第一章 勾股定理1. 探索勾股定理（第2課時）一、學生起點分析學生的知識技能基礎：學生在七年級已經學習了整式的加、減、乘、除運算和等式的基本性質，并能進行簡單的恒等變形；上節課又已經通過測量和數格子的方法，對具體的直角三角形探索并發現了勾股定理，但沒有對一般的直角三角形進行驗證. X k B 1 . c o m學生活動經驗基礎：學生在以前數學學習中已經經歷了很多獨立探究和合作學習的過程，具有了一定的自主探究經驗和合作學習的經驗，具備了一定的探究能力和合作與交流的能力；學生在七年級七巧板及圖案設計的學習中已經具備了一定的拼圖活動經驗.二、教學任務分析本節課是八（下）勾股定理第1節第2課時，是在上節課已探索得到勾股定理之后的內容，具體學習任務：通過拼圖驗證勾股定理并體會其中數形結合的思想；應用勾股定理解決一些實際問題，體會勾股定理的應用價值并逐步培養學生應用數學解決實際問題意識和能力 ，為后面的學習打下基礎.為此本節課的教學目標是：1.掌握勾股定理及其驗證，并能應用勾股定理解決一些實際問題.2.在上節課對具體的直角三角形探索發現了勾股定理的基礎上，經歷勾股定理的驗證過程，體會數形結合的思想和從特殊到一般的思想.3.在勾股定理的驗證活動中，培養探究能力和合作精神；通過對勾股定理歷史的了解，感受數學文化，增強愛國情感，并通過應用勾股定理解決實際問題，培養應用數學的意識.用面積法驗證勾股定理，應用勾股定理解決簡單的實際問題是本節課的重點.三、教學過程本節課設計了七個教學環節：（一）復習設疑，激趣引入；（二）小組活動，拼圖驗證；（三）延伸拓展，能力提升 （四） 例題講解，初步應用；（五） 追溯歷史，激發情感；（六） 回顧反思，提煉升華；（七） 布置作業，課堂延伸.第一環節： 復習設疑，激趣引入內容：教師提出問題：（1）勾股定理的內容是什么？（請一名學生回答）（2）上節課我們僅僅是通過測量和數格子，對具體的直角三角形探索發現了勾股定理，對一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？這需要進一步驗證，如何驗證勾股定理呢？事實上，現在已經有幾百種勾股定理的驗證方法，這節課我們也將去驗證勾股定理. 意圖：（1）復習勾股定理內容；（2）回顧上節課探索過程，強調仍需對一般的直角三角形進行驗證，培養學生嚴謹的科學態度；（3）介紹世界上有數百種驗證方法，激發學生興趣. 效果：通過這一環節，學生明確了：僅僅探索得到勾股定理還不夠，還需進行驗證.當學生聽到有數百種驗證方法時，馬上就有了去尋求屬于自己的方法的渴望.第二環節：小組活動，拼圖驗證. 內容： 活動1： 教師導入，小組拼圖.教師：今天我們將研究利用拼圖的方法驗證勾股定理，請你利用自己準備的四個全等的直角三角形，拼出一個以斜邊為邊長的正方形.（請每位同學用2分鐘時間獨立拼圖，然后再4人小組討論.） 活動2：層層設問，完成驗證一.學生通過自主探究，小組討論得到兩個圖形： 22 圖1 圖2在此基礎上教師提問：（1）如圖1你能表示大正方形的面積嗎？能用兩種方法嗎？（學生先獨立思考，再4人小組交流）；（2）你能由此得到勾股定理嗎？為什么？（在學生回答的基礎上板書(a+b)2=4ab+c2.并得到）從而利用圖1驗證了勾股定理.活動3 ： 自主探究，完成驗證二.教師小結：我們利用拼圖的方法，將形的問題與數的問題結合起來，聯系整式運算的有關知識，從理論上驗證了勾股定理，你還能利用圖2驗證勾股定理嗎？（學生先獨立探究，再小組交流，最后請一個小組同學上臺講解驗證方法二）意圖：設計活動1的目的是為了讓學生在活動中體會圖形的構成，既為勾股定理的驗證作鋪墊，同時也培養學生的動手、創新能力.在活動2中，學生在教師的層層設問引導下完成對勾股定理的驗證，完成本節課的一個重點內容.設計活動3，讓學生利用另一個拼圖獨立驗證勾股定理的目的是讓學生再次體會數形結合的思想并體會成功的快樂.效果：學生通過先拼圖從形上感知，再分析面積驗證，比較容易地掌握了本節課的重點內容之一，并突破了本節課的難點.第三環節延伸拓展，能力提升1.議一議:觀察下圖,用數格子的方法判斷圖中三角形的三邊長是否滿足a2+b2=c2_b_a_a_c_b_c2.一個直角三角形的斜邊為20cm,且兩直角邊長度比為3:4，求兩直角邊的長。意圖：在前面已經討論了直角三角形三邊滿足的關系，那么銳角三角形或鈍角三角形的三邊是否也滿足這一關系呢？學生通過數格子的方法可以得出：如果一個三角形不是直角三角形，那么它的三邊a,b,c不滿足a2+b2=c2。通過這個結論，學生將對直角三角形三邊的關系有進一步的認識，并為后續直角三角形的判別打下基礎。第四環節： 例題講解 初步應用內容：例題：飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到一個男孩子頭頂上方4000米處，過了20秒，飛機距離這個男孩子頭頂5000米，飛機每小時飛行多少千米？意圖：（1）初步運用勾股定理解決實際問題，培養學生應用數學的意識和能力；（2）體會勾股定理的應用價值.效果：學生對這樣的實際問題很感興趣，基本能把實際問題轉化為數學問題并順利解決. 新 課 標 第 一 網 第五環節： 追溯歷史 激發情感活動內容：由學生利用所搜集的與勾股定理相關的資料進行介紹.國內調查組報告：用圖2驗證勾股定理的方法，據載最早是三國時期數學家趙爽在為周髀算經作注時給出的，我國歷史上將圖2弦上的正方形稱為弦圖 .2002年的數學家大會（ICM-2002）在北京召開，這屆大會會標的中央圖案正是經過藝術處理的弦圖，這既標志著中國古代的數學成就 ，又像一只轉動的風車，歡迎來自世界各地的數學家們！ 國際調查組報告：勾股定理與第一次數學危機.約公元前500年，畢達哥拉斯學派的弟子希帕索斯(Hippasus)發現了一個驚人的事實，一個正方形的對角線的長度是不可公度的.按照畢達哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形邊長是1，則對角線的長不是一個有理數，它不能表示成兩個整數之比，這一事實不但與畢氏學派的哲學信念大相徑庭，而且建立在任何兩個線段都可以公度基礎上的幾何學面臨被推翻的威脅，第一次數學危機由此爆發.據說，畢達哥拉斯學派對希帕索斯的發現十分惶恐、惱怒，為了保守秘密，最后將希帕索斯投入大海. 不能表示成兩個整數之比的數，15世紀意大利著名畫家達.芬奇稱之為“無理的數”，無理數的英文“irrational”原義就是“不可比”.第一次數學危機一直持續到19世紀實數的基礎建立以后才圓滿解決.我們將在下一章學習有關實數的知識 .趣聞調查組報告：勾股定理的總統證法. 新 課 標 第 一 網aabbcc在1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景他走著走著，突然發現附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談論著什么，時而大聲爭論，時而小聲探討由于好奇心驅使他循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什么只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形于是這位中年人不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題.他經過反復的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法. 1876年4月1日，他在新英格蘭教育日志上發表了他對勾股定理的這一證法. 1881年，這位中年人伽菲爾德就任美國第二十任總統.后來，人們為了紀念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統”證法.說明：這個環節完全由學生來組織開展，教師可在兩天前布置任務，讓部分同學收集勾股定理的資料，并在上課前拷貝到教師用的課件中便于展示，內容可靈活安排.意圖：（1）介紹與勾股定理有關的歷史，激發學生的愛國熱情；（2）學生加強了對數學史的了解，培養學習數學的興趣；（3）通過讓部分學生搜集材料，展示材料，既讓學生得到充分的鍛煉，同時也活躍了課堂氣氛.效果：學生熱情高漲，對勾股定理的歷史充滿了濃厚的興趣，同時也為中國古代數學的成就感到自豪.也有同學提出：當代中國數學成就不夠強，還應發奮努力.有同學能意識這一點，這讓我喜出望外.第六環節： 回顧反思 提煉升華內容：教師提問：通過這節課的學習，你有什么樣的收獲？師生共同暢談收獲.目的：（1）歸納出本節課的知識要點，數形結合的思想方法；（2）教師了解學生對本節課的感受并進行總結；（3）培養學生的歸納概括能力.效果：由于這節課自始至終都注意了調動學生學習的積極性，所以學生談的收獲很多，包括利用拼圖驗證勾股定理中蘊含的數形結合思想，學生對勾股定理的歷史的感悟及對勾股定理應用的認識等等.第七環節： 布置作業，課堂延伸內容：教師布置作業1習題12 1，2，32上網或查閱有關書籍，搜集至少1種勾股定理的其它證法，至少1個勾股定理的應用問題，一周后進行展評.意圖：（1）鞏固本節課的內容.（2）充分發揮勾股定理的育人價值.六、教學設計反思 1.設計說明勾股定理作為“千古第一定理”其魅力在于其歷史價值和應用價值，因此我注意充分挖掘了其內涵特別是讓學生事先進行調查，再在課堂上進行展示，這極大地調動了學生，既加深了對勾股定理文化的理解，又培養了他們收集、整理資料的能力勾股定理的驗證既是本節課的重點，也是本節課的