2009200920092009 年普通高等學校招生全國統一考試年普通高等學校招生全國統一考試 浙江卷浙江卷 數數數數學學學學 文科 本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分 全卷共 5 頁 選擇題部分 1 至 2 頁 非選擇題部 分 3 至 5 頁 滿分 150 分 考試時間 120 分鐘 請考生按規定用筆將所有試題的答案涂 寫在答題紙上 選擇題部分 共 50 分 注意事項 1 答題前 考生務必將自己的姓名 準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題 紙上 2 每小題選出答案后 用 2B 鉛筆把答題紙上對應題目的答案標號涂黑 如需改動 用橡皮擦干凈后 再選涂其它答案標號 不能答在試題卷上 參考公式 球的表面積公式棱柱的體積公式 2 4SR VSh 球的體積公式其中S表示棱柱的底面積 h表示棱柱的高 3 3 4 RV 棱臺的體積公式 其中 R 表示球的半徑 3 1 2211 SSSShV 棱錐的體積公式其中 S1 S2分別表示棱臺的上 下底面積 1 3 VSh h表示棱臺的高 其中S表示棱錐的底面積 h表示棱錐的高如果事件 A B互斥 那么 P ABP AP B 一 選擇題 本大題共 10 小題 每小題 5 分 共 50 分 在每小題給出的四個選項中 只有 一項是符合題目要求的 1 設U R R R R 0 Ax x 1 Bx x 則 U AB I A 01 xx B 01 xx C 0 x x 1 B 命題意圖 本小題主要考查了集合中的補集 交集的知識 在集合的運算考查對 于集合理解和掌握的程度 當然也很好地考查了不等式的基本性質 解析 對于 1 U C Bx x 因此 U AB I 01 xx 是 0 x 的 A 充分而不必要條件B 必要而不充分條件 C 充分必要條件D 既不充分也不必要條件 2 A 命題意圖 本小題主要考查了命題的基本關系 題中的設問通過對不等關系的分 析 考查了命題的概念和對于命題概念的理解程度 解析 對于 0 x 0 x 反之不一定成立 因此 0 x 是 0 x 的充分而不必 要條件 3 設1zi i是虛數單位 則 2 2 z z A 1i B 1i C 1i D 1i 3 D 命題意圖 本小題主要考查了復數的運算和復數的概念 以復數的運算為載體 直 接考查了對于復數概念和性質的理解程度 解析 對于 22 22 1 121 1 ziiii zi w w w k s 5 u c o m 4 設 是兩個不同的平面 l是一條直線 以下命題正確的是 A 若 l 則l B 若 l 則l C 若 l 則l D 若 l 則l 4 C 命題意圖 此題主要考查立體幾何的線面 面面的位置關系 通過對平行和垂直的 考查 充分調動了立體幾何中的基本元素關系 解析 對于 A B D 均可能出現 l 而對于 C 是正確的 w w w k s 5 u c o m 5 已知向量 1 2 a a a a 2 3 b b b b 若向量c c c c滿足 cabcabcabcab cabcabcabcab 則c c c c A 7 7 9 3 B 77 39 C 7 7 3 9 D 77 93 5 D 命題意圖 此題主要考查了平面向量的坐標運算 通過平面向量的平行和垂直關系 的考查 很好地體現了平面向量的坐標運算在解決具體問題中的應用 解析 不妨設 Cm n u r 則 1 2 3 1 acmnab rrrr 對于 cab rrr 則有3 1 2 2 mn 又 cab rrr 則有 30mn 則有 77 93 mn 6 已知橢圓 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦點為F 右頂點為A 點B 在橢圓上 且BFx 軸 直線AB交y軸于點P 若2APPB uuu ruuu r 則 橢圓的離心率是 w w w k s 5 u c o m A 3 2 B 2 2 C 1 3 D 1 2 6 D 命題意圖 對于對解析幾何中與平面向量結合的考查 既體現了幾何與向量的交匯 也體現了數形結合的巧妙應用 解析 對于橢圓 因為2APPB uuu ruuu r 則 1 2 2 2 OAOFace w w w k s 5 u c o m 7 某程序框圖如圖所示 該程序運行后輸出的k的值是 A 4B 5 C 6D 7 7 A 命題意圖 此題考查了程序語言的概念和基本的應用 通過對程序語言的考查 充 分體現了數學程序語言中循環語言的關鍵 解析 對于0 1 1ksk 而對于1 3 2ksk 則2 38 3ksk 后面是 11 3 382 4ksk 不符合條件時輸出的4k 8 若函數 2 a f xxa x R R R R 則下列結論正確的是 A a R R R R f x在 0 上是增函數w w w k s 5 u c o m B a R R R R f x在 0 上是減函數 C a R R R R f x是偶函數 D a R R R R f x是奇函數 8 C 命題意圖 此題主要考查了全稱量詞與存在量詞的概念和基礎知識 通過對量詞的 考查結合函數的性質進行了交匯設問 解析 對于0a 時有 2 fxx 是一個偶函數 9 已知三角形的三邊長分別為3 4 5 則它的邊與半徑為1的圓的公共點個數最多為 A 3B 4C 5D 6 9 C 命題意圖 此題很好地考查了平面幾何的知識 全面而不失靈活 考查的方法上面 的要求平實而不失靈動 既有切線與圓的位置 也有圓的移動 解析 對于半徑為 1 的圓有一個位置是正好是三角形的內切圓 此時只有三個交點 對于 圓的位置稍一右移或其他的變化 能實現 4 個交點的情況 但 5 個以上的交點不能實現 10 已知a是實數 則函數 1sinf xaax 的圖象不可能 是 w w w k s 5 u c o m 10 D 命題意圖 此題是一個考查三角函數圖象的問題 但考查的知識點因含有參數而 豐富 結合圖形考查使得所考查的問題形象而富有深度 解析 對于振幅大于 1 時 三角函數的周期為 2 1 2TaT a Q 而 D 不符合 要求 它的振幅大于 1 但周期反而大于了2 非選擇題部分 共 100 分 注意事項 1 用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將答案寫在答題紙上 不能答在試題卷上 2 在答題紙上作圖 可先使用 2B 鉛筆 確定后必須使用黑色字跡的簽字筆或鋼筆描 黑 二 填空題 本大題共 7 小題 每小題 4 分 共 28 分 11 設等比數列 n a的公比 1 2 q 前n項和為 n S 則 4 4 S a w w w k s 5 u c o m 11 15 命題意圖 此題主要考查了數列中的等比數列的通項和求和公式 通過對數列知 識點的考查充分體現了通項公式和前n項和的知識聯系 解析 對于 44 3 14 441 3 4 1 1 15 1 1 aqsq saa q qaqq w w w k s 5 u c o m 12 若某幾何體的三視圖 單位 cm 如圖所示 則此幾何體 的體積是 3 cm 12 18 命題意圖 此題主要是考查了幾何體的三視圖 通過 三視圖的考查充分體現了幾何體直觀的考查要求 與表面積和體 積結合的考查方法 解析 該幾何體是由二個長方體組成 下面體積為1 3 39 上面的長方體體積為3 3 19 因此其幾何體的體積為 18 13 若實數 x y滿足不等式組 2 24 0 xy xy xy 則23xy 的最小值是 w w w k s 5 u c o m 13 4 命題意圖 此題主要是考查了線性規劃中的最值問題 此題的考查既體現了正確畫 線性區域的要求 也體現了線性目標函數最值求解的要求 解析 通過畫出其線性規劃 可知直線 2 3 yxZ 過點 2 0時 min234xy 14 某個容量為100的樣本的頻率分布直方圖如下 則在區間 4 5 上的數據的頻數 為 14 30 命題意圖 此題考查了頻率分布直方圖 通過設問既考查了設圖能力 也考查了運用圖表解決 實際問題的水平和能力 解析 對于在區間 4 5的頻率 組距的數值為0 3 而總數為 100 因此頻數為 30w w w k s 5 u c o m 15 某地區居民生活用電分為高峰和低谷兩個時間段進行分時計價 該地區的電網銷售電價 表如下 高峰時間段用電價格表低谷時間段用電價格表 高峰月用電量 單位 千瓦時 高峰電價 單位 元 千瓦 時 低谷月用電量 單位 千瓦時 低谷電價 單位 元 千瓦 時 50 及以下的部分0 56850 及以下的部分0 288 超過 50 至 200 的部 分 0 598超過 50 至 200 的部分0 318 超過 200 的部分0 668超過 200 的部分0 388 若某家庭 5 月份的高峰時間段用電量為200千瓦時 低谷時間段用電量為100千瓦 時 則按這種計費方式該家庭本月應付的電費為元 用數字作答 15 148 4 命題意圖 此題是一個實際應用性問題 通過對實際生活中的電費的計算 既考查了函數的概念 更側重地考查了分段函數的應用w w w k s 5 u c o m 解析 對于應付的電費應分二部分構成 高峰部分為50 0 568 150 0 598 對于低峰 部分為50 0 28850 0 318 二部分之和為148 4w w w k s 5 u c o m 16 設等差數列 n a的前n項和為 n S 則 4 S 84 SS 128 SS 1612 SS 成等差數列 類比以上結論有 設等比數列 n b的前n項積為 n T 則 4 T 16 12 T T 成等比 數列 16 812 48 TT TT 命題意圖 此題是一個數列與類比推理結合的問題 既考查了數列中等差數 列和等比數列的知識 也考查了通過已知條件進行類比推理的方法和能力w w w k s 5 u c o m 解析 對于等比數列 通過類比 有等比數列 n b的前n項積為 n T 則 4 T 812 48 TT TT 16 12 T T 成等比數列 w w w k s 5 u c o m 17 有20張卡片 每張卡片上分別標有兩個連續的自然數 1k k 其中0 1 2 19k L 從這20張卡片中任取一張 記事件 該卡片上兩個數的各位數字之和 例如 若取到 標有9 10的卡片 則卡片上兩個數的各位數字之和為9 1010 不小于14 為A 則 P A w w w k s 5 u c o m 17 1 4 命題意圖 此題是一個排列組合問題 既考查了分析問題 解決問題的能力 更 側重于考查學生便舉問題解決實際困難的能力和水平 解 析 對 于 大 于 14 的 點 數 的 情 況 通 過 列 舉 可 得 有 5 種 情 況 即 7 8 8 9 16 17 17 18 18 19 而基本事件有 20 種 因此 P A 1 4 w w w k s 5 u c o m 三 解答題 本大題共 5 小題 共 72 分 解答應寫出文字說明 證明過程或演算步驟 18 本題滿分 14 分 在ABC 中 角 A B C所對的邊分別為 a b c 且滿足 2 5 cos 25 A 3AB AC uuu r uuu r I 求ABC 的面積 II 若1c 求a的值 18 解析 5 3 1 5 52 21 2 cos2cos 22 A Aw w w k s 5 u c o m 又 0 A 5 4 cos1sin 2 AA 而3 5 3 cos bcAACABACAB 所以5 bc 所以ABC 的面積為 2 5 4 5 2 1 sin 2 1 Abc 由 知5 bc 而1 c 所以5 b 所以5232125cos2 22 Abccba 19 本題滿分 14 分 如圖 DC 平面ABC EBDC 22ACBCEBDC 120ACB o P Q分 別 為 2 AE AB的中點 I 證明 PQ平面ACD II 求AD與平面ABE所成角的正弦值 19 證明 連接CQDP 在ABE 中 QP 分別是ABAE 的中點 所以 BEPQ 2 1 又BEDC 2 1 所以DCPQ 又 PQ平面 ACD DC 平面 ACD 所以 PQ平面 ACD 在ABC 中 BQAQBCAC 2 所以ABCQ 而 DC 平面 ABC DCEB 所以 EB平面 ABC 而 EB平面 ABE 所以平面 ABE 平面 ABC 所以 CQ平面 ABE 由 知四邊形 DCQP 是平行四邊形 所以CQDP 所以 DP平面 ABE 所以直線 AD 在平面 ABE 內的射影是 AP 所以直線 AD 與平面 ABE 所成角是DAP 在APDRt 中 512 2222 DCACAD 1sin2 CAQCQDP 所以 5 5 5 1 sin AD DP DAP 20 本題滿分 14 分 設 n S為數列 n a的前n項和 2 n Sknn nN 其中k是常 數 I 求 1 a及 n a II 若對于任意的 mN m a 2m a 4m a成等比數列 求k的值 20 解析 當1 1 11 kSan 12 1 1 2 22 1 kknnnknknSSan nnn 經驗 1 n 式成立 12 kknan mmm aaa 42 Q成等比數列 mmm aaa 4 2 2 即 18 12 14 2 kkmkkmkkm 整理得 0 1 kmk 對任意的 Nm成立 10 kk或 21 本題滿分 15 分 已知函數 32 1 2 f xxa xa axb a b R R R R I 若函數 f x的圖象過原點 且在原點處的切線斜率是3 求 a b的值 II 若函數 f x在區間 1 1 上不單調 求a的取值范圍 解析 由題意得 2 1 23 2 aaxaxxf 又 3 2 0 0 0 aaf bf 解得0 b 3 a或1 a 2 函數 xf在區間 1 1 不單調 等價于 導函數 xf 在 1 1 既能取到大于 0 的實數 又能取到小于 0 的實數 即函數 xf 在 1 1 上存在零點 根據零點存在定理 有 0 1 1 ff 即 0 2 1 23 2 1 23 aaaaaa 整理得 0 1 1 5 2 aaa 解得15 上一點 4 A m 到其焦點的距離為17 4 I 求p與m的值 II 設拋物線C上一點P的橫坐標為 0 t t