們中 抽取一個容量為 36 的樣本，則適合的抽取方法是 （ ） A簡單隨機抽樣 B系統抽樣 C分層抽樣 D先從老人中剔除 1 人，然后再分層抽樣 2、某校有 500 名學生，其中 O 型血的有 200 人， A 型血的人有 125 人， 25 人， 血的有 50 人，為了研究血型與色弱的關系，要從中抽取一個 20 人的樣本，按分層抽樣， O 型血應抽取的人數為 人， A 型血應抽取的人數為 人， B 型血應抽取的人數為 人， 人。 3、某中學高一年級有 學生 600 人，高二年級有學生 450 人，高三年級有學生 750 人，每個學生被抽到的可能性均為 該校取一個容量為 n 的樣本，則n= 。 4、對某單位 1000 名職工進行某項專門調查，調查的項目與職工任職年限有關，人事部門提供了如下資料： 任職年限 5 年以下 5 年至 10 年 10 年以上 人數 300 500 200 試利用上述資料設計一個抽樣比為 1/10 的抽樣方法。 高中數學必修 3 第二章教案 10 用樣本的頻率分布估計總體分布 (2 課時 ) 一、三維目標： 1、知識與技能 （ 1） 通過實例體會分布的意義和作用。 （ 2）在表示樣本數據的過程中，學會列頻率分布表，畫頻率分布直方圖、頻率折線圖和莖葉圖。 （ 3）通過實例體會頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖的各自特征，從而恰當地選擇上述方法分析樣本的分布，準確地做出總體估計。 2、過程與方法 通過對現實生活的探究，感知應用數學知識解決問題的方法，理解數形結合的數學思想和邏輯推理的數學方法。 3、情感態度與價值觀 通過對樣本分析和總體估計的過程，感受數學對實際生活的需要，認識到數學知識源于生活并指導生活的事實，體會數學知識與現實世界的聯系。 二、重點與難點 重點：會列頻率分 布表，畫頻率分布直方圖、頻率折線圖和莖葉圖。 難點：能通過樣本的頻率分布估計總體的分布。 三、教學設想 【 創設情境 】 在的 2004 賽季中 ,甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的原始記錄如下 甲運動員得分 12， 15， 20， 25， 31， 31， 36， 36， 37， 39， 44， 49， 50 乙運動員得分 8， 13， 14， 16， 23， 26， 28， 38， 39， 51， 31， 29， 33 請問從上面的數據中你能否看出甲，乙兩名運動員哪一位發揮比較穩定？ 如何根據這些數據作出正確的判斷呢？這就是我們這堂課要研究、學習的主要內 容 用樣本的頻率分布估計總體分布（板出課題）。 【 探究新知 】 探究： 國是世界上嚴重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出，某市政府為了節約生活用水，計劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個居民月用水量標準 a，用水量不超過 a 的部分按平價收費，超出 a 的部分按議價收費。如果希望大部分居民的日常生活不受影響，那么標準 a 定為多少比較合理呢 ？你認為，為了了較為合理地確定出這個標準，需要做哪些工作？ （讓學生展開討論） 為了制定一個較為合理的標準 a，必須先了解全市居民日常用水量的分布情況，比如月均用水 量在哪個范圍的居民最多，他們占全市居民的百分比情況等。因此采用抽樣調查的方式，通過分析樣本數據來估計全市居民用水量的分布情況。（如課本 分析數據的一種基本方法是用圖將它們畫出來，或者用緊湊的表格改變數據的排列方式，作圖可以達到兩個目的，一是從數據中提取信息，二是利用圖形傳遞信息。表格則是通過改變數據的構成形式，為我們提供解釋數據的新方式。 下面我們學習的頻率分布表和頻率分布圖，則是從各個小組數據在樣本容量中所占比例大小的角度，來表示數據分布的規律。可以讓我們更清楚的看到整個樣本數據的頻率分布情況。 一頻率分布的概念： 頻率分布是指一個樣本數據在各個小范圍內所占比例的大小。一般用頻率分布高中數學必修 3 第二章教案 11 直方圖反映樣本的頻率分布。其一般步驟為： （ 1） 計算一組數據中最大值與最小值的差，即求極差 （ 2） 決定組距與組數 （ 3） 將數據分組 （ 4） 列頻率分布表 （ 5） 畫頻率分布直方圖 以課本 過以上幾個步驟畫出頻率分布直方圖。（讓學生自己動手作圖） 頻率分布直方圖的特征： （ 1） 從頻率分布直方圖可以清楚的看出數據分布的總體趨勢。 （ 2） 從頻率分布直方圖得不出原始的數據內容，把數據表示成直方圖后，原有的具體數據信息就被抹掉了。 探究 ：同樣一組數據，如果組距不同，橫軸、縱軸的單位不同，得到的圖和形狀也會不同。不同的形狀給人以不同的印象，這種印象有時會影響我們對總體的判斷，分別以 1 為組距重新作圖，然后談談你對圖的印象？（把學生分成兩大組進行，分別作出兩種組距的圖，然后組織同學們對所作圖不同的看法進行交流） 接下來請同學們思考下面這個問題： 思考：如果當地政府希望使 85%以上的居民每月的用水量不超出標準，根據頻率分布表 2頻率分布直方圖 見課本 能對制定月用水量標準提出建議嗎？（讓學生仔細觀察表和圖） 二頻率分布折線圖、總體密度曲線 1頻率分布折線圖的定義： 連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖。 2總體密度曲線的定義： 在樣本頻率分布直方圖中，相應的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線。它能夠精確地反映了總體在各個范圍內取值的百分比，它能給我們提供更加精細的信息。（見課本 思考： 對于任何一個總體，它的密度曲線是不是一定存在？為什么？ 對于任何一個總體，它的密度曲線是否可以被非常準確地畫出來？為什么？ 實際上，盡 管有些總體密度曲線是餓、客觀存在的，但一般很難想函數圖象那樣準確地畫出來，我們只能用樣本的頻率分布對它進行估計，一般來說，樣本容量越大，這種估計就越精確 三莖葉圖 莖葉圖的概念： 當數據是兩位有效數字時，用中間的數字表示十位數，即第一個有效數字，兩邊的數字表示個位數，即第二個有效數字，它的中間部分像植物的莖，兩邊部分像植物莖上長出來的葉子，因此通常把這樣的圖叫做莖葉圖。（見課本 子） 2莖葉圖的特征： （）用莖葉圖表示數據有兩個優點：一是從統計圖上沒有原始數據信息的損失，所有數據信息都可 以從莖葉圖中得到；二是莖葉圖中的數據可以隨時記錄，隨時添加，方便記錄與表示。 （）莖葉圖只便于表示兩位有效數字的數據，而且莖葉圖只方便記錄兩組的數據，高中數學必修 3 第二章教案 12 兩個以上的數據雖然能夠記錄，但是沒有表示兩個記錄那么直觀，清晰。 【 例題精析 】 例 1 ：下表給出了某校 500 名 12 歲男孩中用隨機抽樣得出的 120 人的身高 (單位 ) 區間界限 1 2 2 , 1 2 6 ) 126,130) 130,134) 134,138) 138,142) 142,146)人數 5 8 10 22 33 20區間界限 1 4 6 , 1 5 0 ) 1 5 0 , 1 5 4 ) 1 5 4 , 1 5 8 )人數 11 6 5(1)列出樣本頻率分布表 (2)一畫出頻率分布直方圖 ; (3)估計身高小于 134的人數占總人數的百分比 .。 分析：根據樣本頻率分布 表、頻率分布直方圖的一般步驟解題。 解：（）樣本頻率分布表如下： （）其頻率分布直方圖如下： （ 3）由樣本頻率分布表可知身高小于 134男孩出現的頻率為 以我們估計身高小于 134人數占總人數的 19%. 分組 頻數 頻率 1 2 2 , 1 2 6 ) 5 1 2 6 , 1 3 0 ) 8 1 3 0 , 1 3 4 ) 10 1 3 4 , 1 3 8 ) 22 1 3 8 , 1 4 2 ) 33 1 4 2 , 1 4 6 ) 20 1 4 6 , 1 5 0 ) 11 1 5 0 , 1 5 4 ) 6 1 5 4 , 1 5 8 ) 5 20 1122 126 130 134 138 142 146 150 158 154 身高（ o 率 /組距 高中數學必修 3 第二章教案 13 例 2 ：為了了解高一學生的體能情況 ,某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數次測試，將所得數據整理后，畫出頻率分布直方圖 (如圖 )，圖中從左到右各小長方形面積之比為2： 4： 17： 15： 9： 3，第二小組頻 數為 12. (1) 第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？ (2) 若次數在 110 以上（含 110 次）為達標，試估計該學校全體高一學生的達標率是多少？ (3) 在這次測試中，學生跳繩次數的中位數落在哪個小組內？請說明理由。 分析：在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積等于相應各組的頻率，小長方形的高與頻數成正比，各組頻數之和等于樣本容量，頻率之和等于 1。 解：（ 1）由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數據落在各小組內的頻率大小， 因此第二小組的頻率為： 4 0 . 0 82 4 1 7 1 5 9 3 又因為頻率 = 第二小組頻數樣本容量所以 12 1500 . 0 8 第二小組頻數樣本容量 第二小組頻率（ 2）由圖可估計該學校高一學生的達標率約為 1 7 1 5 9 3 1 0 0 % 8 8 %2 4 1 7 1 5 9 3 （ 3）由已知可得各小組的頻數依次為 6， 12， 51， 45， 27， 9，所以前三組的頻數之和為 69，前四組的頻數之和為 114，所以跳繩次數的中位數落在第四小組內。 【 課堂精練 】 練習 1. 2. 3 【 課堂小結 】 1 總體分布指的是總體取值的頻率分布規律，由于總體分布不易知道，因此我們往往用樣本的頻 率分布去估計總體的分布。 2 總體的分布分兩種情況：當總體中的個體取值很少時，用莖葉圖估計總體的分布；當總體中的個體取值較多時，將樣本數據恰當分組，用各組的頻率分布描述總體的分布，方法是用頻率分布表或頻率分布直方圖。 【 評價設計 】 1 習題 A 組 1、 2 90 100 110 120 130 140 150 次數 o 率 /組距 中數學必修 3 第二章教案 14 用樣本的數字特征估計總體的數字特征 (2 課時 ) 一、三維目標： 1、知識與技能 （ 1）正確理解樣本數據標準差的意義和作用，學會計算數據的標準差。 （ 2）能根據實際問題的需要合理地選取樣本，從樣本數據中提取基本的數字特征（如平均數、標準差），并做出合理的解釋。 （ 3）會用樣本的基本數字特征估計總體的基本數字特征。 （ 4）形成對數據處理過程進行初步評價的意識。 2、過程與方法 在解決統計問題的過程中，進一步體會用樣本估計總體的思想，理解數形結合的數學思想和邏輯推理的數學方法。 3、情感態度與價值觀 會用隨機抽樣的方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題，認識統計的作用，能夠辨證地理解數學知識與現實世界的聯系。 二、重點與難點 重點： 用樣本平均數和標準差估計總體的平均數與標準差。 難點： 能應用相關知識解決簡單的實際問題。 三 、教學設想 【 創設情境 】 在一次射擊比賽中 ,甲、乙兩名運動員各射擊 10 次，命中環數如下 甲運動員 7， 8， 6， 8， 6， 5， 8， 10， 7， 4； 乙運動員 9， 5， 7， 8， 7， 6， 8， 6， 7， 7. 觀察上述樣本數據，你能判斷哪個運動員發揮的更穩定些嗎？為了從整體上更好地把握總體的規律，我們要通過樣本的數據對總體的數字特征進行研究。 用樣本的數字特征估計總體的數字特征（板出課題）。 【 探究新知 】 、眾數、中位數、平均數 探究： 1）怎樣將各個樣本數據匯總為一個數值，并使它成為樣本數據的“中 心點”？ （ 2）能否用一個數值來描寫樣本數據的離散程度？ （讓學生回憶初中所學的一些統計知識，思考后展開討論） 初中我們曾經學過眾數，中位數，平均數等各種數字特征，應當說，這些數字都能夠為我們提供關于樣本數據的特征信息。例如前面一節在調查 100 位居民的月均用水量的問題中，從這些樣本數據的頻率分布直方圖可以看出，月均用水量的眾數是 高的矩形的中點）（圖略見課本第 62 頁）它告訴我們，該市的月均用水量為 2. 25t 的居民數比月均用水量為其他值的居民數多，但它并沒有告訴我們到底多多少。 提問：請大家翻 回到課本第 56 頁看看原來抽樣的數據，有沒有 個 數值呢？根據眾數的定義， 么會是眾數呢？為什么？（請大家思考作答） 分析：這是因為 樣本數據的頻率分布直方圖把原始的一些數據給遺失的原因，而 以存在一些偏差。 提問 ：那么如何從頻率分布直方圖中估計中位數呢？ 分析：在樣本數據中，有 50%的個體小于或等于中位數，也有 50%的個體大于或等于中位數。因此，在頻率分布直方圖中，矩形的面積大小正好表示頻率的大小，即高中數學必修 3 第二章教案 15 中位數左邊和右邊的直方圖的面積應該相等。由此可 圖略見課本 63 頁圖 思考： 個中位數的估計值，與樣本的中位數值 一樣，你能解釋其中的原因嗎？（原因同上： 樣本數據的頻率分布直方圖把原始的一些數據給遺失了 ） （課本 63 頁圖 示，大部分居民的月均用水量在中部（ 右 ），但是也有少數居民的月均用水量特別高，顯然，對這部分居民的用水量作出限制是非常合理的。 思考：中位數不受少數幾個極端值的影響，這在某些情況下是一個優點，但是它對極端值的不敏感有時也會成為缺點，你能舉例說明嗎？（讓 學生討論，并舉例） 、標準差、方差 標準差 平均數為我們提供了樣本數據的重要信息，可是，有時平均數也會