圖形的相似與位似一、 選擇題1. （2014湖北宜昌,第9題3分）如圖，A，B兩地被池塘隔開，小明通過下列方法測出了A、B間的距離：先在AB外選一點C，然后測出AC，BC的中點M，N，并測量出MN的長為12m，由此他就知道了A、B間的距離有關他這次探究活動的描述錯誤的是（）AAB=24mBMNABCCMNCABDCM：MA=1：2考點：三角形中位線定理；相似三角形的應用專題：應用題分析：根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得MNAB，MN=AB，再根據相似三角形的判定解答解答：解：M、N分別是AC，BC的中點，MNAB，MN=AB，AB=2MN=212=24m，CMNCAB，M是AC的中點，w w w .x k b 1.c o mCM=MA，CM：MA=1：1，故描述錯誤的是D選項故選D點評：本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，相似三角形的判定，熟記定理并準確識圖是解題的關鍵2. （2014萊蕪，第10題3分）如圖，在ABC中，D、E分別是AB、BC上的點，且DEAC，若SBDE：SCDE=1：4，則SBDE：SACD=（）A1：16B1：18C1：20D1：24考點：相似三角形的判定與性質分析：設BDE的面積為a，表示出CDE的面積為4a，根據等高的三角形的面積的比等于底邊的比求出，然后求出DBE和ABC相似，根據相似三角形面積的比等于相似比的平方求出ABC的面積，然后表示出ACD的面積，再求出比值即可解答：解：SBDE：SCDE=1：4，設BDE的面積為a，則CDE的面積為4a，BDE和CDE的點D到BC的距離相等，=，=，DEAC，DBEABC，SDBE：SABC=1：25，SACD=25aa4a=20a，SBDE：SACD=a：20a=1：20故選C點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，等高的三角形的面積的比等于底邊的比，熟記相似三角形面積的比等于相似比的平方用BDE的面積表示出ABC的面積是解題的關鍵3（2014湖北黃岡,第8題3分）已知：在ABC中，BC=10，BC邊上的高h=5，點E在邊AB上，過點E作EFBC，交AC邊于點F點D為BC上一點，連接DE、DF設點E到BC的距離為x，則DEF的面積S關于x的函數圖象大致為（）第1題圖Ax_k_b_1BCD考點：動點問題的函數圖象分析：判斷出AEF和ABC相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求出EF，再根據三角形的面積列式表示出S與x的關系式，然后得到大致圖象選擇即可解答：解：EFBC，AEFABC，=，EF=10=102x，S=（102x）x=x2+5x=（x）2+，S與x的關系式為S=（x）2+（0x10），縱觀各選項，只有D選項圖象符合故選D點評：本題考查了動點問題函數圖象，主要利用了相似三角形的性質，求出S與x的函數關系式是解題的關鍵，也是本題的難點4（2014四川綿陽,第12題3分）如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓O上一點，OQBC于點Q，過點B作半圓O的切線，交OQ的延長線于點P，PA交半圓O于R，則下列等式中正確的是（）A=B=C=D=考點：切線的性質；平行線的判定與性質；三角形中位線定理；垂徑定理；相似三角形的判定與性質專題：探究型分析：（1）連接AQ，易證OQBOBP，得到，也就有，可得OAQOPA，從而有OAQ=APO易證CAP=APO，從而有CAP=OAQ，則有CAQ=BAP，從而可證ACQABP，可得，所以A正確（2）由OBPOQB得，即，由AQOP得，故C不正確（3）連接OR，易得=，=2，得到，故B不正確（4）由及AC=2OQ，AB=2OB，OB=OR可得，由ABAP得，故D不正確解答：解：（1）連接AQ，如圖1，BP與半圓O于點B，AB是半圓O的直徑，ABP=ACB=90OQBC，OQB=90OQB=OBP=90又BOQ=POB，OQBOBPOA=OB，又AOQ=POA，OAQOPAOAQ=APOOQB=ACB=90，ACOPCAP=APOCAP=OAQCAQ=BAPACQ=ABP=90，ACQABP故A正確（2）如圖1，OBPOQB，AQOP，故C不正確（3）連接OR，如圖2所示OQBC，BQ=CQAO=BO，OQ=ACOR=AB=，=2故B不正確（4）如圖2，且AC=2OQ，AB=2OB，OB=OR，ABAP，故D不正確故選：A 點評：本題考查了切線的性質，相似三角形的判定與性質、平行線的判定與性質、垂徑定理、三角形的中位線等知識，綜合性較強，有一定的難度5（2014河北第13題3分）在研究相似問題時，甲、乙同學的觀點如下：甲：將邊長為3、4、5的三角形按圖1的方式向外擴張，得到新三角形，它們的對應邊間距為1，則新三角形與原三角形相似乙：將鄰邊為3和5的矩形按圖2的方式向外擴張，得到新的矩形，它們的對應邊間距均為1，則新矩形與原矩形不相似對于兩人的觀點，下列說法正確的是（）A兩人都對B兩人都不對C甲對，乙不對D甲不對，乙對考點：相似三角形的判定；相似多邊形的性質分析：甲：根據題意得：ABAB，ACAC，BCBC，即可證得A=A，B=B，可得ABCABC；乙：根據題意得：AB=CD=3，AD=BC=5，則AB=CD=3+2=5，AD=BC=5+2=7，則可得，即新矩形與原矩形不相似解答：解：甲：根據題意得：ABAB，ACAC，BCBC，A=A，B=B，ABCABC，甲說法正確；乙：根據題意得：AB=CD=3，AD=BC=5，則AB=CD=3+2=5，AD=BC=5+2=7，新矩形與原矩形不相似乙說法正確故選A點評：此題考查了相似三角形以及相似多邊形的判定此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用6二、填空題1. （2014黔南州，第15題5分）如圖，在ABC中，點D、E分別在AB、AC上，DEBC若AD=4，DB=2，則的值為來源:學+科+網Z+X+X+K考點：相似三角形的判定與性質分析：由AD=3，DB=2，即可求得AB的長，又由DEBC，根據平行線分線段成比例定理，可得DE：BC=AD：AB，則可求得答案解答：解：AD=4，DB=2，AB=AD+BD=4+2=6，DEBC，ADEABC，=，故答案為：點評：此題考查了平行線分線段成比例定理此題比較簡單，注意掌握比例線段的對應關系是解此題的關鍵2（2014攀枝花，第16題4分）如圖，在梯形ABCD中，ADBC，BE平分ABC交CD于E，且BECD，CE：ED=2：1如果BEC的面積為2，那么四邊形ABED的面積是考點：相似三角形的判定與性質；等腰三角形的判定與性質；梯形分析：首先延長BA，CD交于點F，易證得BEFBEC，則可得DF：FC=1：4，又由ADFBCF，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，可求得ADF的面積，繼而求得答案解答：解：延長BA，CD交于點F，BE平分ABC，EBF=EBC，BECD，BEF=BEC=90，在BEF和BEC中，BEFBEC（ASA），EC=EF，SBEF=SBEC=2，SBCF=SBEF+SBEC=4，CE：ED=2：1DF：FC=1：4，ADBC，ADFBCF，=（）2=，SADF=4=，S四邊形ABCD=SBEFSADF=2=故答案為：點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質以及梯形的性質此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用3（2014黑龍江哈爾濱,第20題3分）如圖，在ABC中，4AB=5AC，AD為ABC的角平分線，點E在BC的延長線上，EFAD于點F，點G在AF上，FG=FD，連接EG交AC于點H若點H是AC的中點，則的值為第1題圖考點：相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；角平分線的性質；等腰三角形的判定與性質；平行四邊形的判定與性質分析：解題關鍵是作出輔助線，如解答圖所示：第1步：利用角平分線的性質，得到BD=CD；第2步：延長AC，構造一對全等三角形ABDAMD；第3步：過點M作MNAD，構造平行四邊形DMNG由MD=BD=KD=CD，得到等腰DMK；然后利用角之間關系證明DMGN，從而推出四邊形DMNG為平行四邊形；第4步：由MNAD，列出比例式，求出的值解答：解：已知AD為角平分線，則點D到AB、AC的距離相等，設為h=，BD=CD如右圖，延長AC，在AC的延長線上截取AM=AB，則有AC=4CM連接DM在ABD與AMD中，ABDAMD（SAS），MD=BD=5m過點M作MNAD，交EG于點N，交DE于點KMNAD，=，CK=CD，KD=CDMD=KD，即DMK為等腰三角形，DMK=DKM由題意，易知EDG為等腰三角形，且1=2；MNAD，3=4=1=2，又DKM=3（對頂角）DMK=4，DMGN，四邊形DMNG為平行四邊形，MN=DG=2FD點H為AC中點，AC=4CM，=MNAD，=，即，=點評：本題是幾何綜合題，難度較大，正確作出輔助線是解題關鍵在解題過程中，需要綜合利用各種幾何知識，例如相似、全等、平行四邊形、等腰三角形、角平分線性質等，對考生能力要求較高4. (2014黑龍江牡丹江, 第14題3分)在同一時刻兩根木竿在太陽光下的影子如圖所示，其中木竿AB=2m，它的影子BC=1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墻上，PM=1.2m，MN=0.8m，則木竿PQ的長度為2.3m第2題圖考點：相似三角形的應用專題：應用題分析：先根據同一時刻物高與影長成正比求出MN的影長，再根據此影長列出比例式即可解答：解：解：過N點作NDPQ于D，又AB=2，BC=1.6，PM=1.2，NM=0.8，QD=1.5，PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3（米）答：木竿PQ的長度為2.3米點評：在運用相似三角形的知識解決實際問題時，要能夠從實際問題中抽象出簡單的數學模型，然后列出相關數據的比例關系式，從而求出結論5. （2014湖北荊門,第14題3分）如圖，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，點O為位似中心，相似比為1：，點A的坐標為（0，1），則點E的坐標是（，）第3題圖考點：位似變換；坐標與圖形性質分析：由題意可得OA：OD=1：，又由點A的坐標為（1，0），即可求得OD的長，又由正方形的性質，即可求得E點的坐標解答：解：正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，O為位似中心，相似比為1：，OA：OD=1：，點A的坐標為（1，0），即OA=1，OD=，四邊形ODEF是正方形，DE=OD=E點的坐標為：（，）故答案為：（，）點評：此題考查了位似變換的性質與正方形的性質此題比較簡單，注意理解位似變換與相似比的定義是解此題的關鍵 46（2014浙江紹興,第16題5分）把標準紙一次又一次對開，可以得到均相似的“開紙”現在我們在長為2、寬為1的矩形紙片中，畫兩個小矩形，使這兩個小矩形的每條邊都與原矩形紙的邊平行，或小矩形的邊在原矩形的邊上，且每個小矩形均與原矩形紙相似，然后將它們剪下，則所剪得的兩個小矩形紙片周長之和的最大值是4+考點：相似多邊形的性質分析：根據相似多邊形對應邊的比相等的性質分別求出所剪得的兩個小矩形紙片的長與寬，進而求解即可解答：解：在長為2、寬為1的矩形紙片中，畫兩個小矩形，使這兩個小矩形的每條邊都與原矩形紙的邊平行，或小矩形的邊在原矩形的邊上，且每個小矩形均與原矩形紙相似，x k b 1要使所剪得的兩個小矩形紙片周長之和最大，則這兩個小矩形紙片長與寬的和最大矩形的長與寬之比為2：1，剪得的兩個小矩形中，一個矩形的長為1，寬為=，另外一個矩形的長為2=，寬為=，所剪得的兩個小矩形紙片周長之和的最大值是2（1+）=4+故答案為4+點評：本題考查了相似多邊形的性質，分別求出所剪得的兩個小矩形紙片的長與寬是解題的關鍵w w w .x k b 1.c o m三、解答題1. （2014黑龍江綏化,第21題6分）已知：ABC在直角坐標平面內，三個頂點的坐標分別為A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形網格中每個小正方形的邊長是一個單位長度）（1）畫出ABC向下平移4個單位長度得到的A1B1C1，點C1的坐標是（2，2）；（2）以點B為位似中心，在網格內畫出A2B2C2，使A2B2C2與ABC位似，且位似比為2：1，點C2的坐標是（1，0）；（3）A2B2C2的面積是10平方單位考點：作圖-位似變換；作圖-平移變換分析：（1）利用平移的性質得出平移后圖象進而得出答案；（2）利用位似圖形的性質得出對應點位置即可；（3）利用等腰直角三角形的性質得出A2B2C2的面積解答：解：（1）如圖所示：C1（2，2）；故答案為：（2，2）；（2）如圖所示：C2（1，0）；故答案為：（1，0）；（3）A2C22=20，B2C=20，A2B2=40，A2B2C2是等腰直角三角形，A2B2C2的面積是：20=10平方單位故答案為：10點評：此題主要考查了位似圖形的性質以及平移的性質和三角形面積求法等知識，得出對應點坐標是解題關鍵2. （2014湖北宜昌,第21題8分）已知：如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，以CD為直徑作O，O與邊BC相交于點F，O的切線DE與邊AB相交于點E，且AE=3EB（1）求證：ADECDF；（2）當CF：FB=1：2時，求O與ABCD的面積之比考點：切線的性質；勾股定理；平行四邊形的性質；相似三角形的判定與性質分析：（1）根據平行四邊形的性質得出A=C，ADBC，求出ADE=CDF，根據相似三角形的判定推出即可；（2）設CF=x，FB=2x，則BC=3x，設EB=y，則AE=3y，AB=4y，根據相似得出=，求出x=2y，由勾股定理得求出DF=2y，分別求出O的面積和四邊形ABCD的面積，即可求出答案解答：（1）證明：CD是O的直徑，DFC=90，四邊形ABCD是平行四邊形，A=C，ADBC，ADF=DFC=90，DE為O的切線，DEDC，EDC=90，ADF=EDC=90，ADE=CDF，A=C，ADECDE；（2）解：CF：FB=1：2，設CF=x，FB=2x，則BC=3x，AE=3EB，設EB=y，則AE=3y，AB=4y，四邊形ABCD是平行四邊形，AD=BC=3x，AB=DC=4y，ADECDF，=，=，x、y均為正數，x=2y，BC=6y，CF=2y，在RtDFC中，DFC=90，由勾股定理得：DF=2y，O的面積為（DC）2=DC2=（4y）2=4y2，四邊形ABCD的面積為BCDF=6y2y=12y2，O與四邊形ABCD的面積之比為4y2：12y2=：3點評：本題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的性質和判定，勾股定理的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力3. （2014湖南衡陽,第26題8分）將一副三角尺（在RtABC中，ACB=90，B=60；在RtDEF中，EDF=90，E=45）如圖擺放，點D為AB的中點，DE交AC于點P，DF經過點C（1）求ADE的度數；（2）如圖，將DEF繞點D順時針方向旋轉角（060），此時的等腰直角三角尺記為DEF，DE交AC于點M，DF交BC于點N，試判斷的值是否隨著的變化而變化？如果不變，請求出的值；反之，請說明理由考點：旋轉的性質；相似三角形的判定與性質分析：（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD=AD=BD=AB，根據等邊對等角求出ACD=A，再求出ADC=120，再根據ADE=ADCEDF計算即可得解；（2）根據同角的余角相等求出PDM=CDN，再根據然后求出BCD是等邊三角形，根據等邊三角形的性質求出BCD=60，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出CPD=60，從而得到CPD=BCD，再根據兩組角對應相等，兩三角形相似判斷出DPM和DCN相似，再根據相似三角形對應邊成比例可得=為定值解答：解：（1）ACB=90，點D為AB的中點，CD=AD=BD=AB，ACD=A=30，ADC=180302=120，ADE=ADCEDF=12090=30；（2）EDF=90，PDM+EDF=CDN+EDF=90，PDM=CDN，B=60，BD=CD，BCD是等邊三角形，BCD=60，CPD=A+ADE=30+30=60，CPD=BCD，在DPM和DCN中，DPMDCN，=，=tanACD=tan30，的值不隨著的變化而變化，是定值點評：本題考查了旋轉的性質，相似三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，熟記各性質并判斷出相似三角形是解題的關鍵，也是本題的難點4. （2014湖南永州,第21題8分）如圖，D是ABC的邊AC上的一點，連接BD，已知ABD=C，AB=6，AD=4，求線段CD的長考點：相似三角形的判定與性質.專題：計算題分析：由已知角相等，加上公共角，得到三角形ABD與三角形ACB相似，由相似得比例，將AB與AD長代入即可求出CD的長解答：解：在ABD和ACB中，ABD=C，A=A，ABDACB，=，AB=6，AD=4，AC=9，則CD=ACAD=94=5點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵5. （2014樂山，第23題10分）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點OM為AD中點，連接CM交BD于點N，且ON=1（1）求BD的長；（2）若DCN的面積為2，求四邊形ABCM的面積考點：相似三角形的判定與性質；平行四邊形的性質.專題：計算題分析：（1）由四邊形ABCD為平行四邊形，得到對邊平行且相等，且對角線互相平分，根據兩直線平行內錯角相等得到兩對角相等，進而確定出三角形MND與三角形BCN相似，由相似得比例，得到DN：BN=1：2，設OB=OD=x，表示出BN與DN，求出x的值，即可確定出BD的長；（2）由相似三角形相似比為1：2，得到NC=2MN，根據三角形MND與三角形DNC高相等，底邊之比即為面積之比，由三角形DCN面積求出MND面積，進而求出三角形DCM面積，表示出平行四邊形ABCD面積與三角形MCD面積，即可求出平行四邊形ABCD面積解答：解：（1）平行四邊形ABCD，ADBC，AD=BC，OB=OD，DMN=BCN，MDN=NBC，MNDCNB，=，M為AD中點，MD=AD=BC，即=，=，即BN=2DN，設OB=OD=x，則有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x1，x+1=2（x1），解得：x=3，BD=2x=6；（2）MNDCNB，且相似比為1：2，MN：CN=1：2，SMND：SCND=1：4，DCN的面積為2，MND面積為，MCD面積為2.5，S平行四邊形ABCD=ADh，SMCD=MDh=ADh，S平行四邊形ABCD=4SMCD=10點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵6（2014黑龍江哈爾濱,第28題10分）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點E，且ACBD，ADB=CAD+ABD，BAD=3CBD（1）求證：ABC為等腰三角形；（2）M是線段BD上一點，BM：AB=3：4，點F在BA的延長線上，連接FM，BFM的平分線FN交BD于點N，交AD于點G，點H為BF中點，連接MH，當GN=GD時，探究線段CD、FM、MH之間的數量關系，并證明你的結論 第1題圖考點：相似形綜合題分析：（1）根據等式的性質，可得APE=ADE，根據等腰三角形的性質，可得PAD=2，根據直角三角形的性質，可得AEB+CBE=90，根據等式的性質，可得ABC=ACB，根據等腰三角形的判定，可得答案；（2）根據相似三角形的判定與性質，可得ABE=ACD，根據等腰三角形的性質，可得GND=GDN，根據對頂角的性質，可得AGF的度數，根據三角形外角的性質，AFG的度數，根據直角三角形的性質，可得BF與MH的關系，根據等腰三角形的性質，可得FRM=FMR，根據平行線的判定與性質，可得CBD=RMB，根據相似三角形的判定與性質，可得，根據線段的和差，可得BR=BFFR，根據等量代換，可得答案解答：（1）證明：如圖1，作BAP=DAE=，AP交BD于P，設CBD=，CAD=，ADB=CAD+ABD，APE=BAP+ABD，APE=ADE，AP=ADACBDPAE=DAE=，PAD=2，BAD=3BAD=3CBD，3=3，=ACBD，ACB=90CBE=90=90ABC=180BACACB=90，ACB=ABC，ABC為等腰三角形；（2）2MH=FM+CD證明：如圖2，由（1）知AP=AD，AB=AC，BAP=CAD=，ABPACD，ABE=ACDACBD，GDN=90，GN=GD，GND=GDN=90，NGD=180GNDGDN=2AGF=NGD=2AFG=BADAGF=32=FN平分BFM，NFM=AFG=，FMAE，FMN=90H為BF的中點，BF=2MH在FB上截取FR=FM，連接RM，FRM=FMR=90ABC=90，FRM=ABC，RMBC，CBD=RMBCAD=CBD=，RMB=CADRBM=ACD，RMBDAC，BR=CDBR=BFFR，FBFM=BR=CD，FB=FM+CD2MH=FM+CD 點評：本題考查了相似形綜合題，（1）利用了等腰三角形的性質，等腰三角形的判定，直角三角形的性質；（2）相似三角形的判定與性質，直角三角形的性質，三角形外角的性質，平行線的判定與性質，利用的知識點多，題目稍有難度，相似三角形的判定與性質是解題關鍵7. (2014黑龍江牡丹江, 第28題10分)如圖，在RtABC中，ACB=90，AC=8，BC=6，CDAB于點D點P從點D出發，沿線段DC向點C運動，點Q從點C出發，沿線段CA向點A運動，兩點同時出發，速度都為每秒1個單位長度，當點P運動到C時，兩點都停止設運動時間為t秒（1）求線段CD的長；（2）設CPQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式，并確定在運動過程中是否存在某一時刻t，使得SCPQ：SABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由（3）當t為何值時，CPQ為等腰三角形？X K B 1.C O M第2題圖新_課_標第_一_網考點：相似形綜合題；一元二次方程的應用；等腰三角形的性質；勾股定理；相似三角形的判定與性質、專題：綜合題分析：（1）利用勾股定理可求出AB長，再用等積法就可求出線段CD的長（2）過點P作PHAC，垂足為H，通過三角形相似即可用t的代數式表示PH，從而可以求出S與t之間的函數關系式；利用SCPQ：SABC=9：100建立t的方程，解方程即可解決問題（3）可分三種情況進行討論：由CQ=CP可建立關于t的方程，從而求出t；由PQ=PC或QC=QP不能直接得到關于t的方程，可借助于等腰三角形的三線合一及三角形相似，即可建立關于t的方程，從而求出t解答：解：（1）如圖1，ACB=90，AC=8，BC=6，AB=10CDAB，SABC=BCAC=ABCDCD=4.8線段CD的長為4.8（2）過點P作PHAC，垂足為H，如圖2所示由題可知DP=t，CQ=t則CP=4.8tACB=CDB=90，HCP=90DCB=BPHAC，CHP=90CHP=ACBCHPBCAPH=tSCPQ=CQPH=t（t）=t2+t存在某一時刻t，使得SCPQ：SABC=9：100SABC=68=24，且SCPQ：SABC=9：100，（t2+t）：24=9：100整理得：5t224t+27=0即（5t9）（t3）=0解得：t=或t=30t4.8，當t=秒或t=3秒時，SCPQ：SABC=9：100（3）若CQ=CP，如圖1，則t=4.8t解得：t=2.4若PQ=PC，如圖2所示PQ=PC，PHQC，QH=CH=QC=CHPBCA解得；t=若QC=QP，過點Q作QECP，垂足為E，如圖3所示同理可得：t=綜上所述：當t為2.4秒或秒或秒時，CPQ為等腰三角形點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、一元二次方程的應用、勾股定理等知識，具有一定的綜合性，而利用等腰三角形的三線合一巧妙地將兩腰相等轉化為底邊上的兩條線段相等是解決第三小題的關鍵8. （2014湖北黃石,第24題9分）AD是ABC的中線，將BC邊所在直線繞點D順時針旋轉角，交邊AB于點M，交射線AC于點N，設AM=xAB，AN=yAC （x，y0）（1）如圖1，當ABC為等邊三角形且=30時證明：AMNDMA；（2）如圖2，證明：+=2；（3）如圖3，當G是AD上任意一點時（點G不與A重合），過點G的直線交邊AB于M，交射線AC于點N，設AG=nAD，AM=xAB，AN=yAC（x，y0），猜想：+=是否成立？并說明理由第3題圖考點：相似形綜合題分析：（1）利用“兩角法”證得兩個三角形相似；（2）如圖1，過點C作CFAB交MN于點F，構建相似三角形：CFNAMN，利用該相似三角形的對應邊成比例求得通過證CFDBMD得到BM=CF，利用比例的性質和相關線段的代入得到，即；（3）猜想：+= 成立需要分類討論：如圖乙，過D作MNMN交AB于M，交AC的延長線于N由平行線截線段成比例得到，易求，利用（2）的結果可以求得；如圖丙，當過點D作M1N1MN交AB的延長線于M1，交AC1于N1，則同理可得解答：（1）證明：如圖1，在AMD中，MAD=30，MDA=60AMD=90在AMN中，AMN=90，MAN=60，AMN=DMA=90，MAN=MDA，AMNDMA；（2）證明：如圖甲，過點C作CFAB交MN于點F，則CFNAMN易證CFDBMD，BM=CF，即；（3）猜想：+= 成立理由如下：如圖乙，過D作MNMN交AB于M，交AC的延長線于N，則，即，由（2）知如圖丙，當過點D作M1N1MN交AB的延長線于M1，交AC1于N1，則同理可得點評：本題考查了相似三角形的綜合題型此題涉及到的知識點有相似三角形的判定與性質，平行線截線段成比例等此題的難點在于輔助線的作法，解題時，需要認真的思考才能理清解題思路9(2014陜西,第21題8分)某一天，小明和小亮來到一河邊，想用遮陽帽和皮尺測量這條河的大致寬度，兩人在確保無安全隱患的情況下，現在河岸邊選擇了一點B（點B與河對岸岸邊上的一棵樹的底部點D所確定的直線垂直于河岸）小明在B點面向樹的方向站好，調整帽檐，使視線通過帽檐正好落在樹的底部點D處，如圖所示，這時小亮測的小明眼睛距地面的距離AB=1.7米；小明站在原地轉動180后蹲下，并保持原來的觀察姿態（除身體重心下移外，其他姿態均不變），這時視線通過帽檐落在了DB延長線上的點E處，此時小亮測得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距離CB=1.2米根據以上測量過程及測量數據，請你求出河寬BD是多少米？考點：相似三角形的應用分析：根據題意求出BAD=BCE，然后根據兩組角對應相等，兩三角形相似求出BAD和BCE相似，再根據相似三角形對應邊成比例列式求解即可解答：解：由題意得，BAD=BCE，ABD=CBE=90，BADBCE，=，即=，解得BD=13.6米答：河寬BD是13.6米點評：本題考查了相似三角形的應用，讀懂題目信息得到兩三角形相等的角并確定出相似三角形是解題的關鍵，也是本題的難點10(2014陜西,第24題8分)如圖，O的半徑為4，B是O外一點，連接OB，且OB=6，過點B作O的切線BD，切點為D，延長BO交O于點A，過點A作切線BD的垂線，垂足為C（1）求證：AD平分BAC；（2）求AC的長考點：切線的性質；相似三角形的判定與性質分析：（1）首先連接OD，由BD是O的切線，ACBD，易證得ODAC，繼而可證得AD平分BAC；（2）由ODAC，易證得BODBAC，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得AC的長解答：（1）證明：連接OD，BD是O的切線，ODBD，ACBD，ODAC，2=3，OA=OD，1=3，1=2，即AD平分BAC；（2）解：ODAC，BODBAC，解得：AC=點評：此題考查了切線的性質以及相似三角形的判定與性質此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用11（2014浙江紹興,第20題8分）課本中有一道作業題：有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上問加工成的正方形零件的邊長是多少mm？小穎解得此題的答案為48mm，小穎善于反思，她又提出了如下的問題（1）如果原題中要加工的零件是一個矩形，且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，如圖1，此時，這個矩形零件的兩條邊長又分別為多少mm？請你計算（2）如果原題中所要加工的零件只是一個矩形，如圖2，這樣，此矩形零件的兩條邊長就不能確定，但這個矩形面積有最大值，求達到這個最大值時矩形零件的兩條邊長考點：相似三角形的應用；二次函數的最值分析：（1）設PN=2ymm，則PQ=ymm，然后根據相似三角形對應高的比等于相似比列出比例式求出即可；（2）設PN=x，用PQ表示出AE的長度，然后根據相似三角形對應高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根據矩形的面積公式列式計算，再根據二次函數的最值問題解答解答：解：（1）設矩形的邊長PN=2ymm，則PQ=ymm，由條件可得APNABC，=，即=，解得y=，PN=2=（mm），答：這個矩形零件的兩條邊長分別為mm，mm；（2）設PN=xmm，由條件可得APNABC，=，即=，解得PQ=80xS=PNPQ=x（80x）=x2+80x=（x60）2+2400，S的最大值為2400mm2，此時PN=60mm，PQ=8060=40（mm）點評：本題考查了相似三角形的應用，二次函數的最值問題，根據相似三角形對應高的比等于對應邊的比列式表示出正方形的邊長與三角形的邊與這邊上的高的關系是解題的關鍵，此題規律性較強，是道好題12（2014浙江紹興,第24題14分）如圖，在平面直角坐標系中，直線l平行x軸，交y軸于點A，第一象限內的點B在l上，連結OB，動點P滿足APQ=90，PQ交x軸于點C（1）當動點P與點B重合時，若點B的坐標是（2，1），求PA的長（2）當動點P在線段OB的延長線上時，若點A的縱坐標與點B的橫坐標相等，求PA：PC的值（3）當動點P在直線OB上時，點D是直線OB與直線CA的交點，點E是直線CP與y軸的交點，若ACE=AEC，PD=2OD，求PA：PC的值考點：相似形綜合題；全等三角形的判定與性質；角平分線的性質；等腰三角形的判定與性質；勾股定理；矩形的判定與性質；平行線分線段成比例；相似三角形的判定與性質專題：壓軸題分析：（1）易得點P的坐標是（2，1），即可得到PA的長（2）易證AOB=45，由角平分線的性質可得PA=PC，然后通過證明ANPCMP即可求出PA：PC的值（3）可分點P在線段OB的延長線上及其反向延長線上兩種情況進行討論易證PA：PC=PN：PM，設OA=x，只需用含x的代數式表示出PN、PM的長，即可求出PA：PC的值解答：解：（1）點P與點B重合，點B的坐標是（2，1），點P的坐標是（2，1）PA的長為2（2）過點P作PMx軸，垂足為M，過點P作PNy軸，垂足為N，如圖1所示點A的縱坐標與點B的橫坐標相等，OA=ABOAB=90，AOB=ABO=45AOC=90，POC=45PMx軸，PNy軸，PM=PN，ANP=CMP=90NPM=90APC=90APN=90APM=CPM在ANP和CMP中，APN=CPM，PN=PM，ANP=CMP，ANPCMPPA=PCPA：PC的值為1：1（3）若點P在線段OB的延長線上，過點P作PMx軸，垂足為M，過點P作PNy軸，垂足為N，PM與直線AC的交點為F，如圖2所示APN=CPM，ANP=CMP，ANPCMPACE=AEC，AC=AEAPPC，EP=CPPMy軸，AF=CF，OM=CMFM=OA設OA=x，PFOA，PDFODAPD=2OD，PF=2OA=2x，FM=xPM=xAPC=90，AF=CF，AC=2PF=4xAOC=90，OC=xPNO=NOM=OMP=90，四邊形PMON是矩形PN=OM=xPA：PC=PN：PM=x：x=若點P在線段OB的反向延長線上，過點P作PMx軸，垂足為M，過點P作PNy軸，垂足為N，PM與直線AC的交點為F，如圖3所示同理可得：PM=x，CA=2PF=4x，OC=xPN=OM=OC=xPA：PC=PN：PM=x：x=綜上所述：PA：PC的值為或點評：本題考查了角平分線的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、平行線等分線段定理、勾股定理等知識，綜合性非常強13（2014衡陽，第26題8分） 將一副三角尺如圖擺放（在中，；在中，。），點為的中點，交于點，經過點。 圖 圖 求ADE的度數；如圖，將繞點順時針方向旋轉角，此時的等腰直角三角尺記為，交于點，交于點，試判斷的值是否隨著的變化而變化？如果不變，請求出的值；反之，請說明理由。【考點】直角三