第十七章（群）1. 設是群，.試證：證明：設是單位元（下同），直接根據定義即有：, 2. 試舉一個只有兩元素的群。解：設，并且的單位元為0,則可以確定乘法表中的三個元素，00=0；01=1；10=1；由群的定義，任意元素都有逆元，0的逆元為0，1的逆元為1，因此11=0。因此乘法運算有如下表：01001110易知，單位元，運算滿足封閉性和結合律，且。 故是群。3. 設的乘法表為問：是否成為群？若不是群，結合律是否成立？有無單位元?解：如果A是一個群，則一定有單位元i，乘法表中第i行第i列元素保持不變，而定義的乘法表不滿足此性質。因此A無單位元，故A不成群。且,無結合律。4. 設是群.試證：若對任何，均有，則是交換群.證明：利用消去律，將各等式降階。 又 因此，, 于是，得 , 再由(1)知，, 故有 .5. 設是群.試證：若對任何，有，則是交換群。證明：利用群的性質(3),(4),對任意，有。故是交換群。6. 設是群，是正整數.試證：存在，使. 證明：任取。若，則和在中成對出現。注意到群的元素個數為偶數，因此，在中滿足即的元素個數也是偶數。但滿足. 故除之外，至少還有一個, 使得 .7. 試證：1階群，2階群，3階群和4階群都是交換群，并構造一個不是交換群的6階群.證明：設至階群分別為 1) 顯然，是交換群。2) 是交換群。3) 對，若，則有，即, 從而 （矛盾）; 同理，若, 則有 （矛盾）。因此必有。又故是交換群。4) 對于。 (i) 若中兩個元素互為逆元，不妨設，則必有 且, 否則有或。同理可證 。 (ii) 若各自以自身為逆元，即，則必有. 總之，是交換群。(其實可以用第5題的結論直接得出) 設。由上的所有3元置換所組成的集合對于置換的乘法運算構成一個群。但它不是交換群，即8. 設是群，.試證： （1）有相同的周期； （2） 與 有相同的周期。證明：（1） 因為對任意整數， 當且僅當 。所以的周期是無限的，當且僅當 的周期是無限的. 若的周期是（正數），則 的周期. 由對稱性有 . 因此，. 故與的周期相同。注意到，于是 當且僅當當且僅當。因此 與的周期相同。 （2） 由（1), 只須證對任意整數， 當且僅當 .當時，結論顯然成立。今設。則 當且僅當 當且僅當 當且僅當 當且僅當 . 再設。令，由上有 當且僅當時。注意到對任意, 當且僅當，于是 當且僅當 . 故 當且僅當 .9. 設是群，令，對任意試證：是的子群.稱為的中心，的元素稱為的中心元素.證明：任取,則對任意, 有，從而因此，.故是的子群.10. 設是一個群，且，和的周期分別為和，與互質，證明：的周期等于.分析：設周期為，利用定理17.2.5(2)，分兩步分別證明,.證明：設的周期為。由 得 。于是 (定理17.2.5)。又。令。設的周期為.(定理17.2.5). 又 , 于是，。但,故 .從而 于是，有。即,而 ，因此，, 故 .11. 設是群的一個元素，其周期為是的子群，試證：如果，且與互質.則.分析：因為，互質，利用整除性質，見書定理16.1.3，易證.證明：因為,所以存在整數使得 .于是. 但, 是的子群. 故 .12. 設是群，且，和的周期分別為和.試證：若，則的周期等于與的最小公倍數.分析：設的周期為，和的最小公倍數為，要證明,只需證明，即可。利用定理17.2.5易證；利用整除的基本性質，定理16.1.1，分別可以將表示成,的倍數與余數之和，利用，可得,即是,的倍數，.證明（一）：設和的最小公倍數為。的周期為。因為 ,所以，從而 . 又設因為 ，所以 。又，因此，從而，。于是 , 即 。因此 . 故 .證明（二）：設的周期為。 因為且，所以 （否則，從而得。此與的假設矛盾）。于是，即是和的公倍數。若的最小公倍數不是而是，則，且 此與的假設矛盾。得證。13. 設是一個群，且，的周期為質數，且.試證：.分析：用反證法，則有非單位元，利用為質數，整除性質有，容易推出矛盾。證明：若,則存在 且, 即存在整數，使 且。因是質數，所以存在整數,使.于是，即 , 矛盾。故 .14. 寫出的群表.解：設 于是，根據置換的乘法運算規則，有 15. 證明：任何對換都是一個奇置換，又恒等置換是偶置換.分析：根據對換的定義，命題17.3.4即可證。證明：(1) 設為元對換，可分解成一些對換的乘積，顯然有，由命題17.3.4可知，對換是一個奇置換。(2) 設為元恒等置換，是元對換，顯然有，由命題17.3.4可知，對換是一個偶置換。16. 設元置換，其中互不相交，且.試證：的周期（即滿足的最小正整數）等于的最小公倍數.分析：設周期為，最小公倍數為，根據定義易證；由互不相交，證。證明：設的周期為. 的最小公倍數為。因互不相交，所以 . 于是 。另一方面，因為 且 互不相交，因此，。于是，. 由最小公倍數的性質知，,故 .17. 設是的兩個置換.（1）寫出的輪換表示，并求出和的周期.（2）計算. 解：(1) . 由題16有和的周期為。 (2) 18. 試找出的所有子群.解。設 .其子群有：, 19. 設試判斷和是否是的子群，并說明理由.解：因和均有限，且不難驗證，和對乘法運算均封閉。故由定理17.2.2知，和均為的子群。20. 設和是群的子群，試證：是的子群當且僅當.分析：充分性證明分兩步，利用子群的性質分別證明，；利用定理17.2.3證明是的子群。證明：設是的子群。任取, 有。即存在 , 使，于是，, 從而 。反之，任取 ,則 . 于是， 從而 。總之， . 另一方面，設.任取. 因是的子群。所以，. 又因。因此, 存在,使得 . 從而， 其中，。由定理17.2.3知，是的子群。21. 設是群的子群，試證：是的正規子群.證明：因為, 所以H在G中只有兩個左陪集：和.也只有兩個右陪集:和.任取, 若，則.若，則,故恒有.即H是G的正規子群。22. 求對子群的左陪集分解.稱為Klein四元群.分析：根據定理17.3.2，的階為12，任意取，得左陪集，為另一左陪集。解。令。共有三個左陪集：23. 證明：Klein四元群是的正規子群.分析：利用22題結論，易證滿足正規子群定義17.4.4.證明：注意到 因此，關于的左、右陪集分解相同，且此分解是一個等價類分解。所以，對任意，有, 其中 或或, 從而，故是的正規子群。24. 設是群的子群.試證：在中的所有左陪集中恰有一個子群，即.分析：利用群的性質，是子群，則；如果陪集是子群，則有，由陪集的性質5，可知。證明：設是群的單位元。因，所以子群是的一個左陪集。若另有一個陪集也是的子群，則. 于是，.由17.4節的性質5知，。故結論成立。25. 設是有限群，是的子群，是的子群.試證：.證明：由定理，有 , , 。于是，, 從而26. 設是質數，試證：階群中必含一個階子群，其中是正整數.分析：因為是質數，階群的任意非單位元群的子群周期均可寫成。證明：設是階群，任取。設的周期為，則，且。又因為是質數，所以，. 若，則是階子群; 若，令, 則的周期為。 于是, 是階子群。27. 設是群，.試證：.分析：根據定義17.5.1即可證。證明：顯然，是到上的復合映射，且對任意有 故 .28. 設是群，映射定義如下： 試證：是到的一個自同構.分析：利用定義17.5.2，17.5.3，分別證明是到的同態，并且是雙射。證明：對任意, 顯然 . 因此,是單射.又對任意, 有, 使. 故是滿射, 從而是到的雙射. 再任取.有 綜上可知, 是到的一個自同構.29. 證明：循環群的同態象必是循環群.分析：利用同態像的性質以及循環群的定義可證。證明：設是循環群，是生成元，是到的同態，且。令.于是，對任意，存在整數，使 這說明. 即是循環群。30. 設群是的核，是的正規子群，并且.試證明： （第一同構定理）分析：利用定理17.4.2易證是的正規子群，由定理17.5.3知存在到的自然同態，則有到的同態，利用同態定義17.5.4證明，根據定理17.5.4證明結論成立。證明：先證是的正規子群。對任意有使。因為是的正規子群，所以，.于是, . 即 故是的正規子群。 設是到的自然同態。令.則. 由 得 . 從而，由第三同態定理得 。31. 設和都是群的正規子群，.由第一同構定理證明：分析：對照第一同構定理形式，本題的證明關鍵是定義一個以為核的同態，令，容易驗證滿足同態的性質，并且。證明：令.由不難知道, 是到的映射,且顯然是滿射。又, 對任意, 從而，. 同態核為： .由第一同構定理，得 .32