人教版數學八年級下冊人教版數學八年級下冊 第十四章一次函數教案第十四章一次函數教案 14 1 114 1 1 變量與函數變量與函數 學習目標 學習目標 1 通過探索具體問題中的數量關系和變化規律來了解常量 變量的意義 2 學會用含一個變量的代數式表示另一個變量 3 結合實例 理解函數的概念以及自變量的意義 在理解掌握函數概念的基 礎上 確定函數關系式 4 會根據函數解析式和實際意義確定自變量的取值范圍 學習重點 學習重點 了解常量與變量的意義 理解函數概念和自變量的意義 確定函數關系式 學習難點 學習難點 函數概念的理解 函數關系式的確定 學習過程 學習過程 一 提出問題 創設情景 問題一 一輛汽車以 60 千米 小時的速度勻速行駛 行駛里程為 s 千米 行駛時 間為 t 小時 請同學們根據題意填寫下表 t 時12345t s 千米 在以上這個過程中 變化的量是 不變化的量是 試用含 t 的式子表示 s s t 的取值范圍是 這個問題反映了勻速行駛的汽車所行駛的路程 隨行駛時間 的變化過 程 二 深入探究 得出結論 一 問題探究 問題二 每張電影票的售價為 10 元 如果早場售出票 150 張 午場售出 205 張 晚場售出 310 張 三場電影的票房收入各多少元 設一場電影售票 x 張 票房收入 y 元 怎樣用含 x 的式子表示 y 請同學們根據題意填寫下表 售出票數 張 早場 150午場 206晚場 310 x 收入 y 元 2 在以上這個過程中 變化的量是 不變化的量是 試用含 x 的式子表示 y y x 的取值范圍是 這個問題反映了票房收入 隨售票張數 的變化過程 問題三 在一根彈簧的下端懸掛重物 改變并記錄重物的質量 觀察并記錄彈簧長 度的變化 探索它們的變化規律 如果彈簧原長 10cm 每 1kg 重物使彈簧伸長 0 5cm 設重物質量為 mkg 受力后的彈簧長度為 L cm 怎樣用含 m 的式子表示 L 1 請同學們根據題意填寫下表 所掛重物 kg 12345m 受力后的彈簧長度 L cm 2 在以上這個過程中 變化的量是 不變化的量是 試用含 m 的式子表示 L L m 的取值范圍是 這個問題反映了 隨 的變化過程 問題四 圓的面積和它的半徑之間的關系是什么 要畫一個面積為 10cm2的圓 圓 的半徑應取多少 圓的面積為 20cm2呢 30 cm2呢 怎樣用含有圓面積 的式子表 示圓半徑 r 關系式 請同學們根據題意填寫下表 面積 s cm2 102030s 半徑 r cm 在以上這個過程中 變化的量是 不變化的量是 試用含 s 的式子表示 r r s 的取值范圍是 這個問題反映了 隨 的變化過程 問題五 用 10m 長的繩子圍成矩形 試改變矩形的長度 觀察矩形的面積怎樣變 化 記錄不同的矩形的長度值 計算相應的矩形面積的值 探索它們的變化規律 設矩形的長為 xm 面積為 m2 怎樣用含有 x 的式子表示 呢 請同學們根據題意填寫下表 長 x m 1234x 面積 s m2 在以上這個過程中 變化的量是 不變化的量是 試用含 x 的式子表示 s x 的取值范圍是 這個問題反映了矩形的 隨 的變化過程 小結 以上這些問題都反映了不同事物的變化過程 其實現實生活中還有好多類似 的問題 在這些變化過程中 有些量的值是按照某種規律變化的 如 有些量的數值是始終不變的 如 二 得出結論 在一個變化過程中 我們稱數值發生變化的量為 在一個變化過程中 我們稱數值始終不變的量為 三 問題引申 探索概念 中國人口數統計表 年份人口數 億 1984 10 34 1989 11 06 1994 11 76 1999 12 52 一 觀察探究 1 在前面研究的每個問題中 都出現了 個變量 它們之間是相互影響 相互制約的 2 同一個問題中的變量之間有什么聯系 請同學們自己分析 問題一 中兩 個變量之間的關系 進而再分析上述所有實例中的兩個變量之間是否有類似的 關系 歸納 上面每個問題中的兩個變量相互聯系 當其中一個變量取定一個值時 另 一個變量就有 確定的值與其對應 3 其實 在一些用圖或表格表達的問題中 也能看到兩個變量間有上述這樣的 關系 我們來看下面兩個問題 通過觀察 思考 討論后回答 1 下圖是體檢時的心電圖 其中圖上點的橫坐標 x 表示時間 縱坐標 y 表示 心臟部位的生物電流 它們是兩個變量 在心電圖中 對于 x 的每一個確定的值 y 都有唯一確定的對應值嗎 2 在下面的我國人口數統計表中 年份與人口 數 可以記作兩個變量 x 與 y 對于表中每一個確定 的年 份 x 都對應著一個確定的人口數 y 嗎 中國 人口數統計表 二 歸納概念 一般地 在一個變化過程中 如果有兩個變量 x 與 y 并且對于 x 的每一個確 定的值 y 都有唯一確定的值與其對應 那么我們就說 x 是 y 是 x 的 如果當 x a 時 y b 那么 b 叫做當自變量的值為 a 時的 舉例說明 問題一問題二問題三問題四問題五 自變量 自變量的函 數 函數解析式 四 課堂練習 鞏固概念 1 若球體體積為 半徑為 則 3 其中變量是 3 4 常量是 自變量是 是 的函數 R 的取值范圍是 2 校園里栽下一棵小樹高 1 8 米 以后每年長 0 3 米 則 n 年后的樹高 L 與年 數 n 之間的函數關系式 其中變量是 常量是 自變量是 是 的函數 n 的取值范圍是 3 在男子 1500 米賽跑中 運動員的平均速度 v 則這個關系式中變 量是 常量是 自變量是 是 的函數 自變量的取值范圍是 4 已知 2x 3y 1 若把 y 看成 x 的函數 則可以表示為 其中變量是 常量是 自變量是 是 的函數 x 的取值范圍是 5 等腰 ABC 中 AB AC 則頂角 y 與底角 x 之間的函數關系式為 其中變量是 常量是 自變量是 是 的函數 x 的取值范圍是 6 汽車開始行駛時油箱內有油 40 升 如果每小時耗油 5 升 則油箱內剩余油量 升與行駛時間 t 小時的關系是 其中變量是 常量是 自變量是 是 的函 數 t 的取值范圍是 思考題 小明去商店為美術小組買宣紙和毛筆 宣紙每張 元 毛筆每支 元 商 店正搞優惠活動 買一支毛筆贈一張宣紙 小明買了 10 支毛筆和 x 張宣 紙 則小明用錢總數 y 元 與宣紙數 x 之間的函數關系是什么 五 課堂小結 回顧反思 和同學們分享一下你的收獲 14 1 214 1 2 函數函數 第二課時 學習目標學習目標 經過回顧思考認識變量中的自變量與函數 進一步理解掌握確定函數關 系式 會確定自變量取值范圍 通過從圖或表格中尋找兩個變量間的關系 提高識圖及讀表能力 體會 函數的不同表達方式 學習重點學習重點 進一步掌握確定函數關系的方法 確定自變量的取值范圍 學習難點學習難點 認識函數 領會函數的意義 學習過程學習過程 提出問題 創設情境 我們來回顧一下上節課所研究的每個問題中是否各有兩個變化 同一問題中的 變量之間有什么聯系 也就是說當其中一個變量確定一個值時 另一個變量是否隨 之確定一個值呢 這將是我們這節研究的內容 我們來看下面兩個問題 通過觀察 思考 討論后回答 1 下圖是體檢時的心電圖 其中橫坐標 x 表示時間 縱坐標 y 表示心臟部 位的生物電流 它們是兩個變量 在心電圖中 對于 x 的每個確定的值 y 都有唯 一確定的對應值嗎 2 在下面的我國人口數統計表中 年份與人口數可以記作兩個變量 x 與 y 對于表中每個確定的年份 x 都對應著個確定的人口數 y 嗎 中國人口數統計表 年份人口數 億 1984 10 34 1989 11 06 1994 11 76 1999 12 52 活動一 在計算器上按照下面的程序進行操作 填表 x13 40101 y 顯示的數 y 是輸入的數 x 的函數嗎 為什么 在計算器上按照下面的程序進行操作 下表中的 x 與 y 是輸入的 5 個數與相應的計算結果 x 1230 1 y 3572 1 所按的第三 四兩個鍵是哪兩個鍵 y 是 x 的函數嗎 如果是 寫出它的表達 式 用含有 x 的式子表示 y 結論 活動二 活動內容設計 一輛汽車油箱現有汽油 50L 如果不再加油 那么油箱中的油量 y L 隨行駛 里程 x km 的增加而減少 平均耗油量為 0 1L km 寫出表示 y 與 x 的函數關系式 指出自變量 x 的取值范圍 汽車行駛 200km 時 油桶中還有多少汽油 如何確定自變量取值范圍和求函數值的方法 知道了自變量取值范圍的確定 不僅 要考慮函數關系式的意義 而且還要注意問題的實際意義 隨堂練習 下列問題中哪些量是自變量 哪些量是自變量的函數 試寫出用自變量表示函 數的式子 改變正方形的邊長 x 正方形的面積 隨之改變 秀水村的耕地面積是 106m2 這個村人均占有耕地面積 y 隨這個村人數 n 的變化而變化 14 1 314 1 3 函數的圖像 第一課時 函數的圖像 第一課時 學習目標 學習目標 1 使學生了解函數圖象的意義 2 初步掌握畫函數圖象的方法 列表 描點 連線 3 學會通過觀察 分析函數圖象來獲取相關信息 4 結合實例培養學生數形結合的思想和讀圖能力 學習重點 學習重點 初步掌握畫函數圖象的方法 通過觀察 分析函數圖象來獲取信息 學習過程 學習過程 一 知識回顧 1 在一個變化過程中 我們稱數值 的量為變量 在一個變化過程中 我們稱數值 的量為常量 2 長方形相鄰兩邊長分別為 x y 面積為 10 則用含 x 的式子表示 y 為 則這個問題中 是常量 是變量 3 一般地 在一個變化過程中 如果有兩個變量 x 與 y 并且對于 x 的每一個確 定的值 y 都有唯一確定的值與其對應 那么我們就說 x 是 y 是 x 的 如果當 x a 時 y b 那么 b 叫做當自變量的值為 a 時的 4 已知三角形底邊長為 8 高為 h 三角形的面積為 s 則 s 與 h 的函數 關系式為 其中自變量是 自變量的函數是 二 學習新知 一 函數圖象的畫法 1 明確函數圖象的意義 我們在前面學習了函數的意義 并掌握了函數關系式的確立 但有些函數問題 很難用函數關系式表示出來 這時我們可以用圖來直觀地反映 例如用心電圖表示 心臟生物電流與時間的關系 即使對于能用關系式表示的函數關系 如果也能用畫 圖來表示 則會使函數關系更清晰 我們這節課就來解決如何畫函數圖象的問題及 解讀函數圖象信息 2 描點法畫函數圖象 問題一 正方形的面積S與邊長x的函數關系為 其中自變量 x的取值范圍是 我們還可以利用在坐標系中畫圖的方法來表示S與 x的關系 想一想 自變量x的一個確定的值與它所對應的唯一的函數值S 是否能確定一個 點 x S 呢 1 列表 計算并填寫下表 x00 511 522 533 54 S 2 描點 建立直角坐標系 以自變量的值為橫坐標 相應的函數值為縱坐標 描出表格中數值對應的各點 3 連線 按照橫坐標由小到大的順序 把所描出的各點用平滑曲線連接起來 想一想 這條曲線包括原點嗎 應該怎樣表示 強調 用 表示不在曲線上的點 在函數圖象上的點要畫成 的點 3 歸納總結 一般地 對于一個函數 如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫 縱坐標 那么坐標平面內由這些點組成的圖形就是這個函數的 說明 通過圖象可以數形結合地研究函數 二 解讀函數圖象信息 問題二 如圖是自動測溫儀記錄的圖象 它反映了北京的春季某天氣溫 T 如何隨時 間t的變化而變化 你從圖象中能得到哪些信息 可以認為 是 的函數 上圖就是這個函數的圖象 問題三 下面的圖象反映的過程是 小明從家去菜地澆水 又去玉米地鋤草 然后 回家 其中x表示時間 y表示小明離他家的距離 小明家 菜地 玉米地在同一 由它的函數圖象可知 條直線上 解 鞏固檢測 1 小芳今天到學校參加初中畢業會考 從家里出發走 10 分到離家 500 米的地 方吃早餐 吃早餐用了 20 分 再用 10 分趕到離家 1 000 米的學校參加考試 下列 圖象中 能反映這一過程的是 2 近一個月來漳州市遭受暴雨襲擊 九龍 江水位上漲 小明以警戒水位為原點 用折線 統計圖表示某一天江水水位情況 請你結合折 線統計圖判斷下列敘述不正確的是 A 8 時水位最高 B 這一天水位均高于警戒水位 C 8 時到 16 時水位都在下 降 D P點表示 12 時水位高于警戒水位 0 6 米 3 一個裝有進出水管的水池 單位時間內進 出水量都是一定的 已知水池 的容積為 800 升 又知單開進水管 20 分可把空水池注滿 若同時打開進 出水管 20 分可把滿水池的水放完 現已知水池內有水 200 升 先打開進水管 3 分鐘 再 打開出水管 兩管同時開放 直至把水池中的水放完 則能確定反映這一過程中水 池的水量 升 隨時間 分 變化的函數圖象是 根據圖象回答下列問題 根據圖象回答下列問題 菜地離小明家多遠 小明從家到 菜地離小明家多遠 小明從家到 菜地用了多少時間 菜地用了多少時間 小明給菜地澆水用了多少時間 小明給菜地澆水用了多少時間 菜地離玉米地多遠 小明從菜地 菜地離玉米地多遠 小明從菜地 到玉米地用了多少時間 到玉米地用了多少時間 小明給玉米地鋤草用了多少時間 小明給玉米地鋤草用了多少時間 玉米地離小明家多遠 小明從玉 玉米地離小明家多遠 小明從玉 米地回家的平均速度是多少 200 311 升Q 分t B y 米 150 0 100 0 500 10 20 30 40 50 x 分 A OO y 米 B x 分 150 0 100 0 500 10 20 30 40 50 時間 時 0 4 8 12162024 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 水位 米 P y 米 C O10 20 30 40 50 150 0 100 0 500 x 分 x 分 y 米 150 0 100 0 500 10 20 30 40 50 D O 4 李華和弟弟進行百米賽跑 李華比弟弟跑得快 如果兩人同時起跑 李華肯定 贏 現在李華讓弟弟先跑若干米 圖中 分別表示兩人的路程與李華追趕弟弟的時 間的關系 由圖中信息可知 下列結論中正確的 是 A 李華先到達終點 B 弟弟的速度是 8 米 秒 C 弟弟先跑了 10 米 D 弟弟的速度是 10 米 秒 32 020 0 311 升Q 分t C 32 020 0 11 升Q 分t 3 14 1 414 1 4 函數的表示方法函數的表示方法 第四課時 第四課時 學習目標學習目標 總結函數三種表示方法 了解三種表示方法的優缺點 會根據具體情況 選擇適當方法 2 經歷回顧思考 訓練提高歸納總結能力 利用數形結合思想 據具體情況 選用適當方法解決問題的能力 學習重點學習重點 認清函數的不同表示方法 知道各自優缺點 能按具體情況選用適當方法 學習難點學習難點 函數表示方法的應用 學習方法學習方法 歸納 總結 自主 探究 實踐 應用 學習過程學習過程 提出問題 創設情境 師 我們在上節課里已經看到或親自動手用列表格 寫式子和畫圖象的方法表 示了一些函數 這三種表示函數的方法分別稱為列表法 解析式法和圖象法 那么 請同學們思考一下 從前面的例子看 你認為三種表示函數的方法各有 什么優缺點 在遇到具體問題時 該如何選擇適當的表示方法呢 這就是我們這節課要研究的內容 導入新課 師 我們首先思考剛才提出的第一個問題 生 從前面所見到的或自己做的例子可以看出 列表法比較直觀 準確地表示 出函數中兩個變量的關系 解析式法則比較準確 全面地表示出了函數中兩個變量 的關系 至于圖象法它則形象 直觀地表示出函數中兩個變量的關系 師 好 這位同學說出了三種表示方法的優點 那么他們又各有什么不足之處 呢 生 相比較而言 列表法不如解析式法全面 也不如圖象法形象 而解析式法 卻不如列表法直觀 不如圖象法形象 圖象法也不如列表法直觀準確 不如解析式 法全面 師 很好 我們就從全面性 直觀性 準確性及形象性四個方面來總結歸納函 數三種表示方法的優缺點 請同學們根據自己的看法填表 表示方法全面性準確性直觀性形象性 列表法 解析式法 圖象法 師 從所填表中可清楚看到三種表示方法各有優缺點 在遇到實際問題時 就 要根據具體情況 具體要求選擇適當的表示方法 有時為了全面地認識問題 需要 幾種方法同時使用 我們來共同看一個例子 例 一水庫的水位在最近 5 小時內持續上漲 下表記錄了這 5 小時的水位高 度 t 時 012345 y 米 10 10 0510 1010 1510 2010 25 由記錄表推出這 5 小時中水位高度 y 米 隨時間 t 時 變化的函數解 析式 并畫出函數圖象 據估計這種上漲的情況還會持續 2 小時 預測再過 2 小時水位高度將達到 多少米 分析 記錄表中已經通過 6 組數值反映了時間 t 與水位 y 之間的對應關系 我們現在需要從這些數值找出這兩個表量之間的一般聯系規律 由它寫出函數解析 式來 再畫出函數圖象 進而預測水位 解 由表中觀察到開始水位高 10 米 以后每隔 1 小時 水位升高 0 05 米 這樣的規律可以表示為 y 0 05t 10 0 t 7 這個函數的圖象如下圖所示 再過 2 小時的水位高度 就是 t 5 2 7 時 y 0 05t 10 的函數值 從解 析式容易算出 y 0 05 7 10 10 35 從函數圖象也能得出這個值數 2 小時后 預計水位高 10 35 米 師 就上面的例子中我提幾個問題大家思考 函數自變量 t 的取值范圍 0 t 7 是如何確定的 2 小時后的水位高是通過解析式求出的呢 還是從函數圖象估算出的好 函數的三種表示方法之間是否可以轉化 生 從題目中可以看出水庫水位在 5 小時內持續上漲情況 且估計這種 上漲情況還會持續 2 小時 所以自變量 t 的取值范圍取 0 t 7 超出了這個范圍 情況將難以預計 2 小時后水位高通過解析式求準確 通過圖象估算直接 方便 就這個 題目來說 2 小時后水位高本身就是一種估算 但為了準確而言 我認為還是通 過解析式求出較好 從這個例子可以看出函數的三種不同表示法可以轉化 因為題目中只給出 了列表法 而我們通過分析求出解析式并畫出了圖象 所以我認為可以相互轉化 師 非常好 我們現在就利用發現和總結的經驗 搞個嘗試性練習好嗎 嘗試練習 用列表法與解析式法表示 n 邊形的內角和 m 是邊數 n 的函數 用解析式與圖象法表示等邊三角形周長 L 是邊長 a 的函數 解析 因為 n 表示的是多邊形的邊數 所以 n 是大于等于 3 的自然數 n3456 m180360540720 由表可看出 三角形內角和為 180 邊數每增加 1 條 內角和度數就增加 180 故此 m n 函數關系可表示為 m n 2 180 n 3 的自然數 因為等邊三角形的周長 L 是邊長 a 的 3 倍 所以周長 L 與邊長 a 的函數 關系可表示為 L 3a a 0 我們可以用描點法來畫出函數 L 3a 的圖象 列表 a 1234 L 36912 描點 連線 隨堂練習 甲車速度為 20 米 秒 乙車速度為 25 米 秒 現甲車在乙車前面 500 米 設 x 秒后兩車之間的距離為 y 米 求 y 隨 x 0 x 100 變化的函數解析式 并畫出 函數圖象 解 由題意可知 x 秒后兩車行駛路程分別是 甲車為 20 x 乙車為 25x 兩車行駛路程差為 25x 20 x 5x 兩車之間距離為 500 5x 所以 y 隨 x 變化的函數關系式為 y 500 5x 0 x 100 用描點法畫圖 x 10203040 y 450400350300 x50607080 y250200150100 課時小結 通過本節課學習 我們認識了函數的三種不同的表示方法 并歸納總結出三種 表示方法的優缺點 學會根據實際情況和具體要求選擇適當的表示方法來解決相關 問題 進一步知道了函數三種不同表示方法之間可以轉化 為下面學習數形結合的 函數做好了準備 課后作業 板書設計 11 1 4 函數表示方法 一 函數的三種表示方法 二 不同表示方法的優缺點 三 不同表示方法的具體選擇 四 隨堂練習 14 2 114 2 1 正比例函數正比例函數 學習目標學習目標 1 理解正比例函數的概念及其圖象的特征 2 能夠畫出正比例函數的圖象 3 能夠判斷兩個變量是否能夠構成正比例函數關系能夠利用正比例函數解決 簡單的數學問題 學習重點學習重點 正比例函數的概念 學習難點學習難點 正比例函數特征 學習過程學習過程 一 自主探究 一 思考問題一 完成課本 111 頁的 思考 觀察這些函數關系式 這些函數都是常數與自變量 的形式 一般地 形如 函數 叫做正比例函數 其中 叫做k 二 思考問題二 討論正比例函數表達式的結構特征 三 思考問題三 畫出下列正比例函數的圖象 1 1 3 2 3 yxyx 討論交流 問題 觀察并比較 1 兩個函數圖家象的相同點與不同點和變化規律 2 正比例函數是過原點的一條直線 其變化規律是否與有關 k 觀察上題畫函數 完成下列問題 1 正比例函數是一條 它一定經過 解 列表 x 3 2 1 0123 3yx 1 3 yx 在同一直角坐標系內 畫出它們的圖象 2 因為過 點有且只有一條直線 我們在畫正比例函數圖象時 只需確定 兩點 通常是 和 3 象限 隨的增大而 0k 當時 直線經過yx 象限 隨的減小而 0k 當時 直線經過yx 課堂達標 1 下列函數中 哪些是正比例函數 2 12 1 2 2 3 4 5 1 6 2 7 2 32 s yxyxyvyxyryx x 2 1 若是正比例函數 則 1 n ynx n 2 若函數是關于的正比例函數 則 4 ymx xm 3 已知函數是關于的正比例函數 2 3 2 3 yaxax x 求正比例函數的解析式 2 畫出它的圖象 3 若它的圖象有兩點 當時 試比較的大小 1122 A x yB xy 12 xx 12 y y 14 2 1 14 2 1 正比例函數正比例函數 第二課時第二課時 學習目標 學習目標 使學生理解并掌握正比例函數的定義 會用描點法畫正比例函數圖象 掌握 正比例函數圖象的性質 會應用正比例函數的性質解決實際問題 學習重點 學習重點 正比例函數圖象和性質 學習難點 學習難點 正比例函數圖象和性質的探究 課堂導學 課堂導學 一 復習舊知識 1 函數的定義 一般地 在一個變化過程中有兩個變量 和 并且對于 x 的 每一個確定的值 y 都有唯一確定的值與其對應 那么我們就說 x 是 量 是 x 的函數 2 函數圖象的定義 一般地 對于一個函數 如果把自變量與函數的每對對應值 分別作為點的橫 縱坐標 那么坐標平面內由這些點組成的圖形 就是這個函 數的圖象 3 函數的三種表示方法 1 2 3 二 新知識的探討 一 問題 1996 年 鳥類研究者在芬蘭給一只燕鷗 候鳥 套上標志環 大約 128 天后 人們在 25600 千米外的澳大利亞發現了它 1 這只百余克重的小鳥大約平均每天飛行多少千米 2 這只燕鷗的行程 y 單位 千米 與飛行的時間 x 單位 天 之間有什么 關系 3 這只燕鷗飛行一個半月 一個月按 30 天計算 的行程大約是多少千米 二 下列問題中的變量 對應規律可用怎樣的函數表示 1 圓的周長 L 隨半徑 r 大小變化而變化 2 鐵的密度為 7 8g cm 鐵塊的質量 m 單位 g 隨它的體積 V 單位 cm 大小變化而變 化 3 每個練習本的厚度為 0 5cm 一些練習本撂在一起的總厚度 h 單位 cm 隨這些練 習本的本數 n 的變化而變化 4 冷凍一個 0 物體 使它每分下降 2 物體的溫度 T 單位 隨冷凍時間 t 單 位 分 的變化而變化 三 觀察以下函數 1 2 3 4 T rl 2 vm8 7 nh5 0 t 2 5 這些函數有什么共同點 1280 200 xxy 歸納 一般地 形如的函數 叫做正比例函數 其中 K 叫做比例 Kxy 0K K 是常數 系數 注意 這里強調 K 是常數 0 K 四 新知識的應用 1 你能舉出一些正比例函數的例子嗎 2 下列函數中哪些是正比例函數 2 12 1 2 2 3 4 5 1 6 2 7 2 32 s yxyxyvyxyryx x 4 若是正比例函數 23 5 m xy 5 若是正比例函數 3 2 2 m xmy 6 若是關于 x 的正比例函數 則 2 1 m xmy 7 已知一個正比例函數的比例系數是 5 則它的解析式為 8 在同一直角坐標系中 畫出下列正比例函數的圖象 xy2 xy2 比較上面的兩個函數的圖象的相同點與不同點 考慮兩個函數的變化規律 填寫 你發現的規律 兩個圖象都是經過 點的 線 函數的圖象從左向右呈xy2 趨勢 經過第 象限 函數的圖象從左向右呈xy2 趨勢 經過第 象限 五 小結 這節課你學到了些什么知識 你有什么收獲 14 2 214 2 2 一次函數一次函數 學習目標 學習目標 1 記住一次函數的概念 知道一次函數與正比例函數關系 2 能正確識別一次函數解析式 能根據已知確定一次函數解析式 學習重點 學習重點 一次函數解析式的特點 學習難點 學習難點 依據數量關系確定一次函數關系式 學習過程 學習過程 二 想一想 這些函數在形式上有什么共同特點 如果用y表示函數 用 x 表示自 變量 k 為自變量的倍數 b 為常數項 能不能用一個式子表示出函數關系式 發現 一般地 形如 y kx b k b 是常數 k 0 的函數 叫做一次函數 三 議一議 1 結合你對一元一次方程中的一次的理解 說一說你對一次函數中的 一次 的理解 判斷下列函數是不是一次函數 1 y 8x 2 2 y 5x2 6 3 y 0 5x 1 2 k 可以為 0 嗎 說說你的理由 已知 y m 1 x 2 當 m 是 x 的一次函數 3 b 可以為 0 嗎 若 b 為 0 一次函數和正比例函數有什么關系 說一說你的 發現 四 思維大比拼 1 下列式子中哪些是一次函數 哪些又是正比例函數 若不是一次函數 請 說明理由 1 y 8x 2 3 4 y x 5 8 y x 2 0 32yx 12 7 t c 6 7 c 4 8 6x 8 9 y x 6 10 y kx36yx 一 自學教材并完成下表 函數解析式函數 自變 量 自變量 的倍數 常數項 1 2 3 4 2 指出上題中的一次函數中 k b 的值 五 錯題醫院 判斷下列函數是不是一次函數 1 y 3x 2 3x 2 y 2x2 6x 2x2 答 是 因為自變量 x 的次數為 1 答 不是 因為自變量 x 的次數為 2 化簡一下關系式 分析看錯在那里了 六 課堂練習 1 一個小球由靜止開始在一個斜坡向下滾動 其速度每秒增加 2 米 1 求小球速度 v 隨時間 t 變化的函數關系 它是一次函數嗎 2 求第 2 5 秒時小球的速度 2 汽車油箱中原有油 50 升 如果行駛中每小時用油 5 升 求油箱中的油量 y 單位 升 隨行駛時間 x 單位 時 變化的函數關系式 并寫出自變量 x 的 取值范圍 y 是 x 的一次函數嗎 八 拓展提升 1 當 m y 是 x 的一次函數 1 2 m ymx 2 當 m y 是 x 的正比例函數 2 1 1ymxm 14 2 214 2 2 一次函數的圖象與性質一次函數的圖象與性質 通過這節課的學習 我要達到的目標 1 理解直線 y kx b 與直線 y kx 之間的位置關系 2 會畫一次函數的圖象 3 掌握一次函數的性質 一 試一試 請大家在同一坐標系內作出下列函數 y x y x 2 y x 2 的圖象 x 2 1012 y x y x 2 y x 2 X y 2 0 歸納 這幾個函數的圖象形狀都是 并且傾斜程度 函數 y x 的圖象經過 原點 函數 y x 2 的圖象與 y 軸交于點 即它可以看作由直線 y x 向 平 移 個單位長度而得到 函數 y x 2 的圖象與 y 軸交于點 即它可以看作 由直線 y x 向 平移 個單位長度而得到 二 做一做 1 畫出函數 y 2x 1 與 y x 1 的圖象 2 畫出函數 y 2x l 與 y x 1 的圖象 x01 y 2x 1 y x 1 x01 y 2x 1 y x 1 x 2 結論 1 當 k 0 時 y 隨 x 的增大而 當 k2 時 y y 與 x 的函數解析式也可合起來表示為 3 畫函數圖像 變式訓練 今年入夏以來 全國大部分地區發生嚴重干旱 某市自來水公司為了鼓勵市民節約 用水 采取分段收費標準 若某戶居民每月應交水費 y 元 是用水量 x 噸 的 函數 當 0 x 5 時 y 0 72x 當 x 5 時 y 0 9x 0 9 1 畫出函數的圖象 2 觀察圖象 利用函數解析式 回答自來水公司采取的收費標準 分析 畫函數圖象時 應就自變量 0 x 5 和 x 5 分別畫出圖象 當 0 x 5 時 是正比例函數 當 x 5 是一次函數 所以這個函數的圖象是一條折線 三 課堂探究 如圖 折線 ABC 是在某市出租車所付車費 y 元 與行車里程 x km 之間的函數關 系圖像 1 根據圖像 寫出當 x 3 時該圖像的函數關系式 2 某人乘坐 2 5km 應付多少錢 3 某人乘坐 13km 應付多少錢 4 若某人付車費 30 8 元 出租車行駛了多少千米 跟蹤訓練 1 以 200 米 分的速度起跑后 先勻速跑 5 分 每分提高速度 20 米 分 又勻速跑 10 分 試寫出這段時間里她跑步速度 y 單位 米 分 隨跑步時間 x 單位 分 變化的函數關系式 并畫出函數圖像 分析 本題 y 隨 x 的變化規律分成兩段 前 5 分與后 10 分 寫出 y 隨 x 變化的函 數關系式時要分兩部分 畫函數圖像也要分成兩段來畫 四 反饋檢測 1 為緩解用電緊張矛盾 某電力公司特制定了新的用電收費標準 每月用電量 x 度 與應付電費 y 元 的關系如圖所示 根據圖像 請分別求出當 0 x 50 和 x 50 時 y 與 x 的函數關系式 2 旅客乘車按規定可以免費攜帶一定重量的行李 如果所帶行李超過了規定的重 量 就要按超重的千克收取超重行李費 已知旅客所付行李費 y 元 可以看成他 們攜帶的行李質量 x 千克 的一次函數為 畫出這個函數的圖象 并5 6 1 xy 求旅客最多可以免費攜帶多少千克的行李 五 你本節課有哪些收獲呢 寫下來與你的同學分享一下吧 14 3 1 一次函數與一元一次方程 第一次函數與一元一次方程 第 1 課時 課時 學習目標 理解一次函數與一元一次方程的關系 會根據一次函數的圖像解決一元一次 方程的求解 學習重點 用一次函數的圖像來聯系求解一元一次方程 學習難點 一次函數與一元一次方程的關系的發現 歸納 和運用 學習過程 一 引入與探討 探討一次函數與一元一次方程的關系 問題 1 解方程 2x 20 0 它的解為 問題 2 自變量 x 為何值時 函數 y 2x 20 的值為 0 聯想 問題 1 2 是同一個問題嗎 問題 3 畫出直線 y 2x 20 的 圖像 并確定它與 x 軸交點的坐標 析 由圖像可知 直線 y 2x 20 與 x 軸的交點坐標是 聯想 直線 y 2x 20 與 x 軸交點的坐標與方程 2x 20 0 的解有什么關系 通過探究可以發現 由于任何一元一次方程都可以轉化為 的形式 所 以解一元一次方程可以轉化為求一次函數 y 函數值為 0 時的相應的自變量 的值 從圖像上看 這又相當于求直線 y 與 軸交點的橫坐標 簡言之 求一元一次方程的解就是求一次函數與 x 軸交點的橫坐標 二 例題演示 例 一個物體現在的速度為 5 米 秒 其速度每秒增加 2 米 秒 那么 再過幾秒 其速度是 17 米 秒 解 速度 y 與時間 x 的函數關系是 當 y 時 17 即 2x 12 0 畫出 y 2x 12 的圖像 顯然 直線 y 2x 12 與 x 軸的交點為 x 做一做 當 x 滿足什么條件時 函數 y 3x 8 的值滿足下列條件 1 y 0 2 y 7 三 鞏固檢測 1 直線 y 3x 9 與 x 軸的交點是 2 畫出函數 y 2x 1 的圖像 并利用圖像求方程 1 2x 0 的解 分析 畫出函數圖像后 求出直線 y 2x 1 與 x 軸交點的橫坐標 即為 2x 1 0 的解 也就是 1 2x 0 的解 3 已知函數 y 2x 4 從一次函數的角度求方程 2x 4 0 的解 4 已知直線 y 2x 4 與 x 軸交點 A 與 y 軸交點 B 求 AOB 的面積 四 你本節收獲了什么 14 3 114 3 1 一次函數與一元一次方程 第一次函數與一元一次方程 第 2 課時 課時 我真的很聰明 我會選 1 直線 y kx 3 與 x 軸的交點是 1 0 則 k 的值是 A 3 B 2 C 2 D 3 2 已知直線 y kx b 與直線 y 3x 1 交于 y 軸同一點 則 b 的值是 A 1 B 1 C 1 3 D 1 3 3 已知 y y1 y2 其中 y1 2x y2 3x 1 則 y y1 y2 的圖像經過 象限 A 一 二 三 B 一 二 四 C 二 三 四 D 一 三 四 我很棒 我能填 4 已知關于 的方程 mx n 0 的解是 x 2 則直線 y mx n 與 x 軸的交戰坐標是 5 方程 3x 2 8 的解是 則函數 y 3x 2 在自變量 x 等于 時的函數值是 8 6 直線 y 2x b 與直線 y 3x 4 的交點在 x 軸上 則 b 的值為 7 在直角坐標系中 若直線 y 1 2x 2 與直線 y 1 4x a 相交與 x 軸 則直線 y 1 4x a 不經過第 象限 探究樂園 8 有一個一次函數的圖象 可心和黃瑤分別說出了它的兩個特征 可心 圖象與 x 軸交于點 黃瑤 圖象與 x 軸 y 軸圍成的三角形的面積是 9 你知道這個一次函數的關系式嗎 9 已知一次函數的圖象過點 且與兩條坐標軸圍成的直角三角形的面 積為 求一次函數的解析式 10 某同學將父母給的零用錢探疑每朋相等的數額放在儲蓄盒內 準備捐給希望工 程 盒內原來有 40 元 個月后盒內有 80 元 求盒內錢數 y 元 與存錢月數 x 之間的函數關系式 不要求寫出 x 的取值 范圍 在直角坐標系中作出該函數的圖象 觀察圖象回答 按上述方法 該同學經過 個月能存夠 200 元 解 1 y 2 列表 x01 Y 3 作圖 14 3 2 一次函數與一元一次不等式一次函數與一元一次不等式 學習目標 學習目標 1 解一元一次不等式可以看作是 當一次函數值大于 或小于 0 時 求自變 量相應的取值范圍 2 會根據一次函數圖像求一元一次不等式的解集 會根據一次函數圖像求一元一次不等式的解集 學習重點 學習重點 一次函數與一元一次不等式的關系 學習難點 學習難點 利用一次函數圖像確定一元一次不等式的解集 學習過程 學習過程 一 回顧交流 獲取新知 1 解答下列問題 思考問題間的聯系 解不等式 3x 153x 10 當自變量 x 為何值時 函數 y 2x 4 的值大于 0 2 試將下列解不等式轉化為函數的問題 解不等式 2x 4 0 可看作 當 x 2 時 函數 y 的函數值大于 0 解不等式 3x 2 0 可看作 當 x 時 函數 的函數值小于 0 解不等式 5x 40 或 ax b0 或 ax b 0 可看作當一次函數 y ax b 的函數值大于 0 或小于 0 時 求 相應的 二 范例點擊 應用新知 例 1 已知不等式 3x 6 0 解不等式 3x 6 0 可看作 當 x 時 函數 的函數值 用畫函數圖象的方法解不等式 3x 60 即 y 0 x 時 3x 6 6 即 y 6 即 y 6 例 2 用畫函數圖象的方法解不等式 5x 4 2x 10 解法 1 原不等式可化為 0 y0 當 x 時 x 1y2 當 x 時 y10 或 kx b0 或 kx b1 B x 1 C x 1 D x 1 6 已知直線 y 2x k 與 x 軸的交點為 2 0 則關于 x 的不等式 2x k 2 B x 2 C x0 a 0 的解集是 x12 的解集是 10 已知關于 x 的不等式 kx 2 0 k 0 的解集是 x 3 則直線 y kx 2 與 x 軸 的交點是 11 已知不等式 x 5 3x 3 的解集是 x2280 即當照明時間大于 2280 小時 購買節能燈較省錢 若 y1 y2 則有 60 0 5 0 01x 3 0 5 0 06x 解得 x 2280 即當照明時間小于 2280 小時 購買白熾燈較省錢 若 y1 y2 則有 60 0 5 0 01x 3 0 5 0 06x 解得 x 2280 即當照明時間等于 2280 小時 購買節能燈 白熾燈均可 解 設照明時間是 x 小時 節能燈的費用 y1 元表示 白熾燈的費用 y2 元表示 則 有 y1 60 0 5 0 01x y2 3 0 5 0 06x 若 y1 y2 則有 60 0 5 0 01x 3 0 5 0 06x 解得 x 2280 即當照明時間大于 2280 小時 購買節能燈較省錢 若 y1 y2 則有解得 x 2280 即當照明時間小于 2280 小時 購買白熾燈較省錢 若 y1 y2 則有 60 0 5 0 01x 3 0 5 0 06x 即當照明時間等于 2280 小時 購買節能燈 白熾燈均可 能否利用函數解析式和圖象也可以給出解答呢 解 設照明時間是 x 小時 節能燈的費用 y1 元表示 白熾燈的費用 y2 元表示 則 有 y1 60 0 5 0 01x y2 3 0 5 0 06x 即 y1 0 005x 60 y2 0 03x 3 由圖象可知 當照明時間小于 2280 時 y2 y1 故用節能燈省錢 當照明時間等于 2280 小時 y2 y1 購買 節能燈 白熾燈均可 方法總結 1 建立數學模型 列出兩個函數關系式 2 通過解不等式或利用圖象來確定自變量的取值范圍 3 選擇出最佳方案 課堂小結 本節課你有哪些收獲 y 2 y 1 0 71 4 60 2280 3 y x 14 414 4 課題學習課題學習 選擇方案 第二課時 師生共用講學稿選擇方案 第二課時 師生共用講學稿 學習目標學習目標 1 鞏固一次函數知識 靈活運用變量關系解決相關實際問題 2 有機地把各種數學模型通過函數統一起來使用 提高解決實際問題的能 力 3 讓學生認識數學在現實生活中的意義 發展學生運用數學知識解決實際問 題的能力 學習重點學習重點 1 建立函數模型 靈活運用數學模型解決實際問題 學習過程學習過程 導入新課 問題 有甲乙兩種客車 甲種客車每車能裝 30 人 乙種客車每車能裝 40 人 現在有 400 人要乘車 1 你有哪些乘車方案 2 只租 8 輛車 能否一次把客人都運送走 問題二 怎樣租車 某學校計劃在總費用 2300 元的限額內 利用汽車送 234 名學生和 6 名教師集體外 出活動 每輛汽車上至少有 1 名教師 現有甲 乙兩種大客車 它們的載客量和租 金如表 甲種客車乙種客車 載客量 單位 人 輛 4530 租金 單位 元 輛 400280 1 共需租多少輛汽車 2 給出最節省費用的租車方案 分析 1 要保證 240 名師生有車坐 2 要使每輛汽車上至少要有 1 名教師 根據 1 可知 汽車總數不能小于 根據 2 可知 汽車總數不能大于 綜合起來可知汽車總數為 設租用 x 輛甲種客車 則租車費用 y 單位 元 是 x 的函數 即 y 400 x 280 6 x 化簡為 y 120 x 1680 討論 根據問題中的條件 自變量 x 的取值應有幾種可能 為使 240 名師生有車坐 x 不能 小于 為使租車費用不超過 2300 元 X 不能超過 綜合起來可知 x 的取值為 在考慮上述問題的基礎上 你能得出幾種不同的租車方案 為節省費用應選擇其中 的哪種方案 試說明理由 方案一 4 兩甲種客車 2 兩乙種客車 y1 120 4 1680 2160 方案二 5 兩甲種客車 1 輛乙種客車 y2 120 5 1680 2280 應選擇方案一 它比方案二節約 120 元 3 學生練習 2 根據市場調查分析 為保證市場供應 某蔬菜基地準備安排 40 個勞力 用 10 公頃地種植黃瓜 西紅柿和青菜 且青菜至少種植 2 公頃 種植這三種蔬菜 所需勞動力和預計產值如下表 蔬菜品種黃瓜西紅柿青菜 每公頃所需勞力 個 5 15 4 5 2 每公頃預計產值 千元 22 5 1812 問怎樣安排種植面積和分配勞動力 使預計的總產值最高 小結 通過這節課的學習 你有什么收獲 1 1 y y 5 5x x 1 12 27 75 5 1 1 x x 1 14 4 2 y 萬萬噸噸 千千米米 O x 噸噸 114 1280 1345 O 1280 1345 O 1280 1345 O 1280 1345 14 4 314 4 3 課題學習課題學習 選擇方案 第三課時 選擇方案 第三課時 學習目標學習目標 1 鞏固一次函數知識 靈活運用變量關系解決相關實際問題 2 有機地把各種數學模型通過函數統一起來使用 提高解決實際問題的能 力 3 讓學生認識數學在現實生活中的意義 發展學生運用數學知識解決實際問 題的能力 學習重點學習重點 1 建立函數模型 靈活運用數學模型解決實際問題 學習過程學習過程 問題 3 怎樣調水 從 A B 兩水庫向甲乙兩地調水 其中甲地需水 15 萬噸 乙地需水 13 萬噸 A B 兩 水庫各可調水 14 萬噸 從 A 地到甲地 50 千米 到乙地 30 千米 從 B 地到甲地 60 千米 到乙地 45 千米 設計一個調運方案 使得水的調運量 單位 萬噸 千米 最小 甲乙總計 Ax14 x14 B15 xx 114 C151328 首先應考慮到影響水的調運量的因素有兩個 即水量 單位 萬噸 和運程 單位 千米 水的調運量是兩者的乘積 單位 萬噸 千米 其次應考慮到由 A B 水庫運往甲 乙兩地的水量共 4 個量 即 A 甲 A 乙 B 甲 B 乙的水 量 它們互相聯系 設從 A 水庫調往甲地的水量為 x 噸 則有 設水的運量為 y 萬噸 千米 則有 y 50 x 30 14 x 60 15 x 45 x 1 1 化簡這個函數 并指出其中自變量 x 的取值應有什么限制條件 2 畫出這個函數的圖像 3 結合函數解析式及其圖像說明水的最佳調運方案 水的最小調運量是多少 4 如果設其他水量 例如從 B 水庫調往乙地的水量 為 x 萬噸 能得到同樣的 最佳方案么 1 y 5x 1275 1 x 14 3 最佳方案為 從 A 調往甲 1 萬噸水 調往乙 13 萬噸水 從 B 調往甲萬水 水的最小調運量為 1280 萬噸 千米 4 最佳方案相同 2 學生練習 1 東風商場文具部的某種毛筆每支售價 25 元 書法練習本每本售價 5 元 該 商場為了促銷制定了兩種優惠方案供顧客選擇 甲 買一支毛筆贈送一本