2019 2020 學年度第一學期期末教學統一檢測 高三數學 本試卷共 4 頁 共 150 分 考試時長 120 分鐘 考生務必將答案答在答題卡上 在試卷上作答無效 考試結束 后 將答題卡一并交回 第一部分 選擇題共 40 分 一 選擇題共 8 小題 每小題 5 分 共 40 分 在每小題列出的四個選項中 選出符合題目要求的一項 1 已知集合 1 Ax x 210 Bxxx 那么AB A 12 xx B 1 1 xx C 12 xx D 11 xx 2 復數 z i i 1 在復平面內對應的點位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 下列函數中 是偶函數 且在區間 0 上單調遞增的為 A 1 y x B lnyx C 2 x y D 1yx 4 設 a b為實數 則 0ab 是 ab 的 A 充分而不必要條件 B 必要而不充分條件 C 充分必要條件 D 既不充分也不必要條件 5 設 是兩個不同的平面 m n是兩條不同的直線 則下列結論中正確的是 A 若m mn 則 n B 若 m n 則mn C 若n m n 則m D 若 m n 則mn 6 從數字1 2 3 4 5中 取出3個數字 允許重復 組成三位數 各位數字之和等于 6 這樣的三位數的個數為 A 7 B 9 C 10 D 13 7 設 是三角形的兩個內角 下列結論中正確的是 A 若 2 則sinsin2 B 若 2 則coscos2 C 若 2 則sinsin1 D 若 2 則coscos1 8 用平面截圓柱面 當圓柱的軸與 所成角為銳角時 圓柱面的截線是一個橢圓 著名數學家 Dandelin 創立的雙 球實驗證明了上述結論 如圖所示 將兩個大小相同的球嵌入圓柱內 使它們分別位于 的上方和下方 并且 與圓柱面和 均相切 給出下列三個結論 兩個球與 的切點是所得橢圓的兩個焦點 若球心距 12 4OO 球的半徑為3 則所得橢圓的焦距為2 當圓柱的軸與 所成的角由小變大時 所得橢圓的離心率也由小變大 其中 所有正確結論的序號是 A B C D 第二部分 非選擇題 共 110 分 二 填空題共 6 小題 每小題 5 分 共 30 分 9 若雙曲線 2 2 1 x y m 與 22 1 32 xy 有相同的焦點 則實數m 10 已知 n a 是各項均為正的等比數列 n S為其前項和 若 1 6a 23 26aa 則公比q 4 S 11 能說明 直線0 xym 與圓 22 420 xyxy 有兩個不同的交點 是真命題的一個m的值為 12 在平行四邊形ABCD中 已知 uu u r uuu ruuu r uuu r AB ACAC AD 4AC uuu r 2BD uuu r 則四邊形ABCD的面積是 13 已知函數 2sin 0 f xx 曲線 yf x 與直線3y 相交 若存在相鄰兩個交點間的距離為 6 則 的所有可能值為 14 將初始溫度為0 C的物體放在室溫恒定為30 C的實驗室里 現等時間間隔測量物體溫度 將第n次次測量得到 的物體溫度記為 n t 已知 1 0 Ct 已知物體溫度的變化與實驗室和物體溫度差成正比 比例系數為k 給 出以下幾個模型 那么能夠描述這些測量數據的一個合理模型為 填寫模型對應的序號 1 30 nn n k tt t 1 30 nnn ttkt 1 30 nn tkt 在上述模型下 設物體溫度從5 C上升到10 C所需時間為mina 從 10 C上升到15 C所需時間為minb 從15 C上升到20 C所需時間為minC 那么 a b 與 b c 的大小關系是 用 或 號填 空 n 三 解答題共 6 小題 共 80 分 解答應寫出文字說明 演算步驟或證明過程 15 本小題 13 分 在 ABC中 已知sin3 cos0cAaC 求C 的大小 若 22 3bc 求 ABC的面積 16 本小題 13 分 2019 年 6 月 國內的 5G 運營牌照開始發放 從 2G 到 5G 我們國家的移動通信業務用了不到 20 年的時間 完 成了技術上的飛躍 躋身世界先進水平 為了解高校學生對 5G 的消費意愿 2019 年 8 月 從某地在校大學生中隨機 抽取了 1000 人進行調查 樣本中各類用戶分布情況如下 用戶分類 預計升級到 5G 的時段 人數 早期體驗用戶 2019 年 8 月至 209 年 12 月 270 人 中期跟隨用戶 2020 年 1 月至 20121 年 12 月 530 人 后期用戶 2022 年 1 月及以后 200 人 我們將大學生升級 5G 時間的早晚與大學生愿意為 5G 套餐支付更多的費用作比較 可得出下圖的關系 例如早 期體驗用戶中愿意為 5G 套餐多支付 5 元的人數占所有早期體驗用戶的 40 I 從該地高校大學生中隨機抽取 1 人 估計該學生愿意在 2021 年或 2021 年之前升級到 5G 的概率 II 從樣本的早期體驗用戶和中期跟隨用戶中各隨機抽取 1 人 以X表示這 2 人中愿意為升級 5G 多支付 10 元或 10 元以上的人數 求X的分布列和數學期望 III 2019 年底 從這 1000 人的樣本中隨機抽取 3 人 這三位學生都已簽約 5G 套餐 能否認為樣本中早期體驗用 戶的人數有變化 說明理由 17 本小題 14 分 如圖 在三棱柱 111 ABCABC 中 1 BB 平面ABC ABBC 1 2AAABBC 求證 1 BC 平面 11 A BC 求異面直線 1 BC與 1 AB所成角的大小 點M在線段 1 BC上 且 1 1 0 1 B M BC 點N在線段 1 AB上 若MN 平面 11 A ACC 求 1 1 A N AB 的值 用含 的代數式表示 18 本小題 13 分 已知函數 32 1 3 3 f xxxax a R 若 f x在1x 時 有極值 求a的值 在直線1x 上是否存在點P 使得過點P至少有兩條直線與曲線 yf x 相切 若存在 求出P點坐標 若 不存在 說明理由 19 本小題 14 分 已知橢圓 2 2 2 1 x Cy a 1a 的離心率是 2 2 求橢圓C的方程 已知 1 F 2 F分別是橢圓C的左 右焦點 過 2 F作斜率為k的直線l 交橢圓C于 A B兩點 直線 11 F A FB 分別交y軸于不同的兩點 MN 如果 1 MFN 為銳角 求k的取值范圍 20 本小題 13 分 已知數列 n a 記集合 1 1 iij TS ij S ijaaaij ij N L 對于數列 n a 1 2 3 4 寫出集合T 若2 n an 是否存在 ij N 使得 1024S ij 若存在 求出一組符合條件的 ij 若不存在 說 明理由 III 若22 n an 把集合T中的元素從小到大排列 得到的新數列為 12 m B bbb LL 若2020 m b 求 m的最大值 20201919 20202020學年度第一學期期末教學統一檢測學年度第一學期期末教學統一檢測 高三數學參考答案及評分標準 高三數學參考答案及評分標準 一 選擇題 共 8 小題 每小題 5 分 共 40 分 一 選擇題 共 8 小題 每小題 5 分 共 40 分 1 D 2 C 3 B 4 A 5 B 6 C 7 A 8 C 二 填空題 共 6 小題 每小題 5 分 共 30 分 二 填空題 共 6 小題 每小題 5 分 共 30 分 9 4 10 145 24 11 0 答案不唯一 12 4 13 2或10 14 三 解答題 共三 解答題 共 6 6 小題 共小題 共 8080 分 分 15 共 13 分 解 由正弦定理可得sinsin3cos sin 0CACA 因為sin0A 所以tan3 C 又因為0C 所以 2 3 C 7 分 由正弦定理得 3 2 sin1 2 sin 22 3 bC B c 又因為0 3 B 所以 66 BABC 所以 ABC的面積 111 sin2 2 33 222 SbcA 13 分 16 共 13 分 解 由題意可知 從高校大學生中隨機抽取 1 人 該學生在 2021 年或 2021 年之前升級到 5G 的概率估計為樣本 中早期體驗用戶和中期跟隨用戶的頻率 即 270530 0 8 10001000 3 分 II 由題意X的所有可能值為 0 1 2 記事件A為 從早期體驗用戶中隨機抽取 1 人 該學生愿意為升級 5G 多支付 10 元或 10 元以上 事件B為 從中期跟隨用戶中隨機抽取 1 人 該學生愿意為升級 5G 多支付 10 元或 10 元以上 由題意可知 事件 AB相互獨立 且 1 40 0 6P A 1 45 0 55P B 所以 0 1 0 6 1 0 55 0 18P X P AB 1 1 1 0 61 0 551 0 6 0 55 0 49 P XP AB ABP ABP AB P AP BP A P B 0 6 0 550 33 P X 2P AB 所以X的分布列為 X 0 1 2 P 0 18 0 49 0 33 故X的數學期望0 0 18 1 0 492 0 331 15 E X 10 分 III 設事件D為 從這 1000 人的樣本中隨機抽取 3 人 這三位學生都已簽約 5G 套餐 那么 3 270 3 1000 0 02 C P D C 回答一 事件D雖然發生概率小 但是發生可能性為0 02 所以認為早期體驗用戶沒有發生變化 回答二 事件D發生概率小 所以可以認為早期體驗用戶人數增加 13 分 17 共 14 分 解 在三棱柱 111 ABCA BC 中 由于 1 BB 平面ABC 所以 1 BB 平面 111 ABC 又 1 BB 平面 11 B BCC 所以平面 11 B BCC 平面 111 ABC 交線為 11 BC 又因為ABBC 所以 1111 A BBC 所以 11 AB 平面 11 B BCC 因為 1 BC 平面 11 B BCC 所以 111 A BBC 又因為 1 2BBBC 所以 11 B CBC 又 1 1 AB 11 BCB 所以 1 BC 平面 11 A B C 5 分 由 知 1 BB 底面ABC ABBC 如圖建立空間直角坐標系Bxyz 由題意得 0 0 0 B 2 0 0 C 1 0 2 2 A 1 0 0 2 B 所以 1 2 0 2 BC uuu r 1 0 2 2 AB uuu r 所以 11 11 11 1 cos 2 A B B C A B B C BAB C uuu r uuu r uuu r uuu r uuu ruuu r 故異面直線 1 BC與 1 AB所成角的大小為 3 9 分 易知平面 11 A ACC的一個法向量為 1 1 0 n 由 1 1 B M BC 得 2 0 22 M 設 1 1 A N AB 得 0 22 22 N 則 2 22 22 MN 因為 MN平面 11 A ACC 所以 0MN n 即 2 22 22 1 1 0 0 解得1 所以 1 1 1 A N AB 14 分 18 共 13 分 解 因為 32 1 3 3 f xxxax 所以 2 23fxxxa 由 f x在1x 時 有極值得 11 230fa 解得 1a 經檢驗 1a 時 f x有極值 綜上 1a 4 分 不妨設在直線1x 上存在一點 1 Pb 設過點P與 yf x 相切的直線為l 切點為 00 xy 則切線l方程為 322 000000 1 3 23 3 yxxaxxxa xx 又直線l過 1 Pb 有 322 000000 1 3 23 1 3 bxxaxxxax 即 32 000 2 2 230 3 xxxab 設 32 2 223 3 g xxxxab 22 2422 1 0g xxxx 所以 g x在區間 上單調遞增 所以 0g x 至多有一個解 過點P與 yf x 相切的直線至多有一條 故在直線1x 上不存在點P 使得過P至少有兩條直線與曲線 yf x 相切 13 分 19 共 14 分 解 由題意 2 222 2 2 1 c a b abc 解得 2 2a 所以橢圓C的方程為 2 2 1 2 x y 4 分 由已知直線l的斜率不為 0 設直線l方程為 1yk x 直線l與橢圓C的交點為 1122 A x yB xy 由 2 2 1 1 2 yk x x y 得 2222 214220kxk xk 由已知 判別式0 恒成立 且 22 1212 22 422 2121 kk xxx x kk 直線 1 F A的方程為 1 1 1 1 y yx x 令0 x 則 1 1 0 1 y M x 同理可得 2 2 0 1 y N x 所以 2 12 12 11 1212 11 11 1111 kxxy y FM FN xxxx uuuu r uuu r 2222 12121212 12121212 1111 1 11 kx xkxxkkx xxx x xxxx xxx 將 代入并化簡 得 2 11 2 71 81 k FM FN k uuuu r uuu r 依題意 1 MFN 我銳角 所以 11 0FM FN 即 2 11 2 71 0 81 k FM FN k uuuu r uuu r 解得 2 1 7 k 或 2 1 8 k 綜上 直線l斜率的取值范圍是 7227 0 0 7447 UUU 14 分 20 共 13 分 解 3 5 6 7 9 10T 3 分 假設存在ij N 使得 1024S ij 則